Теория графов

Графы
Волновой метод
Задание графов
Пусть граф задан
графически.
Составить матрицу
смежности и матрицу
инцидентности для
этого графа.
2
3
1
4
Задание графов
По матрице смежности
построить граф
a
b
c
d
a
0
1
1
0
b
1
0
1
0
c
1
1
0
1
d
0
0
1
0
Задание графов
Построить граф, если
задана матрица
инцидентности
u
v
w
x
a
1
0
0
0
b
1
1
1
0
c
0
1
0
1
d
0
0
1
1
Изоморфизм

Показать, что следующие два графа
изоморфны
Изоморфизм


Изобразить все попарно неизоморфные 4вершинные графы без петель и кратных
ребер.
Изобразить все попарно неизоморфные
несвязные 5-вершинные графы, не
имеющие петель, кратных ребер и
изолированных вершин.
Изоморфизм и степень вершин

Изобразить все попарно неизоморфные не
имеющие петель и кратных ребер
кубические графы с 6 вершинами
(кубические – однородные (у которых все
вершины – одинаковой степени) графы со
степенью 3)
Изоморфизм

Среди пар графов, изображенных на
рисунке, найдите пары изоморфных и
неизоморфных. Ответ обосновать.
Изоморфизм

Среди пар графов, изображенных на
рисунке, найдите пары изоморфных и
неизоморфных. Ответ обосновать.
Изоморфизм

Среди пар графов, изображенных на
рисунке, найдите пары изоморфных и
неизоморфных. Ответ обосновать.
Волновой метод

Постановка
задачи.
Пусть
G
–
неориентированный связный граф, а и b –
две его вершины. Требуется найти цепь,
соединяющую вершины а и b и
содержащую наименьшее число ребер.
Волновой метод

1.
2.
3.
Алгоритм
решения
задачи
волновым
методом.
Помечаем вершину а индексом 0.
Вершины, смежные с а и соединенные с а,
дугами, инцидентными вершине а, помечаем
индексами 1.
Вершины, смежные с помеченными индексами 1
и соединенные с ними инцидентными вершинам
1 дугами, помечаем индексами 2.
Волновой метод
4.
5.
6.
Аналогично помечаем вершины
индексами 3, 4, …
Совокупность вершин, помеченных
индексом m, обозначим Am.
В некоторой момент будет помечена
вершина b, пусть b∈An. Останавливаем
процесс индексации.
Волновой метод
7.
8.
По построению можно найти вершину b1∈An-1,
смежную с b, по тем же соображениям
существует вершина b2∈An-2, смежная с b1, и т.д.
Искомая цепь с наименьшим числом ребер
получается теперь как последовательность
вершин (b, b1, b2, …, bn=a), где bi An-i, то есть
нужно двигаться, начиная от конечной вершины
b в сторону убывания индекса вершины.
Задание
Найти все кратчайшие цепочки от b до а.

2
1
3
4
5
9
8
13
12
6
7
10
14
21
11
15 16
а
18
19
17
b
20
22
23
24
Волновой метод

В случае ориентированного графа волновой
метод позволяет решить две задачи:



Найти длины кратчайших путей от вершины а до
остальных вершин графа;
Найти длины кратчайших путей от каждой вершины
графа до вершины а.
При этом в основном алгоритме изменяется
только построение множества Аn.
Условный радиус вершины

Если мы не будем останавливать
индексацию,
то
через
некоторое
количество шагов все вершины графа
будут снабжены индексами, причем
наибольший из них является условным
радиусом графа G относительно вершины
а.
 ra=max d(a, b)
Центр и диаметр графа





Расстоянием между вершинами a и b называется длина
кратчайшей цепи из a в b.
Радиус графа определяется как наименьший из условных радиусов
вершин графа.
Центром графа G называется такая вершина a, что максимальное
расстояние между a и любой другой вершиной является наименьшим
из всех возможных. Это расстояние называется радиусом графа.
Диаметром d связного графа называется максимальное возможное
расстояние между любыми двумя его вершинами.
Если расстояние между двумя вершинами равно диаметру графа, то
кратчайший путь, соединяющий эти вершины, называется
диаметральным путем, а подграф, образованный вершинами и
ребрами этого пути, – диаметральной цепью.
Задание

Найти радиус и
диаметр графа
Задание

Найти радиус,
диаметр и центр
графа
Задание

Найти радиус,
диаметр и центр
графа
Задание

Найти радиус,
диаметр и центр
графа