1_neberekutina

Проектная и творческая деятельность
учащихся
Задача деления
окружности на n равных
частей
Автор: Неберекутина Софья, учащаяся 9 «А» класса
МБОУ г.Шахты Ростовской области «Гимназия
имени А.С. Пушкина»
Руководитель: Косова Татьяна Анатольевна, учитель
математики высшей квалификационной категории
Цели и задачи

Углубить знания по основному курсу геометрии 7-9 классов;

Развивать графическую культуру ;

Сформировать умения и навыки решения задач на построение
правильных многоугольников;

Повысить у учащихся интерес к изучению математики, развить
способности к исследовательской и проектной деятельности,
развивать наблюдательность, умение мыслить логически;
СОДЕРЖАНИЕ

Вступление

Исторический экскурс

Практическое применение знаний

Заключение

Литература
Вступление
На практике нередко бывает необходимо разделить окружность на
некоторое число равных частей.
Это находит практическое применение
в технике:
технические детали: колеса, гайки, диски, плашки.
В живописи, архитектуре, дизайне:
Логотип компании
Витраж «роза» собора Парижской
Богоматери (12 метров 90 см.)
Орден св. Георгия
Различные виды орнамента
С задачей деления окружности на равные части связана важная для
практики задача построения правильных многоугольников:
Построение квадрата
Деление окружности на
восемь равных частей
Построение восьмиугольника
Если разделим окружность на
n равных частей циркулем и
линейкой, то легко построим
правильный n-угольник.
Исторический экскурс
Задача деления окружности на
равные части привлекала
внимание математиков и
нематематиков в течение
многих столетий.
Ещё две с половиной тысячи лет назад
решали и решили задачу о делении
окружности на 5 равных частей
древнегреческие математики из школы
Пифагора.
Исторический экскурс
Крупнейший греческий геометр
Архимед 2200 лет назад
занимался делением окружности
7 равных частей.
Большой интерес к построению
правильных многоугольников
проявил гениальный художник и
учёный эпохи Возрождения
Леонардо да Винчи (1452-1519)
звёздчатые семиугольники
(гептаграммы)
Можно ли циркулем и линейкой разделить
окружность на n равных частей при любом n?
Только в конце XVIII века математика
оказалась в состоянии справиться с
задачей деления окружности на n равных
частей.
В 1796 г. девятнадцатилетний юноша
Карл Фридрих Гаусс (1777-1855), вследствие
один из крупнейших немецких математиков,
доказал, что не при всяком n можно
циркулем и линейкой разделить окружность
на n равных частей.
Более того, он точно установил, при
каких значениях n это возможно и при каких
невозможно.
Теорема Гаусса

Если n – простое число, то правильный n-угольник можно построить
циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда n имеет вид
(k - простое неотрицательное число)

Если n – составное число, то правильный n-угольник можно
построить циркулем и линейкой тогда и только тогда, все нечётные
простые сомножители различные и каждый из них имеет вид
Например,
Следовательно, по теореме Гаусса циркулем и линейкой можно
построить правильные треугольник, пятиугольник,
семьнадцатиугольник.
Можно ли построить циркулем и линейкой 257угольник? А 65537-угольник?
В тридцатых годах XIX века германский математик
Фридрих Юлиус Ришело (1808-1875) провёл построение
257 –угольника. И посвятил этому обширную статью в
одном из немецких
Журналов.
При k = 3, n = 257
Построить 257-угольник циркулем и линейкой
возможно, так как 257 – простое число.
Фридрих Юлиус Ришело
В конце XIX века профессор О. Гермес 10 лет жизни выполнял
построение 65537 – угольника. Рукопись с описанием этого построения
занимает солидный чемодан и хранится в одном из германских
университетов.
При k = 4, n = 65537
Построить 65537-угольник циркулем и линейкой возможно, так как
65537– простое число.
Можно ли построить циркулем и линейкой
правильный 7-угольник? А 15 – угольник?
По теореме Гаусса правильный семиугольник циркулем и
линейкой построить невозможно.
7 – простое число, но оно не может быть представлено в
виде
То же можно повторить относительно правильного
одиннадцатиугольника, тринадцатиугольника.
Построить правильный пятнадцатиугольник
циркулем и линейкой возможно.
Число 15 разлагается на два различных простых
сомножителя (15 = 3*5), причём каждый из них имеет
вид
Практическое применение знаний
Построение правильных многоугольников тесно тесно связано с
задачей деления окружности на равные части или задачей построения
угла, содержащее данное целое число градусов.
Например, как построить циркулем и линейкой
угол в 15° ?
∆ АОВ – равносторонний
‫ے‬АОВ равен 60°
ОК – биссектриса ‫ے‬АОВ
‫ے‬КОВ равен 30°
ОМ –биссектриса ‫ے‬КОВ
‫ے‬МОВ равен 15°
Отрезок МВ – сторона правильного 24-угольника.
Задачи для практического
применения знаний
1.Как вписать в окружность правильный десятиугольник?
Правильный пятиугольник?
2. Как построить циркулем и линейкой угол в 18° ?
3. Как построить циркулем и линейкой угол в 3° ?
4. Как разделить окружность на 15 равных частей?
5. Представьте себе, что перед вами окружность,
разделённая на 17 равных частей . Как вы впишите в неё
правильный 51-угольник?
Задачи для практического
применения знаний
6. Если вы хотите вписать в окружность правильный
пятиугольник, то можете воспользоваться приближённым способом:
разделите диаметр d на 5 равных частей и положите сторону а5
искомого треугольника равной 3∕5d; а5 ≈ 3∕5d. Выполните это
построение. Как велика ошибка, которую вы при этом допустите?
7. Разделить окружность циркулем и линейкой на 7 равных
частей в точности невозможно. Но это возможно сделать
приближённо с более чем достаточной для практики точностью.
Такой способ указал в III веке до н.э. Архимед, знаменитый греческий
геометр. Он строит сначала сторону правильного треугольника,
вписанного в окружность (обозначим эту сторону через а3), делит её
пополам и принимает , что сторона правильного семиугольника
(обозначим её через а7), вписанного в ту же окружность, равна 1∕2а3;
а7 ≈ 1∕2а3. Как велика ошибка, которую мы при этом допустим?
Огранка алмазов
Заключение
Ни один вид задач не даёт столько материала для развития
математической инициативы, практических умений и
логических навыков учащегося, как геометрические задачи на
построение.
Эти задачи, обычно, не допускают стандартного подхода,
способствуют развитию научного любопытства, то есть желания
не только приобрести знания, но и умножить их.
Изучение истории математики
способствует развитию мышления. Великий
естествоиспытатель, математик и историк
Г.В. Лейбниц подчёркивал, что
история науки учит искусству открытий!!!
Список литературы
1. Школьник А.Г. , «Задача деления круга», 1948, стр.72
2. Адлер А., «Теория геометрических построений», 1940
3. Аргунов Б.И., Балк М.Б. «Геометрические построения на
плоскости», 1955