параллелепипед. сечения его

Стереометрия
ТЕМА: 2.4
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД.
СЕЧЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЕИППЕДА.
АК ВГУЭС
Преподаватель
БОЙКО ВЕРА ИВАНОВНА
специальности:
08011051 «Банковское дело»
10110151 «Гостиничный сервис»
080110151 «Сервис домашнего и
коммунального хозяйства»
10080151 «Товароведение и
экспертиза качества потребительских
товаров»
3
Требования к знаниям, умениям и
навыкам
В результате изучения лекции студент должен знать:
* Определение параллелепипеда и его изображение .
* Элементы параллелепипеда. Свойства элементов.
* Виды сечений.
* Формулы площадей боковой и полной поверхностей,
объема параллелепипеда.
В результате изучения лекции студент должен уметь:
■ Изображать параллелепипед.
■ Решать задачи на построение сечений
параллелепипеда.
■ Решать задачи на нахождение площадей и
объемов параллелепипеда.
Содержание:
1. Определение параллелепипеда, его
элементов.
2 Свойства параллелепипеда.
3.Изображение параллелепипеда.
4.Сечения параллелепипеда .
5. Формулы площадей боковой и полной
поверхностей, объема
параллелепипеда.
Параллелепипед (от греч.
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕ
παράλλος
— параллельный и греч.
επιπεδον — плоскость)
Д — призма,
основанием которой служит
параллелограмм, или
(равносильно) многогранник, у
которого шесть граней и каждая из
них параллелограмм
состоящую из двух
равных
параллелограммов
АВСD и A’B’C’D’
расположенных в
параллельных
плоскостях так, что
отрезки AA’ ,BB’ ,CC’ ,DD’
будут параллельны, а
четырехугольники BB’C’C,
CC’D’D, DD’A’A, AA’B’B
являются
параллелограммами
Данная поверхность
называется
ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДОМ
и обозначается :
ABCDA’B’C’D’
B’
A’
C’
D’
B
A
C
D
Типы параллелепипеда
Прямоугольный
параллелепипед — это
параллелепипед, у
которого все грани
прямоугольники.
Прямоугольный параллелепипед
три измерения:
длину
высоту
высота
ширину
длина
имеет
Стороны граней (прямоугольников)
называют ребрами
прямоугольного
параллелепипеда.
Всего 12 ребер, по 4 равных
(на чертеже отмечены одним
цветом).
A
C
Вершины прямоугольников
называют вершинами
прямоугольного
параллелепипеда.
H
B
D
K
M
P
Стороны параллелограммов ,из которых составлен
параллелепипед -ребра параллелепипеда.
Боковые рёбра
АА’
ВB’
СC’
DD’
Ребра
АВ,ВС,СD,АD и
А’В’,В’С’, С’Д’, А’Д’
B’
A’
C’
D’
B
A
C
D
Отрезок, соединяющий
противоположные
Основные
вершины, называется диагональю
элементы
параллелепипеда.
Длины трёх рёбер прямоугольного
параллелепипеда, имеющих общую
вершину, называют его измерениями.
Две грани параллелепипеда, не имеющие
общего ребра, называются
противоположными, а имеющие общее
ребро — смежными.
Прямой параллелепипед —
это параллелепипед, у
которого 4 боковые грани
прямоугольники.
Наклонный
параллелепипед —
это
параллелепипед,
боковые грани
которого не
перпендикулярны
основаниям.
Куб — это
прямоугольный
параллелепипед с
равными
измерениями.
Все шесть граней
куба — равные
квадраты.
Свойства
- Параллелепипед симметричен
относительно середины его диагонали.
- Любой отрезок с концами,
принадлежащими поверхности
параллелепипеда и проходящий через
середину его диагонали, делится ею
пополам; в частности, все диагонали
параллелепипеда пересекаются в
одной точке и делятся ею пополам.
Свойства параллелепипеда
Свойство 1
Противоположные
грани параллелепипеда
B’
A’
АВСD и А’В’С’D’
АА’D’D и ВВ’С’С
АА’В’В и DD’С’С
параллельны и равны
C’
D’
B
A
C
D
Свойство 2
Диагонали
параллелепипеда
На рисунке
изображены
диагонали
В’D
А’С
АС’
ВD’
B’
A’
D
’
0
B
Пересекаются в одной
(точка О)
И делятся этой
точкой пополам!
C’
C
точке
A
D
- Квадрат длины диагонали
прямоугольногоСвойства
параллелепипеда
равен сумме квадратов трёх его
измерений.
- Противолежащие грани
параллелепипеда параллельны и
равны.
Секущей плоскостью параллелепипеда
называется любая плоскость, по обе
стороны от которой имеются точки
данного параллелепипеда .
L
Секущая плоскость пересекает грани
параллелепипеда по отрезкам.
L
Многоугольник, сторонами
которого являются данные
отрезки, называется
сечением параллелепипеда.
Для построения сечения нужно построить
точки пересечения секущей плоскости с
ребрами и соединить их отрезками.
При этом необходимо учитывать
следующее:
1. Соединять можно только две точки, лежащие в плоскости
одной грани.
2. Секущая плоскость пересекает параллельные грани по
параллельным отрезкам.
3. Если в плоскости грани отмечена только одна точка,
принадлежащая плоскости сечения, то надо построить
дополнительную точку. Для этого необходимо найти
точки пересечения уже построенных прямых с другими
прямыми, лежащими в тех же гранях.
Построить сечение параллелепипеда плоскостью,
проходящей через точки M,A,D.
В1
D1
E
A1
С1
В
А
1. AD
2. MD
3. ME//AD, т.к. (ABC)//(A1B1C1)
4. AE
5. AEMD – сечение.
М
D
С
Построить сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей
через точки В1, М, N
В1
D1
С1
A1
P
К
В
D
А
Е
N
С
O
1. MN
2.Продолжим
MN,ВА
M
3.MN ∩ BA=O
4. В1О
5. В1О ∩ А1А=К
6. КМ
7. Продолжим MN и BD.
8. MN ∩ BD=E
9. В1E
10. B1Е ∩ D1D=P , PN
Задание 1. Построить сечение параллелепипеда
плоскостью, проходящей через точки M, N, P.
P
P
N
M
P
M
Вариант 1
M
N
N
N
P
M
Вариант 2
Решения задач из
задания
P
N
P
M
Вариант 1
N
M
P
N
M
M
N
P
Вариант 2
Задание 1.
Построить сечение
параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1
плоскостью BKL, где K – середина
ребра AA1, а L – середина ребра
СС1. Доказать, что построенное
сечение – параллелограмм.
B1
A1
Решение.
C1
D1
L
K
B
A
C
D
Соединяем точки B и
L, K и B. Проводим
KD1 // BL и LD1 // KB.
Сечение KD1LB –
параллелограмм.
Доказательство
следует из равенства
треу-гольников:
DKA1D1 = DBLC, DAKB
= DD1C1L.
Задание 2.
Построить сечение
параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1
плоскостью, проходящей через
диагональ
АС
основания
параллельно
диагонали
BD1.
Доказать, что построенное сечение
– равнобедренный треугольник,
если основание параллелепипеда –
ромб и углы ABB1 и CBB1 прямые.
C1
D1
A1
B1
E
D
C
О
A
B
Решение.
Соединяем точки B и D1.
Проводим диаго-нали AC и
BD. Прово- дим OE // BD1.
Соединяем точки А и Е, Е
и С. Получили сечение
DАЕС. DADE = DDCE по
двум равным катетам AD и
DC. Следовательно, DАЕС
– равнобедренный.
Задание 3.
Построить сечение
параллелепипеда
ABCDA1B1C1D1
плоскостью, проходящей через
точки В1 и D1 и середину ребра CD.
Доказать, что построенное сечение
– трапеция.
Решение.
A1
D1
B1
C1
A
B
N
D
М
C
Соединяем точки B1 и
D1. Отмечаем т. М –
середину
DC.
Проводим MN // D1B1.
Соединяем т. M и D1,
N и B1. Получили
сечение
MD1B1N.
Данный
четырехугольник
является трапецией
потому, что MN //
D1B1.
7
Площадь
поверхности
прямоугольного
параллелепипеда-это сумма площадей его
граней.
Равные прямоугольники имеют
равные площади, поэтому площадь
поверхности
прямоугольного
параллелепипеда равна
a
c
b
a
b
а
b
с
c
c
b
2ab + 2ac + 2bc
b
а
Развертка прямоугольного параллелепипеда
Прямой
параллелепипед
Площадь боковой
поверхности
Sб=Ро*h, где Ро —
периметр
основания, h —
высота
Прямоугольный
параллелепипед
Основная статья:
Прямоугольный
параллелепипед
Куб
Площадь
боковой
поверхности
Sб=4a², где
а — ребро куба
Основные формулы
Площадь полной
поверхности
Sп=Sб+2Sо, где
Sо — площадь
основания
Объём V=Sо*h
Площадь боковой
поверхности
Sб=2c(a+b), где a, b —
стороны основания,
c — боковое ребро
прямоугольного
параллелепипеда
Площадь полной
поверхности
Sп=2(ab+bc+ac)
Объём V=abc, где a, b,
c — измерения
прямоугольного
параллелепипеда.
Площадь
полной
поверхности
Sп=6a²
Объём V=a³
Вопросы для
самопроверки
• Что такое параллелепипед, его
поверхность.
• Назвать основные элементы
параллелепипеда.
• Назвать формулы площадей
боковой и полной поверхностей,
объем параллелепипеда.
• Где в жизни встречается
параллелепипед?
Задания для самопроверки
. Какая плоскость называется секущей плоскостью
параллелепипеда?
. Что называется сечением параллелепипеда?
. Какие многоугольники могут получиться в сечении
параллелепипеда?
. Каким образом строится сечение параллелепипеда?
Используемая литература:
1. Геометрия: Учебник для средней школы. 10–11 классы./ Под
ред. Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и др. – М.:
Просвещение, 2010.
2. Геометрия. 10 класс. Поурочные планы / Авт.-сост. Г.И.
Ковалева – Волгоград: Учитель, 2011
3. Геометрия.10-11 классы И.М.Смирнова, В.А.Смирнов. Москва:
Мнемозина, 2003