1) " Теорема Пифагора"

Урок геометрии
в 8 классе
Провела: Занкина О. И
учитель математики
Папулевской оош
Ичалковского района
1.Найдите площадь квадрата со стороной
3 см; 1,2 мм; 5\7 м; а см .
Ответы: 9 см2; 1,44 см2; 25\49 см2;
а2 см2.
2. Найдите площадь прямоугольного
треугольника с катетами 3 см и 4 см;
2,2 м и 5 см; а см и в см.
Ответы: 6 см2; 550 см2; 1\2 ав см2.
Биография
Пифагора
Пифагор родился около 570 г. до н.э.
на острове Самосе. Отцом Пифагора
был Мнесарх, резчик по драгоценным
камням. Имя же матери Пифагора не
известно. По многим античным
свидетельствам, родившийся мальчик
был сказочно красив, а вскоре
проявил и свои незаурядные
способности. Среди учителей юного
Пифагора называют имена старца
Гермодаманта и Ферекида Сиросского
(хотя и нет твердой уверенности в
том, что именно Гермодамант и
Ферекид были первыми учителями
Пифагора).
И. Дырченко
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим —
И таким простым путем
К результату мы придем.
c
a
b
c2=a2+b2
В прямоугольном
треугольнике квадрат
гипотенузы равен
сумме квадратов
катетов
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
b
a
c
b
c
a
b
Пусть Т— прямоугольный треугольник с
а, b и гипотенузой с . Докажем, что
a катетами
с2=а2+Ь2 Построим квадратQ со стороной
а+Ь. Квадрат Q со стороной а+Ь слагается из
квадрата Р со стороной с и четырех
b треугольников, равных треугольнику Т.
Поэтому для их площадей выполняется
равенство S(Q)=S(P)+4S(T) .
c
c
a
Так как S(Q)=(a+b) 2 ; S(P)=c2 и
S(T)=1/2(ab), то (a+b)2=c2+4*(1/2)ab или
a2+b2+2ab=c2+2ab и с2=а2+Ь2.
Простейшее
доказательство
теоремы получается в простейшем
случае
равнобедренного
прямоугольного
треугольника.
Вероятно, с него и начиналась
теорема. В самом деле, достаточно
просто
посмотреть
на
мозаику
равнобедренных прямоугольных в
справедливости теоремы. Например,
для ABC : квадрат, построенный на
гипотенузе АС, содержит 4 исходных
треугольника,
а
квадраты,
построенные на катетах,— по два.
Теорема доказана.
«Пифагоровы штаны во все
стороны равны. Чтобы это
доказать, нужно снять и
показать», -так поется в одной
C
A
B
шутливой песенке. Эти «штаны»
показаны на рисунке, где на каждой
стороне прямоугольного треугольника
АВС во внешнюю сторону построены
квадраты. А сам рисунок появился в
знаменитой первой книге трактата
Евклида «Начала»и был положен ее
автором в основу доказательства
теоремы Пифагора.
В англоязычных странах ее
называют ветряной мельницей,
павлиньим хвостом и креслом
невесты.
5
4
3
52 = 42 + 32
17
13
8
5
12
132
=
122
15
+52
172 = 152 + 82
Теорема Пифагора всегда имела широкое
применение при решении самых разнообразных
геометрических задач.
Задача индийского ученого Бхаскара Акариа, 1114 г.
На берегу ручья, ширина которого 4 фута, рос тополь. Порыв
ветра сломил его на высоте в 3 фута от земли так, что верхний
конец его коснулся другого берега ручья (ствол направлен
перпендикулярно течению). Определить высоту тополя.
Решение.
1) AB2 = AC2 + BC2, AB = 5,
2) 5 + 3 = 8 (футов) – высота тополя.
Задача из старинного китайского трактата.
В середине квадратного озера со стороной 10 футов растет тростник,
выходящий из воды на 1 фут. Если нагнуть тростник, вершина достигнет
берега. Какова глубина озера?
K
Дано: BC = 5 футов, BK = 1 фут.
Найти: AB.
C
B
Решение.
1) Пусть AB = x, BC = 5, AC = x + 1.
2) Из D ABC по теореме Пифагора
имеем
(x + 1)2 = x2 + 52.
Ответ: глубина озера 12 футов
A
В романской архитектуре часто встречается
мотив, представленный на рисунке. Если b попрежнему обозначает ширину окна, то радиусы
полуокружностей будут равны R = b / 2 и
r = b / 4. Радиус p внутренней окружности
можно вычислить из прямоугольного
треугольника, изображенного на рис.
пунктиром. Гипотенуза этого треугольника,
проходящая через точку касания окружностей,
равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2p. По теореме Пифагора имеем:
(b/4+p)2 =(b/4)2 + ( b/4-p)2
или
b2/16+ bp/2+p2=b2/16+b2/4-bp+p2,
откуда
bp/2=b/4-bp.
Разделив на b и приводя подобные члены,
получим:
(3/2)p=b/4, p=b/6.
." У египтян была известна задача о лотосе. "На глубине
12 футов растет лотос с 13-футовым стеблем. Определите,
на какое расстояние цветок может отклониться от
вертикали, проходящей через точку крепления стебля ко
дну
Эту задачу
решите сами.
1 Пифагор родился на
острове:
а).Родос
б)Крит
в)Мадагаскар
г)Самос
Ответ: г
3. Выберите верное равенство
для данного треугольника:
а)a2+ c2 = b2
ТЕСТ
2. Теорема Пифагора гласит:
a)В треугольнике квадрат гипотенузы равен квадрату
катетов.
б)В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна
сумме катетов.
в)В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы
равен сумме квадратов катетов.
г)В прямоугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов катетов.
Ответ: в
б)a2 + b2 = c
в)b2 + c2 = a2
г)a2 + b2 = c2
Ответ: г
4. Выберите тройку
пифагоровых
чисел:
а)2, 3 и 5
б)4, 5 и 8
в)5, 12 и 13
г)9, 11 и 14
Ответ: в