Прямоугольные треугольники.

Подготовка к ГИА
Решение задач.
Борзакова Наталия Михайловна
МБОУ « Струго- Красненская средняя общеобразовательная школа»
Цели урока:
1) Обучающие:
-повторить и обобщить изученный геометрический материал
-развитие навыков решения задач по теме «Прямоугольный
треугольник»
2) Развивающие:
-развивать умения обобщать и систематизировать полученные
знания
-развивать интерес к изучаемому предмету
-развивать логическое мышление
_развивать компетентность школьников применять знания в новых
ситуациях
3) Воспитательные:
-воспитание информационной культуры
-развитие волевых качеств личности
-воспитание умения слушать товарищей.
Высказывание французского
математика Жака Адамара:
Прежде чем решать
задачу – прочитай
условие!
Устно
Неверно
Все
Верно
1
2
Укажите, какие из перечисленных ниже
утверждений всегда верны.
2, 3, 5
Ответ:________
углы ромба – острые.
Все высоты ромба равны.
Верно
3
Диагонали ромба взаимно
перпендикулярны.
Неверно
4
Радиус окружности, вписанной в
ромб, равен стороне этого
ромба.
Верно
5
В ромбе с углом в 60° одна из
диагоналей равна его стороне.
Устно
Неверно
1
Укажите, какие из перечисленных ниже
утверждений всегда верны.
2, 3, 5
Ответ:________
Диагонали параллелограмма равны.
Верно
2
Два различных диаметра окружности
Верно
пересекаются в точке, являющейся
3
центром.
Сумма углов трапеции равна 360.
Площадь прямоугольного
треугольника равна произведению
катетов.
Неверно
4
Верно
5
Синус острого угла прямоугольного
треугольника равен отношению
противолежащего катета к гипотенузе
Чтобы закатить пушку на крепостную
стену высотой 5 м, соорудили
аппарель (наклонный въезд). Основание
аппарели находится на расстоянии
12 м от стены. Какова длина аппарели?
Найдите тангенс угла АОВ,
изображённого на рисунке.
В
2.5
С
2
А
Лестница из 10 ступенек должна
соединить точки A и B (см. рис.).
Расстояние от A до B равно 2,5 м, а
расстояние от A до C равно 2 м.
Найдите высоту одной ступеньки. Ответ
дайте в сантиметрах.
Прямоугольные
треугольники.
Цели:
Повторить и обобщить изученный
геометрический материал.
Продолжить работу по развитию
навыков решения геометрических
задач.
Подготовиться к сдаче ГИА.
Прямоугольный треугольник
В
Треугольник, у которого один из
углов прямой, называется
прямоугольным
АВ и АС – катеты
ВС - гипотенуза
Теорема Пифагора
А
С
В прямоугольном треугольнике
квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов
ВС² = АВ² + АС²
Свойства прямоугольного треугольника
Сумма двух острых
углов прямоугольного
треугольника равна 90°
В
30°
С
А
Катет прямоугольного
треугольника, лежащий
против угла в 30°, равен
половине гипотенузы
<A + < B = 90°
< A = 30°
CB = 1 AB
2
1
Если CB =
AB, то <A =
2
30°
Если катет
прямоугольного
треугольника равен
половине гипотенузы, то
угол, лежащий против
этого катета, равен 30°
Признаки равенства прямоугольных треугольников
В
А
М
С
К
N
По двум катетам
По катету и прилежащему
острому углу
Если АВ = КМ, АС = KN,
то ∆АВС = ∆KMN
Если AB = KM, <B = <M,
то ∆АВС = ∆KMN
По гипотенузе и
острому углу
Если ВС = MN, <B =
<M,
то ∆АВС = ∆KMN
По гипотенузе и катету
Если ВС = МN, АС = KN,
то ∆АВС = ∆KMN
Признаки подобия треугольников
Синус, косинус, тангенс острого угла
прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°
Синусом острого угла прямоугольного
треугольника называется отношение
противолежащего катета к гипотенузе
В
BC
sin A 
AB
Косинусом острого угла
прямоугольного треугольника
называется отношение
прилежащего катета к гипотенузе
С
А
Тангенсом острого угла
прямоугольного треугольника
называется отношение
противолежащего катета к
прилежащему
AC
cos A 
AB
BC
tgA 
AC
Катет прямоугольного треугольника есть
среднее пропорциональное для гипотенузы
и отрезка гипотенузы, заключённого между
катетом и высотой, проведённой из
вершины прямого угла.
А
Н
АС  АВ  АН
ВС  АВ  ВН
С
В
Высота прямоугольного треугольника,
проведённая из вершины прямого угла, есть
среднее пропорциональное для отрезков, на
которые делится гипотенуза высотой.
А
С
Н
СН  АН  НВ
В
№1.
Найдите боковую сторону равнобедренной
трапеции, если ее основания равны 9 и 19, а высота
равна 12.
AB = 13
Ответ: ____________
9
B
?
A
C
12
5
5
H
19
AB2 = 52 + 122
K
D
№2 Через точку А окружности с центром О
проведена касательная АВ. Найдите радиус
окружности, если ОВ=8, угол АОВ равен 60°.
А
?
60°
О
ПОДУМАЙ!
4 3
ПОДУМАЙ!
8
В
8
ПОДУМАЙ!
4
2
ВЕРНО!
4
№3 Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии
8 шагов от столба, на котором висит фонарь.
Тень человека равна четырем шагам. На какой
высоте (в метрах) расположен фонарь?
В
Подсказка (2)
Рассмотреть подобные треугольники
ΔАВС и ΔАКМ
ВС
АС

КМ МС
К
?
5,4
1,7 м
А
4 шага
М
8 шагов
С
№4. Один острый угол прямоугольного треугольника в два
раза больше другого. Найдите меньший острый угол.
Ответ дайте в градусах.
Решение:
А
В
С
№4. Один острый угол прямоугольного треугольника в два
раза больше другого. Найдите меньший острый угол.
Ответ дайте в градусах.
Решение:
А
В
С
<A + <B = 90°
Пусть <A = x, тогда
<B = 2х
х + 2х = 90°
х = 30°
Ответ: 30°
№5 Короткое плечо шлагбаума
имеет длину 1 м, длинное плечо –
4 м. На какую высоту (в метрах)
поднимается конец длинного
плеча, когда конец короткого
опускается на 0,5 м
№5 Короткое плечо шлагбаума
имеет длину 1 м, длинное плечо –
4 м. На какую высоту (в метрах)
поднимается конец длинного
плеча, когда конец короткого
опускается на 0,5 м
Рассмотреть
подобие
треугольников
0 ,5:Х=1:4
Х=2
№6 В треугольнике ABC угол A
прямой,
AC = 12, . Найдите BC.
cos ∠ ACB = 0, 6
№6 В треугольнике ABC угол A прямой,
AC = 12, . Найдите BC.
cos ∠ ACB = 0, 6
Решение:
cos ∠ ACB=AC:ВС
0.6=12:ВС
ВС=12:0.6
ВС=20
Ответ: 20
№ 7 (демонстрационный вариант 2013 г)
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С
известны катеты: АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СК этого
треугольника
Решение:
А
К
С
В
№ 7 (демонстрационный вариант 2013 г)
В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С
известны катеты: АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СК этого
треугольника
Решение:
А
1
1
1
2
2
ÑÊ  ÀÂ 
ÀÑ  ÂÑ 
36  64  5
2
2
2
К
С
Ответ: 5
В
№ 8. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом
L проведена высота LP. Докажите, что LP² = KP·MP.
Решение:
M
P
L
K
№ 8. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом
L проведена высота LP. Докажите, что LP² = KP·MP.
Решение:
M
P
L
K
∆KLM ∞ ∆KPL по двум углам
(<K – общий, <KLM = <KPL = 90°).
∆KLM ∞ ∆MPL по двум углам
(<M – общий, <KLM = <MPL = 90°).
∆KPL ∞ ∆MPL по двум углам
(углы при вершине P прямые, <K =
<MLP).
Так как ∆KPL ∞ ∆MPL, то
MP LP

 LP 2  KPMP
LP KP
Что и требовалось доказать.
№ 9.
В равнобедренный треугольник АВС с
основанием ВС вписана окружность. Она касается
стороны АВ в точке М. Найти радиус этой
окружности, если АМ=10 и ВМ=15
А
Δ АОМ ~ Δ АВН по двум углам.
OM
10
=
HB
М
О
?
AM
AH
АН2 = 252 – 152 = 400, АН = 20
15
0М
=
15
С
В
Н
ОМ = 7,5
10
20
Катет прямоугольного треугольника есть
среднее пропорциональное для гипотенузы
и отрезка гипотенузы, заключённого между
катетом и высотой, проведённой из
вершины прямого угла.
А
Н
АС  АВ  АН
ВС  АВ  ВН
С
В
Высота прямоугольного треугольника,
проведённая из вершины прямого угла, есть
среднее пропорциональное для отрезков, на
которые делится гипотенуза высотой.
А
С
Н
СН  АН  НВ
В
Используя данные, указанные на рисунке, найдите
высоту CH.
2 СПОСОБ
1 способ
A
1) По т. Пифагора: АВ = 15.
1) По т. Пифагора: АВ2 = 92 + 122,
9
2) По т. о пропорциональных
АВ2 = 225 , АВ = 15.
отрезках в прямоугольном
2) SABC = ½ · AC ·BC , SABC = ½ · 9 · 12,
C
треугольнике:
SABC = 54.
АС2 = АВ · АH, 92 = 15 · AH,
3) C другой стороны: SABC = ½ · CH ·AB.
AH = 81 : 15,
AH = 5,4.
Имеем: 54 = ½ · CH · 15, 54 = CH · 7,5,
3) По т. Пифагора: AC2 = AH2 + HC2,
CH = 7,2
2
2
2
2
9 = 5,4 + HC , HC = 51,84,
HC = 7,2
ОТВЕТ: СH = 7,2
ОТВЕТ: СH = 7,2
H
12
B
Домашнее задание:
1)Мальцев, стр. 209
Номер 31-33.
2) Задача:
Лестница из 10 ступенек
должна соединить точки A и
B (см. рис.).
Расстояние от A до B равно
2,5 м, а расстояние от A до
C равно 2 м.
Найдите высоту одной
ступеньки. Ответ дайте в
сантиметрах.
Ну кто придумал
эту математику ?!
Спасибо за внимание!
До новых встреч!