Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой и
плоскостью
Суфиярова М.А., учитель математики
МОУ СОШ №2 городского округа ЗАТО
Светлый Саратовской области
Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту
прямую и не перпендикулярную к ней, называют угол
между прямой и её проекцией на плоскость
При решении задач углом между прямой и плоскостью
будет служить угол между наклонной и её проекцией.
Наибольшее затруднение при построении такого угла
вызывает построение перпендикуляра от точки до
плоскости
Алгоритм
 Чётко выяснить где прямая, где плоскость
 Жирной точкой выделить основание
наклонной (точку пересечения прямой с
плоскостью)
 Отправиться от этой точки вдоль этой
прямой в поисках удобной точки, из которой
могли бы опустить перпендикуляр на данную
плоскость
 Могут быть следующие ситуации:

Найдётся и удобная точка и перпендикуляр опущенный из этой точки до
данной плоскости, тогда построить проекцию и угол найден
 перпендикуляра готового нет, тогда придётся построить плоскость,
проходящую через удобную точку и перпендикулярную данной плоскости;
При построении такой плоскости необходимо пользоваться теоремой:
плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух плоскостей,
перпендикулярна каждой из них; или признаком перпендикулярности
плоскостей: если одна из двух плоскостей проходит через прямую,
перпендикулярную другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны;
или следующей теоремой: Найти линию пересечения этих двух
перпендикулярных плоскостей;
 Из удобной точки опустить перпендикуляр на линию пересечения
плоскостей (чаще всего этот перпендикуляр является высотой
образовавшегося треугольника;
 Построить проекцию;
 Угол между наклонной и её проекцией и будет углом между прямой и
плоскостью
 Дано: В прямом параллелепипеде АВСDA1B1C1D1 основанием
служит ромб. Сторона ромба равна а, < BAD=600. Диагональ
параллелепипеда В1Dсоставляет с плоскостью боковой грани
угол 450.
 Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда
 1.Построение.
D-основание наклонной ,(B1K1D1) ┴(DD1C1)
B1K┴D1C1
<B1DK-есть угол между прямой В1D и гранью DD1C1C.
 2.Вычисление.
ΔB1KC1; sin 600 =B1K/B1C1; B1K=a
/2
DK=B1K. Cos600 =KC1/a; KC1=а/2
ΔDD1K. DD1=
=a /2
Sпол=2Sосн +Sбок; Sосн =
/2;
Sбок=4a х a /2=2
Sпол=
+2
= ( +2 )
Задача 2
 Дано:ABCA1B1C1-прямоугольная призма,<ACB=90,AC=BC=а,
Прямая B1C образует с плоскостью грани AA1B1B угол 300.
 Найти : площадь боковой поверхности призмы.
I. Построение.
(ABC) ┴(AA1B1)
(ABC) (AA1B1)=AB
CE ┴AB
<EB1C-есть угол между прямой B1C и плоскостью AA1B1B
I. Вычисление.
Sпол=2Sосн +Sбок
Sосн=1/2aхa= а2 /2 ; Sбок=p x CC1
AB=
=a
P=2a+a
EC=
=
Sin300 =
;B1C=
;B1C=

ΔBB1C. BB1=

Ответ: Sбок= 2a2 +a2
=a
=a; Sбок= 2a2 +a2
Задача 3
Дано: ABCDA1B1C1D1-куб, M- середина B1C1, F-середина D1C1, Ксередина DC, О- точка пересечения диагоналей квадрата ABCD
Найти угол между:
MF и DD1C;
2) MF и DD1B;
3) AC и MKF;
4) AC1 и BCC1;
5) AA1 и AMF;
a) BB1 ┴(ABC), AB- проекция, то <B1AB есть угол между прямой AB1 и
плоскостью ABC и равен 45.
b) MC1 ┴(DD1C), FC1-проекция , <СFM есть угол между прямой MF и
плоскостью DD1Cи равен 45.
c) MF||(DD1B), значит угол между ними равен 0.
d) AC┴(MKF),значит угол между прямой AC и плоскостью MKF равен 90.
e) AB ┴(BCC1),BC1-проекция , то <AC1B есть угол между прямой AC1 и
плоскостью BCC1
f)
(AMF) ┴(AA1C1); (AMF) (AA1C1)=QA; A1H-проекция
<A1AH есть угол между прямой AA1 и плоскостью AFM
1)
Задача 3
 Дано:ABCA1B1C1-прямая призма; Δ ABC-основание <C= 900;
<A=300 ; BC=2 ; K-середина СС1; B1K┴A1B
 Найти:тангенс угла между прямой A1B и плоскостью основания
призмы.
 Решение: C2H2 =32+32-64cos 1200;
C2H2 =64=32=96; С2H= 4
ΔC2B1H: <B1= 900 ;
B1H=A1B=B1C2
X2+x2=96; 2x2=96; x2=48; x=4
ΔAA1B: AA1=
=4
tgα=AA1/AB;
tgα=4/4 =1/
 Ответ:tgα=1/