Краткое введение в теорию графов

Краткое введение в теорию
графов
Салищев С. И.
Определение графа
Ориентированный Граф
Вершина
v V
Дуга
e E
Неориентированный Граф
Ребро
e E
G  (V , E ), E  V  V
G  (V , E ), E  V  V , ( x, y )  ( y, x)
Дерево





Дерево – связный
неориентированный ациклический
граф
Корневое дерево – дерево с
выделенной вершиной (корнем),
корень задает ориентацию
Ориентированное дерево –
связный ориентированный граф в
котором все вершины кроме одной
имеют входящую степень 1, одна
вершина (корень) имеет входящую
степень 0
Лист – вершина с исходящей
степенью 0
Лес – множество деревьев
Обход дерева в ширину

Порядок посещения вершин по слоям
BFS(start_node, goal_node) {
// изначально список посещённых узлов пуст
for(all nodes i) { visited[i] = false;}
queue.push(start_node); // начиная с узла-источника
visited[start_node] = true;
while(! queue.empty() ) { // пока очередь не пуста
node = queue.pop(); // извлечь первый элемент в очереди
if(node == goal_node) {
// проверить, не является ли текущий узел целевым
return true;}
// все преемники текущего узла, ...
foreach(child in expand(node)) {
// ... которые ещё не были посещены ...
if(visited[child] == false) {
queue.push(child); // ... добавить в конец очереди...
visited[child] = true; // ... и пометить как посещённые
} } }
return false; // Целевой узел недостижим
}
Обход дерева в глубину
Посещение вершин по правилу левой руки

Время обнаружения и время завершения образуют правильную
скобочную последовательность
– любые два интервала либо не
1 procedure
DFS(G,v):
пересекаются либо один содержится в другом

2 label v as discovered
3 for all edges e in G.adjacentEdges(v) do
4 if edge e is unexplored then
5 w ← G.adjacentVertex(v,e)
6 if vertex w is unexplored then
7 label e as a discovered edge
8 recursively call DFS(G,w)
9 else
10 label e as a back edge
11 label v as explored
Остовное дерево графа



Поддерево (лес)
неориентированного графа,
содержащее все его вершины
Деревья поиска в ширину и
глубину – остовные
Хорда – ребро графа не из
остовного дерева
Классификация ребер при поиске в
глубину
Ребра дерева
2. Прямые ребра соединяют вершину с
потомком в дереве
3. Обратные ребра соединяют вершину с
предком в дереве
4. Перекрестные ребра – остальные
ребра
В неориентированном графе все ребра не в
дереве - обратные
1.
Топологическая сортировка




Топологическая сортировка
упорядочивает вершины
ориентированного графа в порядке
не нарушающем направление дуг
Обратный порядок завершения при
поиске в глубину дает
топологическую сортировку
Граф имеет цикл если поиск в
глубину находит обратное ребро
Порядок обхода в ширину дает
топологическую сортировку (следует
добавить виртуальную вершину для
объединения истоков)
Двусвязные компоненты







Точка сочленения (шарнир) –
вершина, удаление которой из
графа делает его несвязным
Двусвязный граф – не
содержащий точек сочленения
Двусвязная компонента –
максимальный двусвязный
подграф
Мост – ребро при удалении
нарушающее связность графа
Мост – двусвязная компонента из
одного ребра
Граф разбивается на множество
двусвязных компонент,
разделенных точками сочленения
Двусвязные компоненты образуют
дерево
Поиск точек сочленения




Поиск в глубину не находит обратных ребер между
двусвязными компонентами
Пусть вершины занумерованы временем обнаружения
при поиске в глубину d(v)
Для каждой вершины найдем L(v) – минимальный номер
вершины, в которую можно вернуться по обратному ребру
из v или потомков v или номер родителя, если обратных
ребер нет
v является точкой сочленения тогда и только тогда
–
–

Корень, если у него больше одного ребенка
Другие вершины, если есть ребенок u и L(u)=d(v)
Пример:
–
–
–
–
–
(4, 2), (5, 2) – обратные ребра
L(2)=1, L(3)=2, L(4)=2, L(5)=2, L(6)=5
2, 5 – точки сочленения
(1, 2), (5, 6) – мосты
[(2, 3), (3, 4), (4, 5), (4, 2), (5, 2)] – двусвязная компонента