Плоскость и прямая в пространстве.Лекции 10, 11

Плоскость и прямая в
пространстве
Лекции 10, 11
Определение. Уравнением поверхности
в пространстве Oxyz называется такое
уравнение между переменными x, y, z ,
которому удовлетворяют координаты
всех точек данной поверхности и не
удовлетворяют координаты точек, не
лежащих на этой поверхности.
Назовем нормалью к плоскости вектор,
перпендикулярный к этой плоскости.
Обозначают нормаль
n   A, B, C 
Уравнение плоскости, проходящей
через заданную точку
Пусть точки M 0 и M лежат на
плоскости . Тогда n M 0 M и, значит,
их скалярное произведение равно нулю:
 y  y0   Cпроходящей
A  уравнение
x  x0   B плоскости,
 z  z0   0
- это
через точку перпендикулярно вектору
.
n   A, B, C 
M0
n   A, B, C 
М
M0
Общее уравнение плоскости
Из предыдущего уравнения легко
получить общее уравнение плоскости
Ax  By  Cz  D  0
Частные случаи общего
уравнения
1.
Ах  Ву  Сz  0
-плоскость проходит через начало координат.
Ву  Сz  D  0
2.
-плоскость параллельна оси OX.
3. Сz  D  0
-плоскость параллельна плоскости XOY.
4. Ву Сz  0
-плоскость проходит через ось OX.
5. z  0 -это уравнение плоскости XOY.
Остальные случаи рассмотреть самостоятельно.
Уравнение в «отрезках»
Перенесем свободный член в правую часть
уравнения и разделим на него все слагаемые
Ax  By  Cz   D
A
B
C
x
y
z 1
D
D
D
Введя соответствующие обозначения , имеем
õ
ó
z.


 1.
à
b
ñ
z
c
a
x
o
b
y
Уравнение плоскости,
проходящей через три точки
Пусть точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) ,M 2 ( x2 , y2 , z 2 ) ,
M 3 ( x3 , y3 , z3 ). лежат на плоскости. Точка
M ( x , y , z ) - текущая точка плоскости.
M
M2
M1
M3
Запишем координаты векторов:
M 1M  ( x  x1 , y  y1 , z  z1 )
M 1M 2  ( x2  x1 , y2  y1 , z 2  z1 )
M 1M 3  ( x3  x1 , y3  y1 , z3  z1 )
Эти векторы компланарны, т.к. лежат в
одной плоскости. Следовательно их
смешанное произведение равно нулю.
Получаем уравнение:
Уравнение плоскости, проходящей через
три точки, имеет вид:
х  х1
у  у1
z  z1
х 2  х 1 у 2  у1 z 2  z 1  0 .
х 3  х 1 у 3  у1 z 3  z 1
Взаимное расположение
плоскостей
Угол между плоскостями
Даны две плоскости Ï
и Ï
:
1
2
À1 õ  Â1 ó  Ñ1 z  D1  0, n1  ( A1 , B1 , C1 )
À2 õ  Â2 ó  Ñ2 z  D2  0, n2  ( A2 , B2 , C2 )
Тогда:
cos 
А1 А2  В1 В2  С1С2
А  В С  А  В С
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
.
Условие перпендикулярности
плоскостей
Если плоскости перпендикулярны друг
к другу, то соответственно
перпендикулярны их нормальные
векторы
Ï 1  Ï 2  n1 n2  0
Ï 1  Ï 2  A1 A2  B1B2  C1C2  0
Условие параллельности
плоскостей
Если плоскости параллельны друг к
другу, то соответственно параллельны
их нормальные векторы:
Ï
1
Ï
2
A1 B1 C1



A2 B2 C 2
Расстояние от точки M 0 ( x0 , y0 , z0 ) до
плоскости
Ах  Ву  Сz  D  0.
d
Ахо  Вуо  Сz о  D
А  В С
2
2
2
Пример
Найти уравнение плоскости,
проходящей через точки
M1 1,5, 7  , M 2  3,6,3 , M 3  2,7,3
.
Решение
В уравнение плоскости, проходящей
через три точки, подставим координаты
данных точек:
x 1 y  5 z  7
x 1 y  5 z  7
 3 1 6  5 3  7  0   4
1
10  0
 2 1 7  5 3  7
3
2
10
Раскладывая определитель по
элементам первой строки, имеем
.
2x  1  2 y  5  z  7  0  2 x  2 y  z  15  0
Прямая в
пространстве.
Пусть прямая проходит через заданную
точку параллельно данному вектору:
z
a
M ( x0 , y 0 , z 0 ))
M
x
M ( x, y, z ))
0
y
Канонические уравнения
прямой.
a  (m, p, q ) -направляющий вектор
прямой,
M 0 ( x0 , y0 , z0 )-точка прямой. Тогда
a M0M
х  хо у  у о z  z о


m
p
q
Параметрические уравнения
(вывести самостоятельно)
t-переменный параметр.
х  mt  xo , y  pt  yo , z  qt  zo
Уравнение прямой, проходящей
через две точки
Точки M 1 ( x1 , y1 , z1 ) и M 2 ( x2 , y2 , z 2 )
лежат на прямой. Вывод уравнения
сделать самостоятельно.
х  х 1 у  у1 z  z 1


х 2  х 1 у 2  у1 z 2  z 1
Общее уравнение прямой
Прямая линия в пространстве определяется
как линия пересечения двух плоскостей
 А1 х  В1 у  С1 z  D1  0 ,

 А2 х  В2 у  С2 z  D2  0 ,
n1  A1 , B1 , C1, n2  A2 , B2 , C2 
каждое уравнение отдельно- это
уравнение
плоскости,
которые
пересекаются
по
прямой.
Чтобы перейти к каноническим
уравнениям, возьмем в качестве
направляющего вектор
.
a  n n
1
2
За точку, через которую проходит
прямая, можно взять любую точку.
Например, положить в системе
 A1x  B1 y  C1z  D1  0,

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0
одну из переменных равной нулю, а две
другие найти из этих уравнений.
Пример
Записать канонические уравнения прямой, заданной
общими уравнениями
2 х  у  3z  4  0 ,

х  у  4z  1  0 .
Решение. Найдем точку на прямой. Пусть,
например, z = 0. Система примет вид
2 х  у  4  0 ,

х  у  1  0 .
Сложив уравнения, получим
х 1.
Тогда из второго уравнения
у   х 1   2 .
Точка на прямой А(1; -2; 0).
3х  3  0 ,
Найдем направляющий вектор этой
прямой:
i j k
a  n1  n2  2  1 3  i  11 j  3k  1;11;3 .
1 1 4
Получим канонические уравнения
прямой х  1 у  2 z

 .
1
11
3
Взаимное расположение
прямых в пространстве
Угол между прямыми
Угол между прямыми равен углу между
их направляющими векторами
х  х1 у  у1
z  z1
l1 :


m1
p1
q1
х  х2 у  у 2 z  z 2
l2 :


m2
p2
q2
cos 
m1m2  p1 p 2  q1q2
m  p q  m  p q
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
.
Параллельность прямых
Если 
то

,
1 2
m1 p1 q1
а1 а2 

 .
m2 p2 q2
Перпендикулярность прямых
Если
1
 2 , то
а1  а2  а1  а2  0
 m1m2  p1 p2  q1q2  0;
Взаимное расположение
прямой и плоскости
Угол между прямой и
плоскостью
n



2
φ
a
 ,sin   cos
Углом между прямой и плоскостью
называется угол между прямой и ее
ортогональной проекцией на
плоскость
Угол между прямой и
плоскостью
n  ( A, B, C ) -нормаль плоскости П,
a  (m, p, q ) -направляющий
вектор прямой

sin  

2
.
l
 ,sin   cos
Am  Bp  Cq
A  B C  m  p  q
2
2
2
2
2
2
.
Ясно, что прямая параллельна
плоскости тогда и только тогда, когда
направляющий вектор прямой
перпендикулярен нормали плоскости
т.е. если скалярное произведение
направляющего вектора прямой и
нормали к плоскости равно нулю:
Условие параллельности
прямой и плоскости
Если
и
 П,
a n  0
то
Аm Вp  Сq  0
n
l
a
Условие перпендикулярности
прямой и плоскости
Прямая перпендикулярна плоскости
при условии n a , т.е.
если   П ,
А B С
 
то
m p q
Точка пересечения прямой и
плоскости
Пусть требуется найти точку пересечения
прямой õ  õî y  yo z  zî


m
n
ð
и плоскости Àõ  Âó  Ñz  D  0.
Запишем параметрические уравнения
прямой
õ  mt  xo , y  nt  y0 , z  pt  z0 .
и подставим выражения для х, у, z в
уравнение плоскости.
Получим уравнение вида Mt  N
относительно параметра t. Выразив t из
этого уравнения и подставив в
параметрические уравнения прямой,
найдем координаты точки пересечения
прямой и плоскости.
Замечание. Если уравнение
относительно t примет вид 0t = 0 (то
есть M = N = 0), то любое
действительное значение t будет его
решением, значит, прямая и плоскость
имеют множество общих точек, то есть
прямая лежит в плоскости.
Пример
Найти точку пересечения прямой
х 1 у 1 z  4


2
1
3
и плоскости
3х  у  5z  6  0 .
Пример
Написать уравнение плоскости,
проходящей через точки А(1;2;0) и
В(2;1;1) перпендикулярно заданной
плоскости –х+у-1=0. Тогда векторы
компланарны.
AB, AM è n
М
В
n
Пример
х 1 у  2 z  3


Показать, что прямая
1
1
2
лежит в плоскости
7х  5у  6z  1  0 .
Решение. Используем
параметрические уравнения прямой
х  t  1,
у   t  2,
z  2t  3 .
Подставим в уравнение плоскости:
7 t  1  5 t  2  6 2t  3  1  0 ,
7t  7  5t  10 12t 18  1  0 , 0  0
-
Получили равенство, верное при любых
Следовательно, прямая лежит в
плоскости.
Пример
Найти уравнение перпендикуляра к
плоскости
x  3 y  4 z  13  0 ,
проходящего через точку А(2;-1:3), и
определить координаты основания
этого перпендикуляра.