Вырожденные преобразования

ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ
ВЫРОЖДЕННЫХ
ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Н.В. ЕФИМОВА
Ложкин Александр Гермогентович
Доцент каф. АСОИУ, к.т.н.
Ижевский Государственный технический
университет
Проблемы вычислительной геометрии
 1. Точность геометрической модели ниже
точности оборудования, на котором
производят изделие.
 2. Передача информации о теле между
различными системами геометрического
моделирования и автоматизации
проектирования фактически невозможна.
2
Цель работы
 Целью работы является
совершенствование теоретических основ,
создание новых методов, моделей,
алгоритмов вычислительной геометрии,
компьютерное моделирование евклидовой
плоскости
3
Предметы исследования
Модели, методы и алгоритмы:
• аксиоматической системы построения
пространства с учетом его
неалгебраических свойств;
• непроективных линейных преобразований
жордановых кривых,
• получения точек пересечений конических
сечений на евклидовой плоскости
4
Методы исследования
 Теоретическая и методологическая части
работы основаны на использовании
теории аналитической геометрии,
элементарной алгебры, базовых понятий
лингвистики, базовых понятий теории
множеств, элементов реляционной
алгебры, базовых понятий
дифференциальной геометрии.
Используются методы, модели и
алгоритмы теории вычислительной
геометрии.
5
Необходимость исследования.
Точки пересечения эллипсов.
6
Цепочки преобразования
вычислительной геометрии
7
Недостатки классического метода
линейных преобразований
 Метод не определяет формулы для
линейно-зависимых преобразований, когда
определитель матрицы преобразования
.det M  0.
 В литературе утверждается, что не всякое
преобразование обладает базисом из
собственных векторов и в качестве
примера приводится преобразование с
матрицей
 1 1


 0 1
.
8
Определение канонического уравнения
параболы по П.С. Александрову (стр.116)
9
Определение канонической формы
по П.С. Александрову (стр. 332)
10
Канонические формулы системы двух линейных
параметрических уравнений с тригонометрическими
функциями в ортонормированном базисе
11
Определения вырожденных
преобразований
 Определение Н.В. Ефимова
 Вырожденное преобразование
трансформирует плоскость в прямую.
 Определение П.С. Александрова
 Преобразование с матрицей S1   a b  или
a b
a a

 S2  
.
b b
12
Вырожденное преобразование
окружности
13
Вырожденные преобразования (1)
 Теорема 1
 Формула образа единичной окружности
трансформированной преобразованием с
матрицей
эквивалентна формуле
мнимого эллипса m x  n y  0 .
 Введены дополнительные группы
 c 0
0 c 
S

S



вырожденных преобразований  0 d  ,  d 0  ,
d
S1  
c
d

c
2 2
2 2
3

c d 
S5  

0 0 
и
0 0 
S6  

c d 
4
из равенства определителя 0.
14
Вырожденные преобразования (2)
 Теорема 2
 Любое вырожденное преобразование произвольной фигуры
– жордановой кривой, принадлежащей плоскости,
описываемой параметрической системой уравнений, с
непрерывными функциями, заданными на интервале
вещественной оси, трансформирует данную фигуру в
прямую линию, отрезок прямой или луч.
 Следствие 2.1
a b
 Вырожденное преобразование S2   a b  эквивалентно


единичному вырожденному преобразованию 1
1

1 1
.
15
Классические автоморфизмы Г. Вейля
1. Циклические группы с поворотом Cn.
2. Циклические группы - диэдральные
3.

4.
5.
6.
группы (зеркальные отражения) Dn.
Симметрия переноса.
Группы, оставляющие инвариантными,
соответственно:
Правильный тетраэдр
Куб (или октаэдр)
Додекаэдр (или икосаэдр)
16
Автоморфизмы по Дьедоне-Бахману
 К автоморфизмам Дьедоне следует отнести: знаковую
симметрию и переставную. Кроме того, в исследовании
симметрий употребляется собственная (единичная)
матрица. Обозначим ее как симметрию существования.
 Автоморфизмы по Бахману бинарные.

17
Группы симметрий вырожденных
преобразований

.
18
Применение декартова произведения
1. 1. В конвексной (convex) геометрии, как наиболее
близком разделе современной геометрии, – не
употребляется.
2. 2. В алгебраической геометрии. Употребление
связано с работы Дьедоне, построившего
аксиоматику евклидовой плоскости без
отношения: R  R  R . Отношение неявно
употреблено при рассмотрении переставной
симметрии.
3. В теории множеств, но без аксиом в ZFC
системе.
4. В реляционной алгебре, как основе её теории.
19
Определение отношения включения
20
Основы теории реляционной алгебры
 Определение отношения (Кодда)
 Возьмем множество S1,S2,…, Sn (не обязательно выраженное),
тогда – R это отношение этого n-го множества на множество n-ок,
первая компонента в которой изображена как S1, так и вторая
компонента S2 и т.д.
 Первая нормальная форма таблицы
 (даются требования только необходимые для исследования)
1. В таблице отсутствуют одинаковые кортежи;
2. Имя каждого столбца уникально;
3. Каждый атрибут связан с определенным доменом;
4. Элементы кортежа, имеющие функциональную зависимость,
фиксируются;
5. Записи упорядочены.
 В реляционной алгебре принято рассматривать порядок
(отношение) до констатации самого множества.
 Теория реляционной алгебры не зависит от конечности множества.
21
Атаки с участием переставной симметрии
 1. Попытка поменять местами налоговые





удержания и сумму на руки.
Пример семантической интерпретации второго
правила Кодда.
Нарушается правило фиксации функциональной
зависимости и уникальности имени столбца в 1
НФ таблицы реляционной базы данных.
2. Попытка поменять вес продуктов у двух
записей в БД супермаркета.
Пример прагматической интерпретации второго
правила Кодда.
Нарушается правило упорядочения записей в 1
НФ таблицы реляционной базы данных.
22
Симметрия переноса
23
Урони изучения в лингвистике,
искусственном интеллекте
24
Исследование таблицы симметрий
25
Окончательный вид таблицы
бинарных симметрий
 1. Симметрия существования непустого







множества – симметрия Цермело.
1`. Симметрия существования отношения –
симметрия Кодда.
2. Симметрия принадлежности множеству –
симметрия А. Френкеля.
2`. Симметрия существования математического
множества.
3. Симметрия лингвистического порядка –
симметрия Декарта.
4. Симметрия математического порядка –
симметрия Кантора.
5. Переставная симметрия.
6. Зеркальная симметрия.
26
Теоремы автоморфизмов переноса и порядка
 Теорема 5
 При интерпретации евклидовой плоскости
как таблицы реляционной БД, переставная
0 1


1 0
симметрия
является синтаксическим
правилом ее построения.
 Теорема 6
 Симметрия порядка является
синтаксическим правилом построения
евклидовой плоскости структурно более
ранним, чем переставная симметрия.
27
Определение информационнолингвистическая интерпретация геометрии
 Назовем интерпретацию геометрии
информационно-лингвистической, так как
порядок (отношение) на ней ставятся
впереди аксиом, как в реляционной
алгебре, и кроме математического порядка
существует лингвистический, кроме того
анализ структуры взят из лингвистики.
28
Ортогональный линейный инвариант Клейна
29
Гипотеза баланса автоморфизмов
Любое отношение, отображение,
функция, операция, оператор,
морфизм, преобразование на
эвклидовой плоскости
осуществляется таким образом,
чтобы по возможности выполнить
переставную симметрию с
сохранением симметрии порядка.
30
Определения неортогонального
собственного базиса
 Определение 6
 Главная ось симметрии (ось баланса
симметрий) евклидовой плоскости
проходит по прямой x=y.
 Определение 7
 Собственный базис квадратичной формы
определяет систему координат
обеспечивающую непротиворечивость
симметрий порядка и переставной.
31
Собственный неортогональный
постоянный базис
32
Теоремы преобразования сдвиг центральносимметрических конических сечений
33
Метод решения системы двух линейных параметрических
уравнений с тригонометрическими функциями (1)
 Впервые получен С.А. Канторовичем в 1994г.
34
Метод решения системы двух линейных параметрических
уравнений с тригонометрическими функциями (2)
35
Метод решения системы двух линейных параметрических
уравнений с тригонометрическими функциями (3)
36
Исследование метода
37
Применение метода для жордановых кривых
38
Теоремы метода для жордановых кривых
39
Симметрия линейного преобразования
40
Моделирование симметрии линейнонезависимых преобразований
41
Канонические линейные преобразования
42
Моделирование канонических преобразований
43
Результаты моделирования с бинарными
матрицами преобразования
 Моделирование проводилось над нефроидой,






астроидой и эпициклоидой. Результаты
моделирования одинаковы для всех фигур.
Общее количество преобразований: 34=81.
Количество вырожденных преобразований: 32.
Количество уникальных, не имеющих аналогов в
ПАМ фигур: 16.
Количество канонических преобразований с
равенством фигур: 16.
Из них ортогональных: 8.
Количество «ошибочных» фигур: 17.
44
Исследование баланса автоморфизмов
для жордановых кривых. Гипотеза 1
45
Симплицисса умножения
46
Исследование баланса автоморфизмов
для жордановых кривых. Гипотезы 2 и 3
47
Исследование баланса автоморфизмов
для жордановых кривых. Гипотеза 4
48
Цепочки преобразований
 Цель любой цепочки преобразований расположить





комбинацию фигур таким образом, чтобы точки пересечения
образовывали множество с симметрией.
Координаты точек определяются на основе зеркального
автоморфизма.
Для нахождения пересечения сложных фигур, используются
цепочки для более простых фигур.
Цепочки преобразований строятся по повторяющемуся
алгоритму.
Цепочки преобразований могут состоять только из именных
преобразований.
Существует случай расположения эллипса и окружности,
когда точки пересечения фигур можно найти используя
только квадратное уравнение.
49
Расчет точек пересечения двух эллипсов.
Теория (1)
50
Расчет точек пересечения двух эллипсов.

Решение по углу . Теория (2)
51
Расчет точек пересечения двух эллипсов.
Решение по углу . Теория 
(3)
52
Расчет точек пересечения двух эллипсов.
Алгоритм (1)
53
Расчет точек пересечения двух эллипсов.
Алгоритм (2)
54
Расчет точек пересечения двух эллипсов.
Алгоритм (3)
55
Расчет точек пересечения двух эллипсов.
Алгоритм (4)
56
Расчет точек пересечения двух эллипсов.
Алгоритм (5)
57
Расчет точек пересечения двух
эллипсов. Результаты.
 1. Найдена цепочка преобразований,
переводящая два эллипса к единому базису.
 2. Найдены случаи, когда можно применять
данную цепочку.
 3. Экспериментально подтверждено, что только
преобразование сдвиг изменяет однородность
пространства.
 4. Исследовано применение преобразования
1
k




~
x   1 k
1

k
 x . для псевдоэвклидовой плоскости.
 
2
~

y

k

2
 1 k
2
 y 

1 k2 
1
58
Оценка точности действительной арифметики
59
Траектория движения точки вне
оси плоского шатуна
60
Методика передачи геометрической модели в
стандартах обмена информацией
61
Расчет высокоточных стальных профилей (1)
 Основные подсистемы САПР высокоточных стальных
фасонных профилей ОАО «Ижсталь»
 1. Ввод и визуализация плоской геометрической модели на языке
ФАП-КФ (дуги окружности, отрезки прямых).
 2. Аппроксимация геометрических примитивов, расчет центров
мгновенной деформации профиля и построения массива точек.
 3. Задание технологических параметров обработки.
 Предложено
 1. Использовать новое геометрическое ядро.

1.1. Добавить геометрический примитив дуга эллипса.

1.2. Использовать цепочки преобразований для расчетов.
 2. В качестве системы геометрического моделирования
использовать редактор LGE или другие, путем обмена через DXFформат данного редактора.
62
Расчет высокоточных стальных профилей (2)
63
Симметрия Цермело
64
Симметрия Кодда
65
Симметрия существования
математического множества
66
Множество симметрий
67
Тест Роршаха (зеркальная симметрия)
68
Тесты Люшера и психогеометрический
(симметрия Декарта)
69
Family Relations Test (множество
симметрий 1)
70
Family Relations Test (множество
симметрий 2)
71
Спасибо за внимание!
72