Правильный многоугольник

Правильный
многоугольник
Содержание
Правильный многоугольник
Задача №1
Задача №2
Рис.1
С
В
D
Рис.2
М
H
Рис.3
C
L
E
K
О
А
P
D
Е
L
Рис.4
Q
N
H
F
Рис.5
A
B
K
M
P
R
E
F
Многоугольник называется
правильным, если он ограничен
правильной ломаной линией, т.е.
если он имеет равные стороны и
равные углы.
Выпуклый многоугольник
называется правильным, если
он имеет равные стороны и
равные углы.
  180(n  2)
180( n  2)
n 
n
3
2
3
2
1
1
4
4
5
6
7
5
7
6
Задача №1
Докажите, что в правильном пятиугольнике диагонали, проведённые из
одной вершины, делят угол при данной вершине на три равных части
Дано:
АВСD – ПРАВИЛЬНЫЙ
C
B
D
ПЯТИУГОЛЬНИК (ВСЕ УГЛЫ И
СТОРОНЫ РАВНЫ)
АС; АD – ДИАГОНАЛИ
Док-ть:
BAC  BCA  DAE
A
E
Докажите, что в правильном пятиугольнике диагонали, проведённые из
одной вершины, делят угол при данной вершине на три равных части
Решение:
1) т.к пятиугольник правильный, то
АВ=ВС=СД=ДЕ и
C
A  B  C  D  E .
B
D
  180 (n  2)
0
  180 (5  2)  180
0
A
E
0
 3  5400
A  B  C  D  E  540 : 5  108
Докажите, что в правильном пятиугольнике диагонали, проведённые из
одной вершины, делят угол при данной вершине на три равных части
Решение:
ABC
2) Рассмотрим
АВ=ВС, то ABC -равноб.
C
B  1080
B
D
BAC  BCA  (1800  1080 ) : 2  36
Аналогично из ADE-равноб.
E  1080
A  D  (1800  1080 ) : 2  36
A
E
Докажите, что в правильном пятиугольнике диагонали, проведённые из
одной вершины, делят угол при данной вершине на три равных части.
Решение:
3)
ABC  ADE (по СУС)
CAD  равнобедренный,
то С  D
0
CAD

108


2

36


108


72


36
4)
5) Из п.2 - 4
BAC  CAD  DAE  360
Ч.Т.Д.
Задача №2
От каждой вершины квадрата на его сторонах
отложены отрезки, делящие сторону квадрата
в отношении √2 : 2 : √2.
Определите вид полученного восьмиугольника.
B
L
E
К
Доказательство:
1)Рассмотрим AMN:
по т.Пифагора:
MN2=AM2+AN2
C
F
MN 
2
М
A
Z
N
X
D
2
2  2
2
MN 2  4
MN1  2
MN2  2 (не уд.усл.)
2)Так как АВСD – квадрат , то
AMN = KBL= ECF= XDZ
MN = KL = EF = XZ = 2.
B
L
E
К
F
М
A
C
Z
N
X
D
3)MK = LE = FZ = NX = 2 (по
условию) и из п.2
MN=KL=EF=XZ=MK=EL=FZ=NX=2
4)Так как AMN - прям.и равноб.
 AMN =  MNA = 45°
5)  MNA и  MND - смежные
 MND = 180° - 45° = 135°
6) MND =  AXZ =  XZC = DFE =  FEB = CLK = LKA =BMN
(т.к AMN = KBL= ECF= XDZ)
7)Из п.3 - п.6
NMKLEFZX-правильный
многоугольник