Теорема взаимности и «невзаимные

Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Теорема взаимности и
«невзаимные» магнитооптические
эффекты
Е.А. Караштин
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
План
• Теорема взаимности для поляризованного
электромагнитного излучения:
 классический подход;
 квантово-механический подход.
• Теорема взаимности для неполяризованного
электромагнитного излучения.
• «Невзаимные» эффекты в однородно
намагниченных системах.
• Среды с неоднородным распределением
намагниченности.
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Теорема взаимности: классический подход
 1
jext
 1  1  1  1  1
jext , E , H , D , B
 2 
jext

r1

r2
 2   2   2   2   2 
jext , E , H , D , B


ˆr ; 
t , ˆ r ; 
t
 2 
 1
 1 4  1
E  rot H  ik 0 D 
jext
c
 2 
 1
 1
H  rot E  ik 0 B

 



 1
 2 
 2  4  2 
 E  rot H  ik 0 D 
jext
c
 1
 2 
 2 
 H  rot E  ik 0 B

 2   1
 1  2 
4  1  2   2   1
div E , H  E , H

jext E  jext E 
c
 1  2   2   1  1  2   2   1
 ik 0 D E  D E  H B  H B

Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Теорема взаимности: классический подход

 d r;
R
3
BR

 

 2   1
 1  2 

 d r div E , H  E , H 
3
BR

 

 1  2 
  2   1
d s E ,H  E ,H 0
2
BR
Пусть рассеивающая система симметрична относительно
обращения времени.
 i 
 i 
  i 
  i 
B  ̂ r  H
D  ˆr  E ;
Соотношения Онзагера:




 ij r ,     ji r ,  ; ij r ,     ji r ,  
 1  2   2   1  1  2   2   1
D E  D E  H B  H B   ij   ji E j1 Ei2   ij   ji H i1 H j2   0
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Теорема взаимности: классический подход
 
  1  2 
3   2  1
 d r jext E   d r jext E
3
V1
V2
Размер источников мал по сравнению с длиной волны.
 2    1  1   2 
E r1  p  E r2  p ;

 i 
3  i 
p   d r jext
Vi
Выберем
 i  
p  ri
  i   i 
E ~p .
 1, 2  
 1, 2 
ˆ
E r2,1   ARL, R p
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Теорема взаимности: классический подход

ps1es1
Линейные поляризации:
i 
i 
 i   ps   i   Es 
p  i  , E  i 
p 
E 
p


 p 
 
 
ˆ
ˆ
 RL  R k , k 
k
 
 

ps2 es2 

r1
1  1

r2
p p ep


p p2 e p2 

 
Rˆ R  Rˆ  k ,k


 k
k

k



 
 2  T  1  1 T  2 
 1 T  2  T
 2  T T  1
p
RR p  p
RL p  p
RL p
 p
RL p
  
 
 
Rˆ k , k   Rˆ  k ,k

T
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Теорема взаимности: классический подход
Рассеивающая система несимметрична относительно
обращения времени.
Соотношения Онзагера:

















 ij r ,  , t   ji r ,  ,  t ; ij r ,  , t   ji r ,  ,  t
 1  1  1  1  1
jext , E , H , D , B , t;
 1, 2 
 1, 2 

D  ˆ r ,  t E ;

 
 2   2   2   2   2 
jext , E , H , D , B ,  t
 1, 2 
 1, 2 

B  ˆ r ,  t H

 
 
Rˆ k , k ,  t  Rˆ  k ,k ,  t
T
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Теорема взаимности: классический подход
 1  1 
es , e p , k - правая тройка
 2   2  
es , e p , k  - правая тройка


es1

e p1

es2 

k

r1

r2

k

e p2 

 
ˆ
R  k , k ,  t - в том же базисе!
В правом базисе:


 
 r11 r12 
ˆ

R k , k ,  t  
 r21 r22 





 
 r11
ˆ
R  k ,k , t  
  r12

 
 
T
Rˆ k , k , t  ˆ z Rˆ  k ,k ,  t ˆ z
 r21 

r22 
1 0 

ˆ z  
 0  1
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Теорема взаимности: классический подход
 i   i 
E , H ~ r 1
 1
jext

 

 1  2 
  2   1
d s E ,H  E ,H 0
2

r1
BR
Затухание:
 2 
jext
exp   r 

r2


ˆ
ˆ
 r ; 
t ,  r ; 
t
Все источники локализованы
внутри шара радиуса R0
  0, R  ;  R  
Тогда

 

 1  2 
  2   1
d s E ,H  E ,H 0
2
BR
R0
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Теорема взаимности: классический подход
Другой подход:
Источники на бесконечности.
 1, 2 
 r
n
r

r
jext  0
 
  exp  ikr    exp ikr 
E r   F1 n 
 F2 n 
r
r

   
divE  0  F1 n  F2 n  0
Линейность уравнений Максвелла:
 
   
ˆ
F2 n     d S n , nF1  n
ˆ  
  
ˆ
n S n , n   S n , n  n   0


ˆr ; 
t , ˆ r ; 
t
D.S. Saxon, “Tensor
Scattering Matrix for
the Electromagnetic
Field”, Phys. Rev. 100,
1771 (1955)
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Теорема взаимности: классический подход
Теорема взаимности:

 

 1 
 1 
 2  
  2  
 d r n E nr ,  t, rot E nr , t  E nr , t, rot E nr ,  t  0
2
BR



 2    1 
 1   2  
 d F1 n F2 n, t  F1 n F2 n,  t  0

 2    
 1 
 1   
 2  
ˆ
ˆ
 dd F1 n S n, n, tF1  n  F1 n S n, n,  tF1  n  0

 

n  n , n   n ,


 T
 2  
 1  
T
 
 



ˆ
ˆ
 dd  F1 n  S n, n, t  S  n,n,  t F1  n  0


T
 
 
ˆ
ˆ
S n , n ,  t  S  n ,n ,  t
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Теорема взаимности: классический подход
Циркулярная поляризация
1
1
1






ˆ
R   x11   x12  
i 
i 
i
1 
1
1 
ˆ
R   x21   x22  
i
i 
i


 
 x11
ˆ
X k , k , t  
 x21
x12 

x22 


 
 x11
ˆ
X  k ,k ,  t  
 x12
x21 

x22 
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Теорема взаимности: квантовый подход
Рассеяние частиц со спином:
 
 
2 s   
f ,  n, n, t   1
f  ,   n,n,  t
Фотоны:
s  1;  ,    1,   0
запрещено
 
 
f1,1 n, n, t  f 1, 1  n,n,  t
 
 
f 1,1 n, n, t  f 1,1  n,n,  t
 
 
f1, 1 n, n, t  f1, 1  n,n,  t
 
 
f 1, 1 n, n, t  f1,1  n,n,  t

 
 x22
ˆ
X  k ,k ,  t  
 x21

 
 x11
ˆ
X k , k , t  
 x21
x12 

x22 


x12 

x11 
Ось квантования спина надо не забыть сменить!
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Теорема взаимности для неполяризованного
излучения
I 
ˆI  Rˆ  Rˆ



Неполяризованное излучение:


1
̂   2
 0


 
1
I k , k ,  t   Rˆ ij
2 i, j



 ˆ
 ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
 R R    Tr  R R

2

 
 
I k , k , t  I  k ,k ,  t
0 
1 
2

Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
«Невзаимные» эффекты в однородно
намагниченной системе
Однородно намагниченные
частицы в киральной
пространственной конфигурации.
Iˆ
F.A.Pinheiro, B.A. van Tiggelen
“Magnetochiral scattering of
light: Optical manifestation of
chirality”, Phys. Rev. E 66,
016607 (2002)
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
«Невзаимные» эффекты в однородно

намагниченной системе
B
Приближение точечных диполей:


 
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ  I     1 I   F   r  rl 
l
 ij  ieijk Bk
2
4




2
ˆ , t0  
ˆt  t0 Iˆ  t1
,
t



t
1
0,
2
2
3
0    2i 3
6
6  F B
ширина резонансной линии


 2 3
  V расс
0  резонансная частота
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
«Невзаимные» эффекты в однородно
намагниченной системе
Gˆ NM
 exp ikr  
 1
1 ˆ
NM  ˆ
 I  3rˆNM rˆNM
I  rˆNM rˆNM  


2


4 rNM 
ikr


kr
NM
 NM


0, N  M


 

 exp ik r1
  
Tˆ k , k    ...


 exp ik rN
 

  


 exp ik r1

1 
 tˆ  Iˆ  Gˆ  tˆ  ...




 exp ik rN
 
*



Mˆ 3 N 3 N  tˆ  Iˆ  Gˆ  tˆ







, N  M



Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
«Невзаимные» эффекты в однородно
намагниченной системе






 
* ˆ 
f s, k  s, k   g s f k  k  g s ,


  

g  вектор поляризации





ˆf k  k   Mˆ NM exp ik r exp  ik  r  fˆ 0  fˆ 1

N
M
NM

 
NM ˆ ˆ MN 
ˆf 1   k  B 
ˆ
M 0 M 0 exp ik rN exp  ik  rN 

4
NMN 







 
d
I s, k ; s, k  ~
s, k  s, k ; B 
d
Псевдоскаляр


   





 
1
f s, k  s, k   f s, k  s, k ; B
0


2
4 2

 

1

NM
M
N
g
Im  i Tr Mˆ 0  k Mˆ 0  k sin k rNN 
2
N  N , M
 

k ij

 ieijl kl ,  k ij   ij  ki k j k 2

k 4
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
«Невзаимные» эффекты в однородно
намагниченной системе
4
поиск киральной величины, инвариантной относительно
 вращений с сохранением направлений k, k, B
Теорема взаимности + симметрия относительно инверсии:


 
d
s, k  s, k ; B
d
 
     

    
    
 A k , k  B, k , k   C k , k  B, k  k 

4
 
A k , k   скаляр, характеризующий аналог эффекта Холла
 
для света
 
C k , k   псевдоскаляр, характеризующий магнитокиральный
эффект
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
«Невзаимные» эффекты в однородно
намагниченной системе

b
  
   
 
 
 
 
A k , k   A  k ,k , C k , k   C  k ,k


c

a
      
 
     
C k , k    k k  a, b a, b , c  ...
~ sin 2  ...

Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Неоднородное распределение
намагниченности
Возникают дополнительные члены, связанные с неоднородностью
распределения намагниченности.
Ограничимся младшими производными:
 
 
   

I   k , k  k  k , rot M
 
 k , k   скаляр

Киральная пространственная конфигурация частиц не требуется!
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Неоднородное распределение
намагниченности
Магнитный вихрь


M   1  mz2 (  ) sin(  ), 1  mz2 (  ) cos( ), mz (  )

Наличием кора можно пренебречь
 
rot M   0, 0, 1 


mz    0
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Неоднородное распределение
намагниченности
Реализация вихрей, закрученных в одну сторону, требует отсутствия
центра инверсии

H

H
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Неоднородное распределение
намагниченности
S.Yakata, M.Miyata et al. Appl. Phys.
Lett. 97, 222503 (2010)
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Неоднородное распределение
намагниченности
90% вихрей в одну сторону
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Неоднородное распределение
намагниченности
Эффекты:
Схема эксперимента

H

k

k1,r

k 1,t

k1,r

k 1,t


  
  
k  k , M
  
k,k ,M
 

k  k , rot M


Измерения:
I  H s , I  0,
I  H s , I  0
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Заключение
• При падении неполяризованного излучения на рассеивающую систему
интенсивность рассеянного в «прямом» направлении излучения совпадает с
интенсивностью излучения, рассеянного в «обратном» направлении
обращённой по времени системой.
•В
однородно
намагниченной
среде
интенсивность
излучения,
распространяющегося в «прямом» и «обратном» направлении, может быть
различной за счет киральной пространственной конфигурации среды.
Наличие в интенсивности слагаемых, соответствующих эффекту Холла и
магнитокиральному эффекту, следует из симметрийных соображений и
подтверждается микроскопическими расчетами.
•В
неоднородно
намагниченной
среде
возможно
возникновение
дополнительных «невзаимных» слагаемых, связанных с неоднородностью
распределения намагниченности. Симметрийные соображения показывают,
что для появления таких слагаемых не требуется киральной
пространственной конфигурации среды. Неоднородность намагниченности
достигает больших величин в искусственных средах, что позволяет
надеяться наблюдать указанные эффекты при рассеянии света на них.
Учреждение Российской академии наук
Институт физики микроструктур РАН
Неоднородное распределение
намагниченности
1383nm
987nm
2782nm
583nm
700nm