Расстояние между скрещивающимися прямыми

Решение задач С2
Выполнила: Алёшина Александра
ученица 11 «Г» класса
Преподаватель: Акимова
Татьяна Дмитриевна
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
Расстояние между скрещивающимися
прямыми равно длине отрезка их
общего перпендикуляра
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
Для нахождения расстояния между скрещивающимися
прямыми можно воспользоваться одним из приведенных
ниже четырех способов:
1. Построить общий перпендикуляр двух скрещивающихся
прямых (отрезок с концами на этих прямых и
перпендикулярный обеим) и найти его длину.
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
 ( A1C1 , AD1 )  ?
Построить общий перпендикуляр
двух скрещивающихся прямых
(отрезок с концами на этих
прямых и перпендикулярный
обеим) и найти его длину.
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
 ( A1C1 , AD1 )  ?
Пусть отрезок PQ есть общий перпендикуляр
скрещивающихся прямых
A1C1 и AD1 , а PN и KQ - его ортогональные
проекции на плоскости A1B1C1 и AA1D1
соответственно (PK перпендикулярна A1D1 и QN
перпендикулярна A1D1). На основании теоремы о
трех перпендикулярах PK перпендикулярна A1D1
и QN перпендикулярна A1D1. Треугольники A1PN
и KQD1 - прямоугольные и равнобедренные,
поэтому ND1=KN=A1K=a/3. Аналогично,
KP=A1K=ND1=NQ=a/3 и PN=A1P= . Тогда из
прямоугольного треугольника PNQ получим
расстояние между A1C1 и AD1.
Ответ:
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
2. Построить плоскость, содержащую одну из
прямых и параллельную второй. Тогда искомое
расстояние будет равно расстояние от какойнибудь точки второй прямой до построенной
плоскости.
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
 ( A1C1 , AD1 )  ?
Построить плоскость,
содержащую одну из
прямых и параллельную
второй. Тогда искомое
расстояние будет равно
расстояние от какой-нибудь
точки второй прямой до построенной
плоскости.
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
Построим плоскость,
содержащую AD1 и
параллельную A1C1. Искомой
плоскостью является AD1C.
Найдем расстояние до нее от
какой-либо точки прямой A1C1.
Для этого опустим из точки O на
указанную плоскость
перпендикуляр. Плоскости
BB1D1 и AD1C перпендикулярны
(AC перпендикулярна BD и AC
перпендикулярна DD1, и AC
принадлежит AD1C).
Так как B1D перпендикулярна
D1O1, то ON перпендикулярна
AD1C (ON || B1D) и из подобия
треугольников BB1D и OD1N
следует
или
 ( A1C1 , AD1 )  ?
Ответ:
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
3. Заключить данные прямые в параллельные
плоскости, проходящие через данные
скрещивающиеся прямые, и найти расстояние
между этими плоскостями.
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
 ( A1C1 , AD1 )  ?
Заключить данные
прямые в
параллельные
плоскости, проходящие
через данные скрещивающиеся прямые, и найти
расстояние между этими плоскостями.
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
Построим параллельные
плоскости AD1C и BA1C1,
содержащие прямые AD1
и A1C1 соответственно.
Диагональ B1D куба
перпендикулярна обеим
плоскостям и точками K и
N делится на три равные
части. Расстояние между
плоскостями AD1C и
BA1C1 равно длине
отрезка KN, т.е.
 ( A1C1 , AD1 )  ?
Ответ:
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
4. Построить плоскость, перпендикулярную одной из
данных прямых, и построить на этой плоскости
ортогональную проекцию второй прямой
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
 ( A1C1 , AD1 )  ?
Построить плоскость,
перпендикулярную
одной из данных
прямых, и построить
на этой плоскости ортогональную проекцию второй
прямой
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
Плоскость BB1D1 перпендикулярна прямой A1C1
(A1C1 перпендикулярна
B1D1 и A1C1
перпендикулярна D1D)
и плоскости AD1C (B1D
перпендикулярна AD1C).
D1O1 - проекция AD1
на плоскость BB1D1.
Расстояние от точки O
(проекции A1C1 на
плоскость BB1D1) до D1O1
равно длине отрезка ON.
OO1=a и OD1=
=>ON=
a 2
2
=>O1D1=
a 6
2
 ( A1C1 , AD1 )  ?
Ответ:
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
Векторно-координатный метод.
Главный пункт в этом методе – это условие:
 
A1C  PQ  0
 
AD1  PQ  0
Расстояние между
скрещивающимися прямыми
 ( A1C1 , AD1 )  ?
z
Введем декартову систему координат
так, как на рисунке, и найдем координаты
направляющих векторов для данных
прямых. Пусть PQ – искомое расстояние,
тогда координаты точек P и Q должны
удовлетворять условию. Найдем
y
координаты направляющего вектора
прямой PQ.
x
Расстояние между
скрещивающимися прямыми


A C  PQ  0
z
 ( A1C1 , AD1 )  ?


AD  PQ  0
1
1
Подставив координаты векторов, получим,
что y=x и y=-z. Подставив сюда координаты
вектора PQ получим значения k и d, найдем
численные значения координат. Вычислим
длину вектора, т.е. расстояние между
прямыми A1C1 и AD1.
x
y
Ответ: