Слайд 1 - МБОУ Дубковская средняя общеобразовательная

Государственное образовательное учреждение дополнительного образования
(повышения квалификации) специалистов Московской области
Педагогическая Академия Последипломного Образования
________________________________________________________________________
Кафедра математических дисциплин
Практико-ориентированный проект на тему:
«Задачи на графы. Идея четности. Раскраска
(подготовка материалов к кружковому занятию с презентацией)»
Работу выполнила:
Лаирова Елена Михайловна,
учитель математики Дубковской СОШ «Дружба»
п. ВНИИССОК Одинцовского района Московской области
Научный руководитель:
КПН Мардахаева Елена Львовна
Москва 2011 год
История возникновения теории графов
________________________________________________________________________
Леона́рд Э́йлер (4 апреля 1707, Базель, Швейцария —
7 сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя)
— швейцарский, немецкий и российский
математик, внёсший значительный вклад
в развитие математики, а также
механики, физики, астрономии
и ряда прикладных наук.
Почти полжизни провёл в
России, где внёс существенный
вклад в становление российской
науки.
Считается родоначальником теории графов.
История возникновения теории графов
________________________________________________________________________
Задача о Кёнигсбергских мостах
Бывший Кёнигсберг (ныне Калининград) расположен на реке Прегель. В
пределах города река омывает два острова. С берегов на острова были
перекинуты мосты. Старые мосты не сохранились, но осталась карта города,
где они изображены.
Вопрос: можно ли пройти по всем мостам и вернуться в начальный
пункт, побывав на каждом мосту только один раз?
История возникновения теории графов
________________________________________________________________________
Задача о Кёнигсбергских мостах
КАРТА ГОРОДА И СООТВЕТСТВУЮЩИЙ ЕЙ ГРАФ
g
c
d
e
a
b
f
вершины
рёбра
a, b, c, d, e, f, g
A, B, C, D
Граф - совокупность конечного числа точек, называемых вершинами графа, и
попарно соединяющих некоторые из этих вершин линий, называемых ребрами
или дугами графа.
История возникновения теории графов
________________________________________________________________________
Решая задачу про кенигсбергские мосты, Эйлер установил
следующие свойства графа:
•
если все вершины графа четные, то можно одним росчерком (т.е. не
отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды по одной и той же
линии) начертить граф. При этом движение можно начать с любой
вершины и окончить в той же вершине.
•
граф с двумя нечетными вершинами тоже можно начертить одним
росчерком. Движение надо начинать от любой нечетной вершины, а
заканчивать на другой нечетной вершине.
•
граф с более чем двумя нечетными вершинами невозможно начертить
одним росчерком.
История возникновения теории графов
________________________________________________________________________
Решение задачи Эйлера: нельзя пройти по всем мостам один раз и
закончить путь там, где он был начат, по причине того что все четыре вершины
соответствующего графа нечетные, при этом их количество больше двух.
Основные понятия теории графов
________________________________________________________________________
Граф – это совокупность конечного числа точек, называемых вершинами
графа, и попарно соединяющих некоторые из этих вершин линий,
называемых ребрами или дугами графа.
ребро
Изолированная вершина – вершина,
которая не принадлежит ни одному ребру.
изолированная
вершина
вершина
Основные понятия теории графов
________________________________________________________________________
Нуль-граф - граф, состоящий
только из изолированных вершин.
Полный граф – граф, в котором
каждая пара вершин соединена
ребром.
Степень вершины - число ребер, которые выходят из данной
вершины. Вершина называется нечетной, если ее степень - число
нечетное. Вершина называется четной, если ее степень - число
четное.
Основные понятия теории графов
________________________________________________________________________
Плоский граф – который можно представить на плоскости в таком
виде, когда его ребра пересекаются только в вершинах.
плоский граф, изоморфный (равный) графу,
изображённому на рисунке а)
Не каждый граф является плоским, однако любой плоский граф
можно представить в обычном виде.
Основные понятия теории графов
________________________________________________________________________
Грань - многоугольник плоского графа, не содержащий внутри себя
никаких вершин или ребер графа. Понятия плоского графа и грани
графа применяется при решении задач на "правильное" раскрашивание
различных карт.
Раскраска называется правильной, если
образы любых двух смежных вершин
различны.
грань
Основные понятия теории графов
________________________________________________________________________
Дерево — это связный ациклический граф (то есть граф, не
содержащий циклов, между любой парой вершин которого
существует ровно один путь).
Деревья отличаются от простых
графов тем, что при обходе дерева
невозможны циклы.
Это делает графы очень удобной
формой организации данных для
различных алгоритмов.
Основные понятия теории графов
________________________________________________________________________
При изображении графов на рисунках или схемах отрезки могут
быть прямолинейными или криволинейными, длины отрезков и
расположение точек произвольны.
=
=
Все три фигуры на рисунке изображают один и тот же граф.
Задачи на графы. Идея чётности. Раскраска.
________________________________________________________________________
Задача №1.
Аркадий, Борис, Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече
обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу).
Сколько всего рукопожатий было сделано?
Решение.
Пусть каждому из пяти молодых людей соответствует определенная
точка на плоскости, названная первой буквой его имени, а — отрезок –
производимое рукопожатие.
В
В
Б
Б
Г
А
Г
А
Д
Д
Задачи на графы. Идея чётности. Раскраска.
________________________________________________________________________
Задача №1.
Аркадий, Борис, Владимир, Григорий и Дмитрий при встрече
обменялись рукопожатиями (каждый пожал руку каждому по одному разу).
Сколько всего рукопожатий было сделано?
Решение.
В
Б
Если полный граф имеет n вершин, то
количество ребер будет равно
n(n-1)/2.
Г
А
Д
Ответ: было совершено 10 рукопожатий.
Задачи на графы. Идея чётности. Раскраска.
________________________________________________________________________
Задача №2.
Какую из фигур можно нарисовать одним росчерком, не отрывая
карандаша от бумаги?
1
2
3
4
5
Ответ: фигуры 1, 2, 4, 5 – можно, фигуру 3 – нельзя, т.к. только
у этой фигуры количество нечётных вершин больше двух.
Задачи на графы. Идея чётности. Раскраска.
________________________________________________________________________
Задача №3.
Алёша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один ездит домой из
школы на автобусе, другой – на трамвае, третий – на троллейбусе.
Однажды после уроков Алёша пошёл проводить друга до остановки
автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из
окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадь!» Кто на чём ездит домой?
Решение.
Ответ:
А
Автобус
Б
Трамвай
В
Троллейбус
Алёша ездит домой на трамвае,
Боря - на автобусе,
Витя – на троллейбусе.
Задачи на графы. Идея чётности. Раскраска.
________________________________________________________________________
Задача №4.
Между девятью планетами солнечной системы установлено
космическое сообщение. Рейсовые ракеты летают по следующим
маршрутам: Земля – Меркурий; Плутон – Венера; Земля – Плутон; Плутон
– Меркурий; Меркурий – Венера; Уран – Нептун; Нептун – Сатурн; Сатурн
– Юпитер; Юпитер – Марс и Марс – Уран. Можно ли долететь на
рейсовых ракетах с Земли до Марса?
Решение.
Земля
Меркурий
Нептун
Сатурн
Юпитер
Плутон
Венера
Уран
Марс
Ответ: очевидно, что долететь с Земли до Марса нельзя.
Задачи на графы. Идея чётности. Раскраска.
________________________________________________________________________
Задача №5.
Доска имеет форму двойного креста, который получается, если из
квадрата 4x4 убрать угловые клетки. Можно ли обойти ее ходом шахматного
коня и вернуться на исходную клетку, побывав на всех клетках ровно по
одному разу?
Решение.
1
9
2
3
2
8
1
3
4
5
6
6
7
7
8
11
9
12
10
12
5
11
Ответ: да, можно.
4
10
Задачи на графы. Идея чётности. Раскраска.
________________________________________________________________________
Раскрашивать можно как ребра графа, так и вершины. Заметим, что
если данный граф является полным, т. е. любые две вершины
являются смежными, то хроматическое число такого графа равно n,
где n – число вершин.
Задача №6.
Раскрасить вершины графа так, чтобы любые две смежные
вершины были раскрашены в разные цвета, при этом число
использованных цветов должно быть наименьшим.
Это число называется хроматическим
(цветным) числом графа.
В данной задаче хроматическое число равно
3.
Заключение
________________________________________________________________________
В последнее время теория графов стала простым, доступным и
мощным средством решения вопросов, относящихся к широкому кругу
проблем: это проблемы проектирования интегральных схем и схем
управления, исследования автоматов, логических цепей, блок-схем
программ, экономики и статистики, химии и биологии, теории
расписаний и дискретной оптимизации.
Заключение
________________________________________________________________________
В последнее время теория графов стала простым, доступным и
мощным средством решения вопросов, относящихся к широкому кругу
проблем: это проблемы проектирования интегральных схем и схем
управления, исследования автоматов, логических цепей, блок-схем
программ, экономики и статистики, химии и биологии, теории
расписаний и дискретной оптимизации.
Заключение
________________________________________________________________________
Данный
практико-ориентированный
проект
даёт
общее
представление о теории графов, содержит ряд интересных задач,
наглядно решаемых с их помощью. В проекте в доступном виде
изложена методика решения этих задач.
Наличие множества рисунков и
наглядного материала, подобранного по
данной
теме,
обуславливает
эффективность восприятия материала
учащимися.
В этом и заключается практическая
значимость данного проекта.
Список литературы
________________________________________________________________________
1. Тюрин Ю.Н. и др. Теория вероятностей и статистика / Ю.Н.Тюрин, А.А.Макаров,
И.Р.Высоцкий, И.В.Ященко. – 2-е изд., переработанное. – М.:МЦНМО: ОАО
«Московские учебники», 2008. – 256 с.
2. Бродский Я.С. Статистика. Вероятность. Комбинаторика / Я.С.Бродский. – М.: ООО
«Издательство Оникс»: ООО «Издательство Мир и Образование», 2008. – 544 с.
3. Шахмейстер А.Х. Комбинаторика. Статистика. Вероятность. – М.: Издательство
МЦНМО: Спб.: «Петроглиф» : «Виктория плюс», 2010. – 296 с.
4. http://ru.wikipedia.org
5. Шеврин Л.Н., Гейм А.Г. и др, «Учебник-собеседник для 6 класса
общеобразовательных учреждений, - 4 издание переработанное - М.:
«Просвещение», 2001. – 288 с.: ил.