Теория автоматов1_10

Теория автоматов
ЛЕКЦИЯ № 4
Теория автоматов
4.1 Функциональный подход
При функциональном подходе исследуемое устройство рассматривается как
«черный ящик», т.е. как объект, внутренняя структура которого неизвестна или не
имеет значения.
Исследователя интересует лишь характер переработки информации,
осуществляемый устройством и выяснение зависимостей между информацией
поступающей на входы устройства и вырабатывающейся на его выходах.
Пусть автомат – дискретное комбинационное устройство, имеет n-входов и kвыходов. Каждая из n-входных переменных x1, x2, …, xn может принимать
значение из двоичного алфавита {0,1}. Комбинацию значений входных
переменных будем называть входным набором и обозначим символом xj, где j=1,
2, …, 2n входных наборов. 2n – количество входных наборов. Каждый входной
набор может быть представлен n-разрядным двоичным словом. Каждая из kвыходных функций z1, z2, …, zk также может принимать значение {0,1} и
образует выходной набор. Выходной набор Zj является k разрядным двоичным
словом. По определению комбинационного устройства каждому входному набору
Xj- поданному в некоторый момент времени на его входы, соответствует
выходной набор Zj, появляющийся в тот же момент времени на его выходе
Теория автоматов
4.1 Функциональный подход
Разным входным наборам могут соответствовать одинаковые выходные наборы.
Для систем передаточных функций можно записать Z = F(x)
либо в форме системы соответствий вида
импликация материальная. Xj влечет Zj (если А, то В).
для всех j=1, 2, …, 2n.
Выходные функции Z1, Z2, …, Zk являются булевыми функциями независимых
переменных X1, X2, …, Xn.
Для задания булевых функций часто используется таблица истинности. Столбцы
таблицы истинности соответствуют входным переменным в левой части и
выходным функциям в правой части. В строке j таблицы записывается слева
направо входной набор Xj и соответствующий ему выходной набор Zj в виде
двоичных чисел. Примером общей таблицы истинности для двух выходных
функций Z1 и Z2 от трех входных переменных является таблица 4.1.
Таблица истинности – математическая модель структурного автомата.
Таблица истинности является функциональной математической моделью
комбинационного устройства. От таблицы истинности можно перейти к
аналитической функциональной математической модели комбинационного
устройства.
Теория автоматов
4.1 Функциональный подход
Таблица 4.1
Входы
Выходы
№ n/n
X1
X2
X3
Z1
Z2
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
1
1
0
1
Теория автоматов
4.1 Функциональный подход
Прямая функция Z1 и Z2 заданы совершенной дизъюнктивной нормальной
формой.
Рассмотрим для Z1 минимальной дизъюнктивной нормальной формы:
Z1  X 1 X 2 X 3  X 1 X 2 X 3  X 1 X 2 X 3 
 X 1 X 2 X 3  X 1 X 2 X 3  X 3   X 1 X 2 X 3  X 1 X 2 
 X 2 X 1  X 1 X 3   Z1  X 1 X 2  X 2 X 3
Для инверсного вида функции, или для инверсной функции получаем
Z1  X 1 X 2 X 3  X 1 X 2 X 3  X 1 X 2 X 3  X 1 X 2 X 3  X 1 X 2 X 3 
 X 1 X 3  X 2  X 1 X 2  X 2 X 3   X 1 X 2
Для многих задач анализа и синтеза технического состояния дискретных
устройств недостаточно их функционального описания. Этим объясняется
необходимость разработки и применения структурных математических моделей,
т.е. моделей отражающих не только функции, реализуемые устройством, но и его
внутреннюю организацию – структуру. Такой подход назван структурным.
Теория автоматов
4.2 Логическая сеть. Структурный подход
Логическая сеть, представляющая комбинационное бесконтактное устройство,
называется правильной, если ни какие два выхода элементов не соединены вместе
и если каждую из k-функций реализуемых на выходных полюсах сети, можно
представить как булеву функцию входных переменных, сопоставленных nвходным полюсам сети.
Логической сети сопоставляется ориентированный граф, вершины которого
соответствуют логические элементы, входные и выходные полюсы сети и узлы
разветвлений, а направленным дугам соответствуют соединения сети, причем
дуги, которым соответствуют логические элементы, упорядочены.
Таким образом при задании дуги в графе логической сети, кроме указания
вершин, которые она соединяет, в общем случае указывается номер входа
элемента, соответствующего вершине, в которую заходит рассматриваемая дуга.
Будем считать этот номер «ВЕСОМ» рассматриваемой дуги. В дальнейшем при
начертании логической сети (схемы) будем использовать, названия и условные
обозначения некоторых часто употребляемых «логических элементов» из
таблицы 4.2. Пример логической сети изображен на рисунке 4.1, входные
переменные обозначены символами a, b, c, d, а выходная функция символом Z.
Теория автоматов
4.2 Логическая сеть. Структурный подход
Логическая сеть, представляющая комбинационное бесконтактное устройство,
называется правильной, если ни какие два выхода элементов не соединены вместе
и если каждую из k-функций реализуемых на выходных полюсах сети, можно
представить как булеву функцию входных переменных, сопоставленных nвходным полюсам сети.
Логической сети сопоставляется ориентированный граф, вершины которого
соответствуют логические элементы, входные и выходные полюсы сети и узлы
разветвлений, а направленным дугам соответствуют соединения сети, причем
дуги, которым соответствуют логические элементы, упорядочены.
Таким образом при задании дуги в графе логической сети, кроме указания
вершин, которые она соединяет, в общем случае указывается номер входа
элемента, соответствующего вершине, в которую заходит рассматриваемая дуга.
Будем считать этот номер «ВЕСОМ» рассматриваемой дуги. В дальнейшем при
начертании логической сети (схемы) будем использовать, названия и условные
обозначения некоторых часто употребляемых «логических элементов» из
таблицы 4.2. Пример логической сети изображен на рисунке 4.1, входные
переменные обозначены символами a, b, c, d, а выходная функция символом Z.
Теория автоматов
4.2 Логическая сеть. Структурный подход
Рисунок 4.1. Пример логической сети без обратных связей.
Теория автоматов
4.2 Логическая сеть. Структурный подход
В качестве структурной математической модели комбинационного
автомата принимается правильная логическая сеть – схема.
Назовем множество функционально разных логических элементов автомата –
базисом логической сети и обозначим символом H.
Логическая сеть определяется множеством логических элементов {M} из базиса
H, множеством {Xi} входных полюсов и множеством {Zj}- выходных полюсов.
Каждому входному/выходному полюсу взаимно-однозначно соответствует
переменная Xi, где i=1, 2, …, n и Zj, где j=1, 2, …, k.
В логической сети задаются соединения входных полюсов с входами элементов,
соединения выходов элементов с выходными полюсами и соединения выходов
одних элементов с входами других.
Логический элемент обладает свойством односторонней проводимости от
входов к выходу – это конструктивно и функционально законченная
элементарная часть не подлежащая дальнейшему расщеплению. Для его
описания достаточно той или иной функциональной модели.
Теория автоматов
4.2 Логическая сеть. Структурный подход
Теория автоматов
4.2 Логическая сеть. Структурный подход
Теория автоматов
4.2 Логическая сеть. Структурный подход
Теория автоматов
4.2 Логическая сеть. Структурный подход
Элементы логической сети без обратных связей (рисунок 4.1) могут быть
упорядочены следующим образом:
«Пронумеруем» сначала в произвольном порядке «входные полюсы» сети и
отнесем их к нулевому рангу.
Затем перенумеруем также в произвольном порядке «элементы сети», все входы
которых соединены «с выходными полюсами» (элементы первого ранга).
Подобны образом выполним произвольную нумерацию элементов, входы которых
обязательно соединены с выходами элементов первого ранга и возможно с
«входными полюсами» (элементы второго ранга).
Входами элементов i-го ранга обязательно являются выходы элементов i-1 ранга и
возможно входные полюсы и выходы элементов ранга меньше i-1.
«Процедура ранжирования» заканчивается, когда все элементы сети будут
пронумерованы.
Как известно от «правильной логической сети» легко перейти к
«функциональному описанию».
Теория автоматов
4.2 Логическая сеть. Структурный подход
Так, например, при «аналитическом представлении функционального описания»
логических элементов ранжированной сети, аналитическая запись системы
передаточных функций комбинационного устройства может быть получена
путем последовательной подстановки выходных функций элементов (начиная
с элементов первого ранга). При этом в формулу, реализуемую некоторым
элементом функцию, вместо входных переменных элемента подставляются
переменные входных полюсов сети или формулы выходных функций
элементов, выходы которых соединены с входами рассматриваемого элемента.
Рисунок 4.1. Обозначим выходы элементов, не являющиеся внешним выходом
сети, символами «Y» с нижним индексом, указывающим номер элемента.
Описание процедуры прямой подстановки при получении прямой функции Z
получим:
Теория автоматов
4.2 Логическая сеть. Структурный подход
Теория автоматов
4.3 Логические сети с триггером
Перейдем к изучению аналитических описаний логических сетей, память
которых реализована на специальных элементах – триггерах.
На рисунке 4.2 приведена схема широко распространенного двухвходового
триггера из двух логических элементов ИЛИ-НЕ, охваченных обратной связью.
Рисунок 4.2. Триггер
Теория автоматов
4.3 Логические сети с триггером
Выберем в качестве внутренней переменной триггера переменную «P1»,
сопоставленную соединению между выходом элемента 1 и входом элемента 2.
При этом таблица переходов-выходов триггера имеет следующий вид (таблица
4.3)..
p1
p1 / y1 y 2
0
00
01
10
11
1
0/01
1/10
0/01
0/00
Таблица 4.3
1/10
1/10
0/00
0/00
P1
Теория автоматов
4.3 Логические сети с триггером
Из таблицы 4.4 получаем аналитическое выражение для выходных функций y1, y2
и внутренней переменной
P1
y1  p1   p1   2 1
y2  p1 2
Выведем выражение:
y1  p1  1   2  p1  1 2 p1  1 2 p1 
 1 2 p1  1 p1  2   2   1  p1  p1 2   1  p1   2 
y 2  1 2 p1  1 2 p1   2 p1 1  1 
P1
Теория автоматов
4.3 Логические сети с триггером
Анализ работы рассматриваемого триггера с учетом временных задержек
логических элементов показывает, что когда входной набор «11 » однозначно
устанавливает выходной набор «00 » ,изменяется на выходной набор «00 »
возможно неоднозначное поведение триггера (разные физические экземпляры
будут вести себя по-разному). Если, например, задержка элемента 1 меньше
задержки элемента 2, то при указанном изменении сигналов на входах будет
получен выходной набор «10 » в противном случае будет получен выходной
набор «01 ». В связи с этим при проектировании устройства с памятью считают
входной набор «00» запрещенным, что соответствует таблице 4.4, где первый
набор с прочерками.
P1
Теория автоматов
4.3 Логические сети с триггером
p1
p1 / y1 y 2
0
00
01
10
11
Таблица 4.4
1
1/10
0/01
0/00
1/10
0/00
0/00
Может
оказаться
необходимым
более
детальное
описание
поведения
триггера.
Более
детальное
изучение и учет всех
возможных
ситуаций
значений
переменных
дает
возможность
выявить неоднозначное
состояние.