В П-я

Повторение
Определение. Прямая называется перпендикулярной к
плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой,
лежащей в этой плоскости.
a
S
F
A
a 

N
D
H
a  AS , a  AF , a  FS , a  ND, a  DH , a  HN
Повторение
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна к двум
пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то
она перпендикулярна к этой плоскости.
a
p

p  , a p,
q  , a q,
a 
Планиметрия
Стереометрия
А
А
а
М
Н
М
Н

Отрезок АН – перпендикуляр
Точка Н – основание перпендикуляра
Отрезок АМ – наклонная
Точка М – основание наклонной
Отрезок МН – проекция
наклонной на прямую а
Отрезок МН – проекция
наклонной на плоскость

Планиметрия
Стереометрия
А
А
а
М
Н
Н
М

Из всех расстояний от точки А
до различных точек прямой
а
плоскости
наименьшим является длина
перпендикуляра.
Расстояние от точки до
Расстояние от точки до
прямой – длина
плоскости – длина
перпендикуляра
перпендикуляра

Расстояние от лампочки до земли
измеряется по перпендикуляру,
проведенному от лампочки к
плоскости земли
Если две плоскости параллельны, то все точки одной
плоскости равноудалены от другой плоскости.

 II 

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных
плоскостей до другой плоскости называется
расстоянием между параллельными плоскостями.
Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой
равноудалены от этой плоскости.
a
a II 

Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости
называется расстоянием между прямой и параллельной
ей плоскостью.
Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них
проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом
только одна.
a
a b

a II 
b
Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и
плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно
первой, называется расстоянием между
скрещивающимися прямыми.
Расстояние
Отрезок, имеющий
между одной
концы
изна
скрещивающихся
двух скрещивающихся
прямых и
плоскостью,
прямых и перпендикулярный
проходящей черезкдругую
этим прямым,
прямую называется
параллельно
первой,
их общим
называется
перпендикуляром.
расстоянием между
скрещивающимися
На рисунке АВ – общий
прямыми.
перпендикуляр.
В
А
В
Н-Я
П-Я
А
П-Р
С
Н-Я
П-Я
M
Из точки А к плоскости  проведены две наклонные,
которые образуют со своими проекциями на плоскость
углы в 600. Угол между наклонными 900. Найдите
расстояние между основаниями наклонных, если
расстояние от точки А до плоскости  равно 18 см.
A
18
К
В
600
600


Из точки А к плоскости  проведены две наклонные, длины
которых равны 26 см и 2 133 см. Их проекции на эту
плоскость относятся как 5:4. Найдите расстояние от точки А
до плоскости .
A
2 133

26
?
В
М
С
Теорема о трех перпендикулярах.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту
плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.
А
П-Р

Н
Н-я
П-я
М
a
Обратная теорема.
Прямая, проведенная в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к ней,
перпендикулярна и к ее проекции.
А
П-Р

Н
Н-я
П-я
М
a
Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного
треугольника АВС, а точка М – середина стороны ВС.
Докажите, что МК  ВС.
К
П-Р
А
В
П-я
М
С
BC AМ
П-я

TTП
BC MК
Н-я
Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного
треугольника АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см,
АD = 12 см.
Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.
D
П-Р
В
12
П-я
А
N 6
5
С
BC AN
П-я

TTП
BC DN
Н-я
АN и DN – искомые расстояния
В треугольнике угол С прямой, угол А равен 600, AС=12см.
DC  (АВС). DC= 6 5 Найдите расстояния:
а) от точки С до прямой АВ, б) от точки D до прямой АВ.
АВ СN
D
 AB DN
TTП
Н-я
П-я
6 5
П-Р
CN и DN – искомые расстояния
А
С
12
600
N
В
Через вершину прямого угла С равнобедренного
прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ,
перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от
точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ = 2 7 см.
М
П-Р
2 7
С
А
4
П-я
F
В
AВ СF
П-я

TTП
AВ  MF
Н-я
МF – искомое расстояние
та
Один из катетов прямоугольного треугольника равен т,
острый угол, прилежащий к этому катету, равен . Через
вершину прямого угла С проведена прямая СD,
перпендикулярная к плоскости этого треугольника, СD = n.
n
Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.
D
П-Р
С
А
П-я
F
В
AВ СF
П-я

TTП
AВ  DF
Н-я
DF – искомое расстояние
Домашнее задание:
 5.3(с.157)
повторить 5.2
Контрольные вопросы (с. 177)
Историческая справка (с.175)
№ 5.35, № 5.38, № 5.40, № 5.41 (с.162)