Многоугольники 1

Многоугольники
1
D
С
E
В
F
А
K
ABCDEFK – многоугольник (семиугольник)
AB, BC, CD, DE, EF, FK, KA - стороны многоугольника
A, B, C, D, E, F, K – вершины многоугольника
A, B – соседние вершины
AС, AD, AE, AF – диагонали многоугольника
2
D
E
C
B
F
A
ABCDEFK – не многоугольник (СЕ ⋂ AD = B)
3
D
С
E
внутренняя
область
В
А
F
K
внешняя область
4
D
С
E
В
F
А
K
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит
по одну сторону от каждой прямой, проходящей через
две его соседние вершины.
5
C
B
E
A
D
ABCDE - невыпуклый многоугольник
6
D
С
E
В
F
А
K
Найдем сумму всех углов многоугольника.
Для этого соединим вершину А с другими вершинами.
Получим (n – 2 ) треугольников (пять).
Сумма углов каждого треугольника 180°.
Сумма углов выпуклого многоугольника (п – 2)·180°
Сумма углов выпуклого четырехугольника 360°
7
Задача
Сколько сторон имеет многоугольник, если каждый угол
которого равен 120°.
1
Решение
Обозначим п – количество сторон многоугольника.
Так как сумма углов выпуклого многоугольника
(п – 2) · 180°.
То следовательно (п – 2) · 180° = 120° · п
180° · п - 360° = 120° · п
60° · п = 360°
п = 360° : 60°
Ответ: 6 сторон.
п=6
8
Задача
2
Найти стороны четырехугольника, если его периметр 66 см,
первая сторона больше второй на 8 см и на столько же
меньше третей, а четвертая - в три раза больше второй.
B
A
Решение
x
С
х + x – 8 + х + 8 + 3х – 24 = 66
6х – 24 = 66
6х = 66 + 24
6х = 90
х = 90 : 6
х = 15
ВС = 15 см, AB = 15 – 8 = 7 см,
CD = 15 + 8 = 23 cм,
AD = 3· 7 = 21 см.
Периметр это сумма
D
длин всех сторон,
поэтому:
х + (x – 8) + (х + 8) + 3(х – 8) = 66 Ответ: 15 см, 7 см, 23 cм, 21 см.
9
Дано:
АВСD – четырехугольник, ∠А = ∠B =∠C =∠D
Найти:
B
A
3
∠А -?
С
Решение
По формуле о сумме углов
многоугольника имеем:
D
(п – 2)·180° = (4 – 2)·180° = 360°
По условию ∠А = ∠B =∠C =∠D,
следовательно ∠А = 360° : 4 = 90°
Ответ: 90°
10
Дано:
Найти:
B
АВСD – четырехугольник,
∠А:∠B:∠C:∠D = 1:2:4:5
4
∠А,∠B, ∠C, ∠D - ?
С
Решение
∠А + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
Пусть ∠А = х
тогда ∠B = 2х, ∠C = 4х, ∠D = 5х
х + 2х + 4х + 5х = 360°
A
12х = 360°
D
х = 360° : 12
х = 30°
∠А = 30°, ∠B = 2х = 60°, ∠C = 4х = 120°, ∠D = 5х = 150°
Ответ: 30°, 60°, 120°, 150°
11
Какая фигура называется многоугольником?
Что такое вершина, стороны, углы, диагонали
и периметр многоугольника?
Какой многоугольник называется выпуклым?
Формула вычисления суммы углов выпуклого
многоугольника.
Чему равна сумма углов выпуклого
четырехугольника?
12