Решение-задач-с-геометрическим

Распределение заданий по основным блокам
содержании
школьного курса математики
Число
заданий
Максимальный
первичный
балл
Процент максимального
первичного балла за задания
данного блока содержания
от максимального
первичного балла за всю
работу, равного 37
Выражения и
преобразования
5
5
13%
Уравнения и
неравенства
8
15
41 %
Функции
8
9
24%
Числа и вычисления
1
1
3%
Геометрические фигуры
и их свойства. Измерение
геометрических величин
4
7
19%
Итого
26
37
100%
Блоки содержания
В 10
В 11
С 4
приложения
выход
Концы отрезка МК лежат на
окружностях двух оснований
цилиндра. Угол между прямой
МК и плоскостью основания
цилиндра равен 30°. МК = 8,
площадь боковой поверхности
цилиндра равна 40π.
Найдите периметр осевого
сечения цилиндра.
* B 10
2009
OC высота цилиндра,
R его радиус.
РЕШЕНИЕ
в начало
выход
Из точки М опустим перпендикуляр на второе
основание цилиндра в точку N. Угол MKN
является углом наклона МК к плоскости
основания цилиндра.
OC=MN=MK:2=4
Sбок.пов. = 2πR*OC=40π
R=5
Pос.сеч. = 4R+2OC
Pос.сеч. = 28
Ответ: 28
условие
2009
Средняя линия прямоугольной
трапеции равна 9. а радиус
вписанной в нее окружности
равен 4.
Найдите большее
основание трапеции.
* B 11
2009
MN средняя линия
прямоугольной трапеции
ABCD. О – центр
вписанной окружности.
ОЕ радиус,
проведённый к боковой
стороне трапеции.
РЕШЕНИЕ
в начало
выход
Проведём высоту трапеции BF. Треугольники BFC и OEN
подобны (прямоугольные с равными углами N и C). 2009
Составим пропорцию BC:ON = BF:OE.
BC=5*8:4=10
FC найдём с помощью
теоремы Пифагора.
FC=6.
2*MN=2*DF+FC.
2DF=12
DF=6
DC = 12
Ответ: 12
условие
Около правильной пирамиды FABC
описана сфера, центр которой
лежит в плоскости основания
АВС пирамиды. Точка М
лежит на ребре AB так,
что AM :MB =1:3. Точка
Т лежит на прямой AF
и равноудалена
от точек М и B.
Объем пирамиды
TВCM равен 5/64.
*С4
2009
2007
Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды FABC.
РЕШЕНИЕ
в начало
выход
Пусть О – центр сферы радиуса R,
описанной около пирамиды FABC.
Так как ОА = ОВ = ОС = OF = R,
а О АВС, то точка О является
также центром окружности
радиуса R, описанной около
треугольника АВС.
Треугольник АВС –
правильный,
следовательно,
О – точка
пересечения
медиан
треугольника АВС,
AB =R .
условие
2009
2007
FABC - правильная пирамида, поэтому
FO - высота пирамиды и AF0 ABC.
По условию T AF и ТМ = ТВ.
Опустим из точки Т перпендикуляр
ТН на прямую АО. Так как
AFO ABC, то ТН ABC, и
следовательно, ТН –
высота пирамиды ТВСМ,
а отрезки НМ и НВ –
проекции равных
наклонных
ТМ и ТВ.
Значит, НМ = НВ,
и поэтому треугольник ВНМ - равнобедренный, а его
высота НР является медианой, то есть РМ = РВ.
условие
2009
2007
Объем V пирамиды ТВСМ, равный
через R. Из условия
MB =
, MP =
ТН • SBCM, выразим
имеем
. Отсюда АР =
,
.
2009
2007
В прямоугольном треугольнике АРН
угол А равен 30°, следовательно,
АН =
. Так как OA = OF,
то прямоугольный треугольник
AOF – равнобедренный,
поэтому в прямоугольном
треугольнике АТН угол А
равен 45°, следовательно,
АН = ТН. Медиана CN
правильного треугольника АВС является его высотой.
Поэтому CN - высота треугольника ВСМ. Следовательно,
условие
площадь треугольника ВСМ можно найти
по формуле SBCM = 0,5CN·BM. Имеем
CN=
СО =
и SBCM =
.
2009
2007
Отсюда
условие
в начало
В основании первой пирамиды
DABC лежит треугольник АВС, в
котором С = 45º, ВС =4√2, АС =16.
Боковое ребро AD перпендикулярно
плоскости основании пирамиды.
Сечение пирамиды плоскостью,
проходящей через середину ребра
DB параллельно прямым ВС и AD,
является основанием второй
пирамиды. Её вершина T –
основание высоты BT треугольника
АВС.
Во сколько раз объём первой
пирамиды больше объёма второй
пирамиды?
*С4
2009
2007
РЕШЕНИЕ
в начало
выход
Объём пирамиды DABC
V1 =
V1 =
,
2009
2007
.
Условие построения основания
второй пирамиды – плоскость
сечения перпендикулярна
плоскости основания и проходит
через середину ребра DB.
Значит MN перпендикулярен
плоскости АВС и N середина АВ.
Аналогично т. к. PK тоже
параллелен AD и перпендикулярен
плоскости АВС и К середина АС.
NК – средняя линия треугольника АВС.
условие
2009
Аналогично рассуждая получим,
что основание пирамиды
прямоугольник MNKP со
сторонами KP = 0,5AD и
NK = 0,5BC. Для нахождения
объёма пирамиды необходимо
найти высоту этой пирамиды и
площадь основания. S основания
равна 0,5AD*0,5BC=0,25AD*4√2 =
= AD√2. Найдём теперь высоту.
Необходимо найти расстояние от
основания высоты точки T до средней
линии треугольника.
условие
2007
Вынесем часть рисунка.
Нужно найти расстояние
TR. TB = TС т.к. треуг. BTC
прямоугольный с острым углом
С = 45 градусов. Найдём TC.
2(TC)2 = 16*2 => TC = 4. AK = KC =
= 16:2 = 8 => KT = 8 – 4 = 4.
Аналогично KT = TL = 4 => KL =
KR =2√2 => TR =2√2.
2009
2007
.
V2 =
V1 =
V1:V2 = 8.
Ответ 8.
условие
в начало
Геометрические фигуры и их свойства.
Измерение геометрических величин
приложения
Признаки равенства и подобия треугольников.
Решение треугольников
Площадь треугольника.
Многоугольники.
Окружность.
Векторы.
Многогранники.
Призма.
Пирамида.
Правильные многогранники.
Сечение плоскостью.
Площадь боковой и полной поверхности.
Объем
Тела вращения.
в начало
выход
Признаки подобия треугольников.
приложения
Первый признак подобия треугольников.
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам
другого, то такие треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам
другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами,
равны, то такие треугольники подобны.
Третий признак подобия треугольников.
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам
другого, то такие треугольники подобны.
в начало
Признаки равенства треугольников.
приложения
Первый признак равенства треугольников.
Если две стороны и угол между ними одного треугольника
соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого
треугольника, то такие треугольники равны.
Второй признак равенства треугольников.
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника
соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам
другого треугольника, то такие треугольники равны.
Третий признак равенства треугольников.
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем
сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
в начало
в начало
выход