A, B

Задачи и упражнения
на готовых чертежах
10 класс
Глава 1. Параллельность
прямых и плоскостей
к учебнику «Геометрия 10-11»
Автор Л.С. Атанасян
Содержание
Аксиомы стереометрии
Задача №1
A
B
D
Дано: точки F, B, C и D
не лежат в одной
плоскости
Указать:
1. Плоскости, которым
принадлежит:
C
Прямая AB; точка F;
точка С
F
2. Прямую пересечения
плоскостей:
a)ABC и ACD
b)ABD и DCF
Аксиомы стереометрии
M
Задача №2
E
A
F
B

C
Дано: точка M лежит вне
плоскости  , а точки A,B и
C принадлежат этой
плоскости.
1.Принадлежит ли точка F
плоскости ?
2.Указать прямую
пересечения плоскостей
 и ABM; ABM и ВМС.
3. Может ли точка E
Принадлежать плоскости  ?
4. Принадлежит ли
прямая АС плоскости МВС?
Аксиомы стереометрии
Задача №3
а
Дано: плоскости  и
 пересекаются по
прямой а.


C
Может ли точка С принадлежать
плоскостям  и  ?
Аксиомы стереометрии
M
Задача №4

A
Дано: лучи MA, MB и
MC лежат в одной
плоскости и пересекают
плоскость  в точках
A, B и C.
C
B
Доказать, что точки A,
B и C лежат
на одной прямой
Аксиомы стереометрии
Задача №5
a
b
M
D

P
K
F
c
Дано: прямые a, b и
с пересекают
плоскость  в
точках M, K и P.
Лежат ли прямые a, b
и с в одной
плоскости?
Аксиомы стереометрии
Задача №6
а
Дано: прямая с –
b
линия пересечения
плоскостей  и  .
с
Прямые a и b


принадлежат
плоскостям  и 
соответственно.
Доказать: прямые a и b не лежат
в одной плоскости.
Параллельность прямых
Задача №1
Дано: a || b
с
А
а
С
В
b
Доказать: a, b и c
лежат в одной
плоскости
Параллельность прямых
Дано : ABCD –
параллелограмм.
Точки A, B и D лежат
в плоскости  .
Задача №2
В
А

D
С
Доказать: точка С
лежит в плоскости 
Параллельность прямой и
плоскости
Дано: точка К лежит
вне плоскости
параллелограмма
ABCD
Задача №3
K
С Указать: пары
В
А
параллельных
прямых и
плоскостей
D
Параллельность прямой и
плоскости
Задача №4
K
В
А
D
С
Дано: точка К
лежит вне
плоскости
трапеции ABCD
Доказать:
CD || AKB
Параллельность прямой и
плоскости
Задача №5
а

c
b
Доказать: a || b || c

Дано:
плоскости  и 
пересекаются по
прямой с.
Прямые и
принадлежат
плоскостям  и  .
a||b.
Параллельность прямой и
плоскости
Задача №6
а


b
Доказать: b || a
Дано:
плоскости  и 
пересекаются по
прямой а.
b ||  , b ||  .
Параллельность прямой и
плоскости
Дано: прямая b
пересекает
плоскость  в
точке M.
а || b.
Задача №7
а
b

M
Доказать: a пересекает

Параллельность прямой и
плоскости
а
Задача №8

M
b
Доказать: b принадлежит  .
Дано: а|| , a||b,
M-общая точка
плоскости  и
прямой b.
а || b.
Скрещивающиеся прямые
Задача №1
А
а
Дано: прямые a и
b - скрещивающиеся
В
С
D
d
b
с
Доказать: a, b и c
лежат в одной
плоскости
Скрещивающиеся прямые
Дано: точка А лежит
вне плоскости DNK.
Задача №2
А
N
D
K
Доказать: прямые
AD и NK скрещивающиеся
Скрещивающиеся прямые
Дано: b|| BC, прямая
а не принадлежит
плоскости АВС
Задача №3
а
В
D
А
С
b
Доказать: прямые a
иbскрещивающиеся
Скрещивающиеся прямые
Дано: b|| BC, прямая
а не принадлежит
плоскости АВС
Доказать: прямые a
иbскрещивающиеся
Задача №4
а
В
D
А
С
b
Угол между прямыми
Задача № 1
М
B
А
D
Дано: прямая МВ
перпендикулярна
плоскости АВС
ABCD C прямоугольник
Найти : угол между
прямыми а) МВ и AD,
б)AM и CD, в) AM и
BC
Угол между прямыми
Задача № 2
М
Дано: прямая МВ
перпендикулярна
плоскости АВС
D
А
B
C
Найти : угол между
прямыми АВ и СD,
Угол между прямыми
Задача № 3
Дано: прямая МВ
перпендикулярна
плоскости АВС
ABCD - ромб
C Найти : угол между
прямыми МD и BC
М
B
А
D
Угол между прямыми
Задача № 4
Дано: точка D лежит
вне плоскости АВС
D
А
B
C
Найти : угол между
прямыми АС и ВD,
Угол между прямыми
Задача № 5
Дано: прямая МВ
перпендикулярна
плоскости АВС
ABCD – квадрат
М
C
B
А
Найти : угол между
прямыми МD и BC
D
Угол между прямыми
Задача № 6
D
М
B
А
C
Дано: прямая МВ
перпендикулярна
плоскости АВС
ABCD - квадрат
Найти : угол
между прямыми
BD и CМ
Параллельность плоскостей
Задача №1
А1
В1
А
Дано:
С1 АА1||BB1||CC1
АА1=BB1=CC1
Доказать:
параллельность
плоскостей АBC и
А1B1C1
С
В
Параллельность плоскостей
Задача №2
Дано: D лежит вне
плоскости АВС
D
С1
А1
В1
А
С
В
Доказать:
параллельность
плоскостей АBC и
А1B1C1
Параллельность плоскостей
Задача №3
а
А
В
А1
Дано: плоскости  и
 параллельны
a||b
b

В1

Доказать: АВ=А1В1
Параллельность плоскостей
Задача №4
а
b
А
В

O
А1

В1
Дано: плоскости 
и  параллельны
прямые
а и b пересекаются в
точке О.
Доказать: АВ||А1В1.
Параллельность плоскостей
Задача №5
а
с
А
Дано: плоскости  и
 параллельны
a||b||c
b
В

С

В1
А1
С1
Доказать:
Δ А1В1С1
ΔАВС=
Параллельность плоскостей
Задача №6
А
А1
а
b
В


В1
Дано: плоскости 
и  параллельны
прямые
аиb
скрещивающиеся
Доказать: прямые АВ
и А1В1 скрещивающиеся
Параллельность плоскостей
Задача №7
а
b
А
В
6

3
O
4
А1
5

В1
Дано: плоскости 
и  параллельны
прямые
а и b пересекаются в
точке О.
Найти: ОВ и А1В1.
Литература


Геометрия 10-11 кл. Учебник для
общеобразовательного учреждения. Л.С.
Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.- М.:
Просвещение, 2009
Е.М. Рабинович. Геометрия 10-11 классы. Задачи
и упражнения на готовых чертежах.- М.: Илекса,
2008