Вписанные

Шар, вписанный в многогранник
Шар называется вписанным в многогранник,
если он касается всех граней данного многогранника
Центр вписанного шара равноудален от всех граней
многогранника, следовательно лежит на пересечении
биссекторных плоскостей.
1
1
1
1
V  S1h  S 2 h  S3h  ...  S полн.пов.r
3
3
3
3
r
3V
S пол н. пов.
Шар, вписанный в правильную треугольную призму
B1
O1
A1
H1
C1
O
B
A
вертикальное
O2
H
C
горизонтальное
Вертикальное сечение
A1
Высота основания
H1
Высота боковой грани
Боковое ребро
R
O
R
A
назад
O2
H
rправильного треугольника
Горизонтальное сечение
R
а
Шар, вписанный в правильную
четырехугольную призму (куб)
СЕЧЕНИЕ
R
а
Шар, вписанный в правильную
шестиугольную призму
горизонтальное
вертикальное
ГОРИЗОНТАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ
R
R
назад
Вертикальное сечение
R
R
Высота призмы
R
Диаметр вписанной окружности в шестиугольник
Шар, вписанный в прямую призму,
в основании которой лежит ромб
горизонтальное
вертикальное
ГОРИЗОНТАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ
R
назад
ВЕРТИКАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ
Высота ромба
Высота боковой грани
R
Шар, вписанный в правильную треугольную пирамиду
ВЕРТИКАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ
R
R
Высота основания
Шар, вписанный в правильную четырехугольную
пирамиду
R
R
ВЕРТИКАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ
R
R
Диаметр окружности, вписанной в квадрат
(равен стороне основания)
Шар, вписанный в многогранник
• В любую пирамиду можно вписать шар.
• В прямую призму можно вписать шар, если в
основание призмы можно вписать окружность и
ее диаметр равен высоте призмы.
Rшара= rокруж., впис. в основание призмы.
Сфера, описанная около многогранника
Сфера называется описанной около многогранника,
если все вершины многогранника лежат на сфере.
R
Центр описанного шара лежит на перпендикуляре
к плоскости основания, восстановленном из центра
описанной около основания окружности.
Если высота пирами попадает в центр основания,
то центр шар лежит на высоте.
Чтобы построить центр описанной сферы надо:
1) Найти центр окружности, описанной около
основания многогранника (О1)
2) Через точку О1 провести прямую,
перпендикулярную плоскости основания.
3) Через середину любого бокового ребра
провести плоскость, перпендикулярную этому
ребру.
4) Найти точку пересечения построенных прямой
и плоскости.
5) Она и будет центром описанной сферы.
Сфера, описанная около правильной четырехугольной
пирамиды
Сфера, описанная около правильной четырехугольной
пирамиды
R
r
Шар, описанный около правильной треугольной
пирамиды
М
R
О
R
R
В
R
А
Н
О1
С
Шар, описанный около прямоугольного параллелепипеда
B1
C1
А1
D1
В
А
С
D
ВЕРТИКАЛЬНОЕ СЕЧЕНИЕ
B1
D1
R
B
Бокове ребро
R
D
Диагональ основания
Сфера, описанная около многогранника
• Около любой пирамиды можно описать сферу.
• Около призмы можно описать сферу, если
призма прямая и около ее основания можно
описать окружность.
Задача 1
M
x
P
3x
B
3
O
C
3x
O1
A
D
Задача 2
D
P
O2
O1
C
600
A
H
O
12
B
Задача 3
O
Задача 4
C1
B1
O1
H1
A1
O
R
B
C
O2
H
A
Задача 6
B1
C1
D1
A1
F1
E1
B
C
O
D
A
F
3
E
Задача 6
B1
C1
А1
D1
L
O
В
С
M
А
D
N
Задача 7
F
M
6
K
D
O
C
3
O1
A
B