Школьный этап всероссийской олимпиады по математике 2015-2016 уч.год 5 класс 1.

Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч.год
5 класс
1. Расшифруйте запись:
А + ББ + А = ССС (3б.)
2. Полный сосуд с сиропом весит 33 кг. Сосуд, заполненный наполовину,
весит 17 кг. Какова масса пустого сосуда? (3б.)
3. Как с помощью двух бидонов 5л и 8л отлить из молочной цистерны 7л
молока? Молоко разрешается выливать обратно в цистерну. (4б.)
4. Разделите прямоугольник 3х4 на две равные части. Найдите как можно
больше способов. Резать можно лишь по стороне квадрата 1х1, а способы
считаются разными, если в каждом случае получаются разные фигуры. (5б.)
5. Дедка вдвое сильнее Бабки, Бабка втрое сильнее Внучки, Внучка вчетверо
сильнее Жучки, Жучка впятеро сильнее Кошки, Кошка вшестеро сильнее
Мышки. Без Мышки все остальные не могут вытащить репку, а вместе с
Мышкой – могут. Сколько мышек надо собрать вместе, чтобы эти мышки
смогли вытащить репку сами? (6б.)
Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч.год
6 класс
1. Выразите число 16 с помощью четырех пятерок, соединяя их знаками
действий. (3б.)
2. Алеша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один ездит домой из школы на
автобусе, другой- на трамвае, третий- на троллейбусе. Однажды после уроков
Алеша пошел проводить друга до остановки автобуса. Когда мимо них
проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе
тетрадь!» Кто на чем ездит домой? (3б.)
3. Разместить восемь козлят и девять гусей в пяти хлевах так, чтобы в
каждом хлеве были и козлята и гуси, а число их ног равнялось 10. (4 б.)
4. Бочка наполнена бензином. Как перелить из нее в мотоцикл 6 л бензина с
помощью 9-литрового ведра и 5-литрового бидона? (5б.)
5. В школьной математической олимпиаде принимали участие 9 учеников
шестого класса. За каждую решенную задачу ученик получал 2 очка, а за
каждую нерешенную задачу с него списывалось 1 очко. Всего было
предложено 10 задач. Докажите, что среди участников олимпиады из
шестого класса было, по крайней мере, два ученика, набравшие одинаковое
число очков. (Считается, что ученик, набравший больше штрафных очков,
чем зачетных, набрал нуль очков). (6б.)
Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч.год
7 класс
1. Найдите наименьший целый корень уравнения (3б.)
(|х| - 1)(х + 2,5) = 0.
2. По дороге идут два туриста. Первый из них делает шаги на 10% короче и в
то же время на 10% чаще, чем второй. кто из туристов идет быстрее и
почему? (3б.)
3. Продавец арбузов хочет приобрести набор из пяти гирь с целыми весами, с
помощью которых он сможет взвешивать любой целый вес от 1 кг до n кг. У
него есть чашечные весы, на одну чашку которых можно класть арбузы, а на
другую можно ставить не более трех гирь (из этих пяти). помогите продавцу
подобрать гири, если n=21. (4б.)
4. Четверо купцов заметили, что если они сложатся без первого, то соберут
90 руб., без второго – 85 руб., третьего – 80 руб., без четвертого – 75 руб.
Сколько у кого денег? (5б.)
5. Последовательность чисел строится по следующему закону. На первом
месте стоит число 7, далее за каждым числом стоит сумма цифр его квадрата,
увеличенная на единицу. Например, на втором месте стоит число 14, так как
72 = 49, а 4 + 9 + 1 = 14. На третьем месте стоит число 17 и так далее. Какое
число стоит на 2008-м месте. (6б.)
Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч.год
8 класс
1. В трех кучках лежат соответственно 12, 24 и 19 спичек. За ход можно
переложить спичку из одной кучки в другую. За какое наименьшее число
ходов можно получить три кучки с 8, 21 и 26 спичками? (3б.)
2. Петя и Вася сделали в тире по 5 выстрелов. Первыми тремя выстрелами
они выбили поровну, а последними тремя Петя выбил в три раза больше
очков, чем Вася. На мишени остались пробоины в 10, 9, 9, 8, 8, 5, 4, 4, 3, 2
очков. Куда попал каждый из них третьим выстрелом? Приведите все
возможные варианты ответа и докажите, что других нет. (3б.)
3. Если дату 10 февраля 2001 года записать в виде 10.02.2001, а затем убрать
точки, то получится палиндром (т.е. число, читающееся слева направо и
справа налево одинаково). Найдите ближайшую к 10.02.2001 дату,
обладающую тем же свойством. Рассмотрите два случая:
1) требуемая дата еще не наступила,
2) требуемая дата уже прошла.
Ответ обосновать. (4б.)
4. В конкурсе участвовали 5 человек. На каждый вопрос один из них дал
неправильный ответ, остальные — правильный. Число правильных ответов у
Пети равно 10 — меньше, чем у любого другого. Число правильных ответов
у Васи равно 13 — больше, чем у любого другого. Сколько всего вопросов
было в конкурсе? (5б.)
5. Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4
тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья, а после этого не смог выйти наружу
из-за того, что сильно растолстел от такой еды. Но известно, что если бы он
съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки
меда, 2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть
нору гостеприимного Кролика. От чего больше толстеют: от варенья или от
сгущенки? (6б.)
Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч.год
9 класс
1. После того, как на борт были подняты 30 потерпевших кораблекрушение,
оказалось, что запасов питьевой воды, имеющейся на корабле, хватит на50
дней, а не на 60, как раньше. Сколько людей было на корабле? (3б.)
2. Антикварный магазин, купив два предмета на общую сумму 360 рублей,
продал их, получив 25% прибыли. За сколько был продан каждый предмет,
если на первый была наценка 50%, а на второй – 12,5%? (3б.)
3. Известно, что числоа является корнем уравнения х 3 +7х-9=0. Найдите
2а 3  3а
значение выражения
. (4б.)
11а  18
4. Длина основания равнобедренного треугольника равна 12 см, а боковой
стороны- 18 см. К боковым сторонам треугольника проведены высоты.
Найдите длину отрезка с концами в основаниях высот. (5б.)
5. Доказать, что для любых положительных чиселa и b выполняется
неравенство
(6б.)
Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч.год
10 класс
1. Петя купил 2 книги. Первая на 50 % дороже второй. На сколько процентов
вторая книга дешевле первой? (3б.)
2. Считается, что ученик А учится лучше ученика В, если в большинстве
контрольных работ оценка у А выше. Чем оценка у В. Оказалось, что ученик
А учится лучше, чем В, ученик В – лучше, чем С, а ученик С – лучше, чем
А. Приведите пример, когда такое возможно. (3б.)
3. Сто первых натуральных чисел в каком-то порядке записали в ряд и
вычислили 98 сумм, получаемых при сложении троек подряд идущих чисел.
Какое наибольшее число нечетных сумм могло получиться? (4б.)
4. Дан треугольник АВС, в котором АВ=ВС, АВ≠АС. На стороне АВ выбрана
точка Е, а на продолжении стороны АС за точку А выбрана точка D так, что
∟ВDС=∟ЕСА. Докажите, что площади треугольников DЕС и АВС равны.
(5б.)
5. Какое наименьшее число круглых фишек диаметром √2 можно расставить
на доске размером 7×7 клеток так, чтобы внутри каждой клетки хотя бы одна
точка была накрыта некоторой фишкой? (Длина стороны клетки равна 1.)
(6б.)
Школьный этап всероссийской олимпиады по математике
2015-2016 уч.год
11 класс
1. При сложении двух целых чисел Коля поставил лишний ноль на конце
одного из слагаемых и получил в сумме 777777 вместо 111111. Какие числа
он складывал? (3б.)
2. Доказать, что любой прямоугольный треугольник можно разрезать на
четыре треугольника так, чтобы один из них был прямоугольный, а
остальные три - равнобедренные. (3б.)
3. В равнобедренном треугольнике АВС проведены биссектрисы СМ и АN
углов при основании АС. Какие значения может принимать отношение
площадей треугольников АВС и МВN? (4б.)
4. Постройте график функции у 
х 4
х 4х
2
и определите, при каких значениях
к прямая у = к х не будет иметь с графиком ни одной общей точки. (5б.)
5. Решить систему уравнений (6б.)