Document 4762814
advertisement
-это поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело Тетраэдр – поверхность, составленная из четырёх треугольников Октаэдр – поверхность, составленная из восьми треугольников Параллелепипед – поверхность, составленная из шести параллелограммов многоугольники, из которых составлен многогранник стороны граней концы рёбер Вершина многогранника Ребро многогранника отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани Диагональ многогранника Грань многогранника ВЫПУКЛЫЕ Многогранник расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани НЕВЫПУКЛЫЕ Многогранник расположен по разные стороны от плоскости каждой его грани Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками. В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой его вершине меньше 3600 На рисунке сумма всех плоских углов при вершине А, т.е. 1 2 3 3600 Геометрическим телом (или просто телом) называют ограниченную связную фигуру в пространстве, которая содержит все свои граничные точки, причём сколь угодно близко от любой граничной точки находятся внутренние точки фигуры Границу тела поверхностью и говорят, что поверхность ограничивает тело называют также его Плоскость, по обе стороны от которой измеряются точки данного тела, называют секущей плоскостью. Фигура, которая образуется при пересечении тела плоскостью (то есть общая часть тела и секущей плоскости), называется сечением тела. Многогранник, составленный из двух равных многоугольников А1А2…Аn и В1В2…Вn, расположенных в параллельных плоскостях, и n параллелограммов Многогранник, составленный из n-угольника А1А2…Аn и n треугольников Многоугольники А1А2…Аn и В1В2…Вn называются основаниями призмы Параллелограммы называются боковыми гранями призмы Призму с основаниями А1А2…Аn и В1В2…Вn обозначают А1А2…Аn и В1В2…Вn и называют треугольная призма n-угольной призмой шестиугольная призма четырёхугольная призма Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания, называется высотой призмы Если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется прямой, в противном случае - наклонной Высота прямой призмы равна её боковому ребру правильной, если её основания – правильные многоугольники /грани – равные прямоугольники/ Прямая призма называется Многоугольник А1А2…Аn называется основанием пирамиды Треугольники называются боковыми гранями пирамиды Точка Р называется вершиной Отрезки РА1, РА2, … , РАn называются рёбрами пирамиды пирамиды боковыми Пирамиду с основаниями А1А2…Аn и вершиной Р обозначают РА1А2…Аn и называют n-угольной пирамидой Пирамида называется правильной, если её основания – правильный многоугольник Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания является высотой. Высота боковой граи правильной пирамиды, проведенная из вершины, апофемой Все боковые рёбра правильной пирамиды равны, а боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками боковое ребро называется высота апофема боковая грань основаниями пирамиды, соответственно нижнее и верхнее основания п-угольники А1А2…Аn и В1В2…Вn называются (основания параллельны) п-четырёхугольники А1А2В1В2 , А2А3В2В3 , АnА1ВпВ1 называются боковыми гранями Отрезки А1В1, А2В2, … АпВп называются боковыми рёбрами пирамиды Пирамиду с обозначенными выше элементами называют усечённой пирамидой с основаниями А1А2…Аn и В1В2…Вп и обозначают А1А2…АnВ1В2…Вп Перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усечённой пирамиды. Боковые грани усечённой пирамиды - трапеции Усечённая пирамида называется правильной, если она получена сечением правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию Основания правильной усечённой пирамиды – правильные многоугольники Боковые грани усечённой пирамиды – равнобедренные трапеции Высоты боковых граней (равнобедренных трапеций) называются апофемами Точка А и А1 называются симметричными относительно точки О (центр симметрии) Точка А и А1 называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии) симметричными относительно плоскости (плоскость симметрии) Точка А и А1 называются Точка (прямая, плоскость) называется центром (осью, плоскостью) симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры точка О ось а плоскость симметрии прямоугольного параллелепипеда Все кристаллы, встречающиеся в природе, имеют центр, ось или плоскость симметрии ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК ВЫПУКЛЫЙ МНОГОГРАННИК НАЗЫВАЕТСЯ ПРАВИЛЬНЫМ, ЕСЛИ ВСЕ ЕГО ГРАНИ – РАВНЫЕ ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ И В КАЖДОЙ ЕГО ВЕРШИНЕ СХОДИТСЯ ОДНО И ТО ЧИСЛО РЁБЕР правильный тетраэдр правильный октаэдр правильный икосаэдр куб правильный додекаэдр правильный тетраэдр: составлен из четырёх равносторонних треугольников, сумма плоских углов при вершине 1800; правильный октаэдр: составлен из восьми равносторонних треугольников, сумма плоских углов при вершине 2400; правильный икосаэдр: составлен ид двадцати равносторонних треугольников, сумма плоских углов при вершине 3000; куб: составлен из шести квадратов, сумма плоских углов при вершине 2700; правильный додекаэдр: составлен из двенадцати правильных пятиугольников, сумма плоских углов при вершине 3240 ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК Тетраэдр Кол-во Кол-во ребер вершин 6 4 Кол-во граней 4 Куб 12 8 6 Октаэдр 12 6 8 Додекаэдр 30 20 12 Икосаэдр 30 12 20 Вид грани Правильный тетраэдр не имеет центра симметрии Правильный тетраэдр имеет три оси симметрии и шесть плоскостей симметрии Куб имеет один центр симметрии – точку пересечения его диагоналей Куб имеет девять осей симметрии /все оси симметрии проходят через центр симметрии/ Куб имеет девять плоскостей симметрии Правильный октаэдр, правильный икосаэдр и правильный додекаэдр имеют центр симметрии и несколько осей и плоскостей симметрии Площадь боковой поверхности наклонной призмы Sб PПС а периметр перпендикулярного сечения наклонной призмы PПС а боковое ребро Площадь боковой поверхности прямой призмы Sб Pосн а периметр основания прямой призмы Pосн а боковое ребро Площадь боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда Sб 2c(a b) a, b стороны основания с боковое ребро прямоугольного параллелепипеда Площадь боковой поверхности пирамиды это сумма площадей её боковых граней Площадь боковой поверхности правильной пирамиды S бок 1 Рhа 2 Pосн ha периметр основания правильной пирамиды апофема правильной пирамиды Площадь боковой поверхности усечённой пирамиды сумма площадей её боковых граней Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды S бок P1 P2 hа 2 P1 , Р2 периметры оснований ha апофема правильной усёчённой пирамиды Площадь полной поверхности наклонной призмы Sп Sб 2Sосн Sб площадь боковой поверхности наклонной призмы Sосн площадь основания Sб площадь боковой поверхности прямой призмы Sосн площадь основания Площадь полной поверхности прямой призмы Sп Sб 2Sосн Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда S п 2(ab bc ac) a, b, с измерения прямоугольного параллелепипеда Площадь полной поверхности правильной пирамиды Sп Sб Sосн Sб площадь боковой поверхности правильной пирамиды Sосн площадь основания Площадь полной поверхности усечённой пирамиды S п Sб S1 S2 Sб площадь боковой поверхности усечённой пирамиды S1, S2 площадь её оснований Объём наклонной призмы V S пс а S пс площадь перпендикулярного сечения наклонной призмы а боковое ребро Объём прямой призмы V Sосн а S осн площадь основания прямой призмы а боковое ребро Объём прямоугольного параллелепипеда V abс a, b, с измерения прямоугольного параллелепипеда S осн площадь основания пирамиды Н высота пирамиды Объём пирамиды 1 V S осн H 3 Объём усечённой пирамиды H V S1 S 2 S1S 2 3 Н высота усечённой пирамиды S1, S2 площадь оснований усечённой пирамиды 1. Найти площадь боковой поверхности правильной призмы высоты h, если прямая, соединяющая центр верхнего основания с серединой стороны нижнего основания, наклонена к плоскости основания под углом 2. В правильной четрыёхугольной призме через диагональ основания проведено сечение параллельно диагонали призмы. Найдите площадь сечения, если сторона основания призмы равна 2 см, а её высота равна 4 см. 3. Основанием пирамиды является ромб, сторона которого равна 10 см, а одна из диагоналей равна 16 см. найдите боковые рёбра пирамиды, если высота её проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см. 4. В правильном тетраэдре h – высота, m – ребро, а n – расстояние между центрами его граней. Выразите: а) m через h; б) n через m. Задача №1. Найти расстояние между серединами двух скрещивающихся рёбер куба, полная поверхность которого равна 36 см. Задача №2. Центры граней правильного тетраэдра служат вершинами нового тетраэдра. Найти отношение их поверхностей и отношение их объёмов. - НЕТ - ДА 1. Верно ли, что стороны граней называют вершинами многогранника? /да/ 2. Верно ли, что все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками? /да/ 3. Верно ли утверждение: точка фигуры, являющаяся граничной, называется внешней точкой фигуры? /нет/ 4. Верно ли утверждение: если боковые рёбра призмы перпендикулярны к основаниям, то призма называется правильной призмой? /нет/ 5. Верно ли, что площадь боковой поверхности прямой призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы? /да/ 6. Верно ли утверждение: пирамида называется правильной, если она состоит из равных треугольников? /нет/ 7. Верно ли, что боковые грани правильной пирамиды являются равнобедренными треугольниками? /да/ 8. Верно ли, что площадь боковой поверхности усечённой пирамиды равна произведению периметром оснований на апофему? /нет/ 9. Верно ли утверждение: точки А и А1 называют симметричными, если они находятся на одно расстоянии от данной прямой? /да/ 10. Верно ли, что правильный икосаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников? /нет/ Букет Платона Букет Пуансо Букет Архимеда ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА – правильные выпуклые многогранники. ИКАСАЭДР ДОДЕКАЭДР ОКТАЭДР КУБ ТЕТРАЭДР ПЛАТОНОВЫ ТЕЛА ТЕЛА ПУАНСО-КЕПЛЕРА – звездчатые многогранники (правильные невыпуклые многогранники). БОЛЬШОЙ ЗВЕЗДЧАТЫЙ ДОДЕКАЭДР БОЛЬШОЙ ДОДЕКАЭДР МАЛЫЙ ЗВЕЗДЧАТЫЙ ДОДЕКАЭДР БОЛЬШОЙ ИКОСАЭДР ТЕЛА ПУАНСО В третью группу входят ромбокубоктаэдр, который иногда называют малым ромбокубоктаэдром и ромбоикосододекаэдр, называемый также малым ромбоикосододекаэдром. В эту же группу входят ромбоусеченный кубоктаэдр, иногда называемый большим ромбокубоктаэдром и ромбоусеченный икосододекаэдр, называемый также большим ромбоикосододекаэдром, которые получаются из кубоктаэдра и икосододекаэдра при другом варианте усечения. В четвертую группу входят две курносые модификации курносый куб и курносый додекаэдр. Для них характерно несколько повернутое положение граней. В результате эти многогранники, в отличие от предыдущих, не имеют плоскостей симметрии, но имеют оси симметрии. Так как плоскостей симметрии нет, то зеркальное отражение такого тела не совпадает с исходным телом, и поэтому существуют по две формы каждого из них - "правая" и "левая", отличающиеся так же, как правая и левая руки. Пятая группа состоит из единственного многогранника -псевдоромбкубоктаэдра, открытого лишь в XX веке. Он может быть получен из ромбокубоктаэдра, если повернуть одну из восьмиугольных чаш на 45° ФОРМУЛЫ ДЛЯ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКОВ ОБЪЕМ Тетраэдр ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ V= (a³√2)/12 S= a²√3 V= a³ S= 6a² V= (a³√2)/3 S= 2a²√3 Додекаэдр V= a³(15+7√5)/4 S= 3a²√5(5+2√5) Икосаэдр V= 5a³(3+√5)/12 S= 5a²√3 Куб Октаэдр 1. Геометрия, 10-11: Учеб. Для общеобразовательных учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 12-е изд. – М.: Просвещение, 2003 – 206с. 2. Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. /Под ред. В.И. Благодатских. – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 416с. 3. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справ. Материалы: Кн. Для учащихся. – М.: Просвещение, 1988. – 416с. 4. Алтынов П.И. Геометрия. Тесты. 10-11 кл. Учебно-метод. Пособие. – 5-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2001. – 80с.
