Теорема Менелая

Проект по математике
«Треугольник простейший и неисчерпаемый»
Выполнили
Каструба Егор и Чеканов Дмитрий.
МЕНЕЛАЙ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ жил около
98 года после Рождества Христова в Риме, как
показывают два астрономических наблюдения,
произведенные им и записанные в Альмагест. Он
сделал ценный вклад в науку сферической
тригонометрии. Он дает теоремы, относящиеся к
равенству сферических треугольников и
описывает их свойства. Особой известностью
пользуются две его теоремы о плоских и
сферических треугольниках.
Пусть дан треугольник ABC и точки C1 , B1 , A1
лежат на прямых AB, AC , BC соответственно.
Точки A1 , B1 , C1 лежат на одной прямой тогда
и только тогда, когда выполняется равенство
AC1 BA1 CB1


1
C1 B A1C B1 A
Пусть точки A1 , B1 , C1 лежат на прямой l
и AA0  h1 , BB0  h2 , CC0  h3  перпендикуляры,
опущенные соответственно из точек
A, B, C на прямую.
A0
B
C1
B0
A1
C0
B1
A
C
1.

AA0C1 ~  BB0C1 (по УУ ). Поэтому
AC1
h1

C1 B
h2
2.

BB0 A1 ~  CC0 A1 (поУУ ). Поэтому
BA1
h2

A1C
h3
3.

AA0 B1 ~  CC0 B1 (поУУ ). Поэтому
A0
h3
CB1

B1 A
h1
B
C1
B0
A1
C0
B1
A
C
Перемножим полученнные пропорции :
AC1 BA1 CB1 h1 h2 h3


   1
C1 B A1C B1 A h2 h3 h1
теорема доказана
Пусть точки A1 , B1 , C1 лежат соответственно на
сторонах BC , AC, AB или их продолжениях
треугольника ABC . Для того чтобы прямые AA1 , BB1 , CC1
пересекались в одной точке необходимо и достаточно,
чтобы выполнялось соотношение
AC1 BA1 CB1


1
C1 B A1C B1 A