D В С

Центральные и
вписанные углы
Дуга, полуокружность
Дугой называют часть окружности,
ограниченную двумя точками.
 АLВ
 АМВ
Дуга называется полуокружностью,
если отрезок, соединяющий ее концы,
является диаметром окружности.
АLВ   AMB  180
Центральный угол
О
В
А
Угол с вершиной в центре окружности
называется центральным углом.
АОВ  АВ
Вписанный угол
С
О
В
А
Угол, вершина которого лежит на окружности,
а стороны пересекают окружность,
называется вписанным углом.
Назовите вписанные углы
ТЕОРЕМА
О ВПИСАННОМ
УГЛЕ
ВПИСАННЫЙ УГОЛ ИЗМЕРЯЕТСЯ ПОЛОВИНОЙ
ДУГИ, НА КОТОРУЮ ОН ОПИРАЕТСЯ
Дано: окр.(О,R), АВС – вписанный
(опирается на АС).
В
1
Доказать: ABC 
 AC
2
Доказательство:
А
О
С
луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС
В
AOC  AC
2
О
1
А
С
AOC  1  2  21
21  AC
1
ABC  1   AC
2
луч ВО делит угол АВС на два угла
В
 AD
А
и  DC
1
ABD   AD
О
2
С
1
DBC   DC
D
2
1
1
ABD  DBC   AD   DC
2
2
1
ABC   AC
2
луч ВО не делит угол АВС на два угла и не
совпадает со стороной этого угла
В
О
А
С
D
СЛЕДСТВИЕ 1:
ВПИСАННЫЕ УГЛЫ,
ОПИРАЮЩИЕСЯ НА
ОДНУ И ТУ ЖЕ ДУГУ,
РАВНЫ
СЛЕДСТВИЕ 2:
ВПИСАННЫЙ УГОЛ,
ОПИРАЮЩИЙСЯ НА
ПОЛУОКРУЖНОСТЬ,
ПРЯМОЙ
О
О
Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же
дугу, равны.
M
N
F
О
В
А
С
Вписанный угол, опирающийся на
полуокружность – прямой.
M
N
F
О
А
С
В
По данным рисунков найдите х.
1) 152
2) 125
•
х =64
80
2)
•
30
х =175
Х
Х
3)
Х
20 •
х = 105
215
Отметьте на рисунке (дугой) угол CFB
FAE ии
соответствующий ему центральный угол.
B
A
C
O
F
D
E
Отметьте на рисунке (дугой) угол
DFA ии соответствующий
ABC
соответствующий ему
ему
центральный угол.
B
A
C
O
F
E
D
Отметьте на рисунке (дугой) все углы, равные
углу AEF
7. Сторона AB тупоугольного треугольника ABC равна
радиусу описанной около него окружности. Найдите
угол C. Ответ дайте в градусах.
R
R
60
О
300
1
АСВ   АВ  150
2
R
Углы в окружности
Вписанные углы, опирающиеся на одну
хорду равны или их сумма равна 1800
ADB  AKB  180
Угол между двумя хордами
(угол с вершиной внутри окружности) равен
полусумме угловых величин дуг окружности,
заключенных внутри данного угла и внутри
вертикального угла.
DMC  ADM  DAM 
1
   DmC   AlB 
2
Угол между двумя секущими
(угол с вершиной вне окружности) равен
полуразности угловых величин дуг
окружности, заключенных внутри угла.
M  CBD  ACB 
1
   DmC   AlB 
2
Угол между касательной и секущей
(угол с вершиной вне окружности) равен
полуразности угловых величин дуг
окружности, заключенных внутри угла.
М
1
МСА    АМ   ВМ 
2
Угол между касательными
(угол с вершиной вне окружности) равен
полуразности угловых величин дуг
окружности, заключенных внутри угла.
1
    А  В 
2
Задача ЕГЭ. Касательные CA и CB к окружности
образуют угол ACB, равный 122°. Найдите величину
меньшей дуги AB, стягиваемой точками
касания. Ответ дайте в градусах.
Градусная мера дуги АВ окружности это градусная мера центрального
угла АОВ.
Чтобы найти величину угла АОВ, рассмотрим
четырёхугольник ОВСА. Заметим, что
касательная перпендикулярна радиусу окружности,
проведённому в точку касания.
Таким образом, в четырёхугольнике ОВСА ∠ОАС = ∠ОВС = 90°,
а ∠ACB = 122°.
Сумма углов четырёхугольника равна 360°. Зная три угла,
находим четвёртый:
∠АОВ = 360° - 90° - 90° - 122° = 180° - 122° = 58°.
Ответ: 58°
Возможен и другой путь. Рассмотрим треугольник АВС, он
равнобедренный, т.к. отрезки касательных, проведённых из
точки С к окружности, равны, СВ = СА.
В равнобедренном треугольнике
углы при основании равны,
найдём эти углы.
∠АВС = ∠ВАС = (180° - 122°) : 2
= 29°.
Треугольник АОВ тоже
равнобедренный, боковые
стороны равны как радиусы.
∠ОАВ = ∠ОАС - ∠ВАС = 90° - 29° = 61°.
∠ОВА = ∠ОАВ = 61° (можно его найти аналогично).
∠АОВ = 180° - ∠ОАВ - ∠ОВА = 180° - 61° - 61° = 180° - 122°
= 58°.
Ответ: 58°
ЕСЛИ ДВЕ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ,
ТО ПРОИЗВЕДЕНИЕ ОТРЕЗКОВ ОДНОЙ ХОРДЫ
РАВНО ПРОИВЕДЕНИЮ ОТРЕЗКОВ ДРУГОЙ
ХОРДЫ
AE  BE  CE  DE
1  2
C
3  4
2
E
А
3
1
D
4
В
ADE
CBE
- по первому
признаку
AE DE

CE BE
AE  BE  CE  DE
Какие свойства нам пригодятся при решении задач о
вписанной окружности и описанном четырехугольнике?
С
 Свойство касательной
 Свойство отрезков
касательных
F
E
В
О
D
P
К
А
В любом описанном четырехугольнике суммы
противоположных сторон равны.
С
ВА + CD = ВС + AD
В
О
D
А
Какие свойства нам пригодятся при решении задач о
вписанном четырехугольнике и описанной окружности?
 Теорема о вписанном угле
В
А
О
D
С
В любом вписанном четырехугольнике сумма
противоположных углов равна 1800.
В
А
А  С  180
О
0
В  D  180
D
С
0
Формула для радиуса
окружности, описанной
около правильного nугольника
Формула для радиуса
окружности, вписанной
в правильный nугольник
a
n=3
a
R
3
r
n=4
a
R
2
a
r
2
Ra
a 3
r
2
n=6
2 3
Если вы забыли формулы взаимосвязи между R, r и a
для правильного треугольника, всегда легко их вывести.
Например, можно получить эти формулы так:
С
R
Медианы в точке пересечения
делятся в отношении 2:1,
Радиус описанной окружности R
считая от вершины
треугольника.
т. О – точка пересечения
биссектрисс, высот, медиан
равностороннего треугольника
Радиус вписанной окружности r
O
r
A
300
a
2
K
a
Можно найти и другие способы для вывода формул.
В
R = 2r
n=3
a
r  tg 30 0
2
a 1
r 
2 3
r
a
2 3
R  2
a
2 3
a
R
3
Повторение. Если вы забыли формулы взаимосвязи между R, r и a
для правильного четырехугольника (квадрата), всегда легко их
вывести. Например, можно получить эти формулы так:
n=4
Радиус описанной окружности R
D
a
r
2
С
AK
cos 45 
AO
0
т. О – точка пересечения
диагоналей квадрата
O
R
450
A
a
2
r
a
2 2

2
R
Радиус вписанной окружности r
K
a
Можно найти и другие способы для вывода формул.
В
a
R
2
Если вы забыли формулы взаимосвязи между R, r и a
для правильного шестиугольника всегда легко их вывести.
Например, можно получить эти формулы так:
n=6
a
r  tg 60 0
2
a
r  3
2
Радиус описанной окружности R
т. О – точка пересечения
биссектриссшестиугольника
O
a 3
r
2
Радиус вписанной окружности r
R
A
r
a
2
K
a
М
Можно найти и другие способы для вывода формул.
Треугольник АОМ равносторонний
Ra