Касательной к окружности
реклама
1. Прямая и окружность имеют две общие точки (Расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса: d < r) 2. Прямая и окружность имеют одну общую точку (Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу: d = r ) 3. Прямая и окружность не имеют общих точек (Расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса: d > r) О О О Определение: Касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку, эта точка называется точкой касания прямой и окружности 1.Касательная перпендикулярна к радиусу, р проведённому в точку касания Доказательство: Пусть р - касательная к окружности с центром О, А – точка О А касания. Докажем, что р ┴ ОА Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой р. Так как перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой р, меньше наклонной ОА, то расстояние от центра О окружности до прямой р меньше радиуса. Следовательно, прямая р и окружность имеют две общие точки. Но это противоречит условию: прямая р — касательная. Таким образом, прямая р перпендикулярна к радиусу ОА. 2. Отрезки касательных, от данной точки до точек касания равны АВ = АС Доказательство: По 1 свойству касательной углы 1 и 2 прямые, поэтому треугольники АВО и АСО прямоугольные. Они равны, так как имеют общую гипотенузу ОА и равные катеты ОВ и ОС. Следовательно, АВ = АС и 3= 4, что и требовалось В доказать. 1 О 2 С 3 4 А В А О • Дано: R = 5, АВ – касательная. • Найти: ОВ. В А О • Дано: АВ – касательная, АВ = 12, ОВ = 13. • Найти: R окружности А В О С • Дано: АВ, ВС – касательные, ОВ = 2, АО = 4. • Найти: ВОС
