НА ТЕМУ «РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ»

ПРЕЗЕНТАЦИЯ
НА ТЕМУ
« РАВЕНСТВО
ТРЕУГОЛЬНИКОВ»
ЛЕНЬШИНА АЛИНА 9 «А»
ТРЕУГОЛЬНИК
-
геометрическая фигура, состоит из 3х
точек не лежащих на 1ой прямой, и 3х
отрезков, попарно соединяющих эти
точки.
ABC
НАЗВАНИЯ
BCA вершина
CBA
МОЖНО ЛИ
СЧИТАТЬ
ТРЕУГОЛЬНИКОМ:
сторона 1)
2)
ТРЕУГОЛЬНИКИ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНЫМИ,
ЕСЛИ У НИХ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СТОРОНЫ
РАВНЫ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УГЛЫ РАВНЫ.
ПРИ ЭТОМ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УГЛЫ
ДОЛЖНЫ ЛЕЖАТЬ ПРОТИВ
СООТВЕТСТВУЮЩИХ СТОРОН
ABC =
АВС =
ВСА =
САВ =
КМО ,ТО
КМО
МОК
ОКМ
АВ
ВС
СА
= КМ
= МО
= ОК
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(ПРИЗНАК ПО СТОРОНАМ
И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ)
ЕСЛИ ДВЕ СТОРОНЫ И УГОЛ МЕЖДУ
НИМИ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО ДВУМ
СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ
ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО
ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ
ДАНО:
АВС и
А1В1С1
АВ=А1В1
АС=А1С1
LА=LА1
1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
С
С1 С2
ПУСТЬ у
треугольников
АВС и А1В1С1
АВ=А1В1
АС=А1С1
LА= LА1
ДОКАЖЕМ,ЧТО
В2 ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ
А1
В
ДОКАЗАТЬ: А
В1
АВС=
2. ПУСТЬ А1В2С2 = АВС, с вершиной В2 на луче А1В1 и
А1В1С1
вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой
А1В1, где лежит вершина С1
А) АВ=А1В1 (ПО УСЛОВИЮ)
Вершина В2 СОВПАДЕТ С В1
АВ = А1В2 (2)
Б) LВАС=LВ1А1С1
ВАС=LВ2А1С2
В) АС=А1С1
АС=А1С2
(ПО УСЛОВИЮ)
(2)
(ПО УСЛОВИЮ)
(2)
=> А1В1=А1В2
=> LВА1С1= LВ2А1С2
Луч А1С2 совпадет с лучем А1С1
=> LВ1А1С1= LВ2А1С2
Вершина С2 совпадет с С1
ИТАК, А1В1С1 СОВПАДАЕТ С А1В2С2
ЗНАЧИТ А1В1С1 = АВС. (ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА)
ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(ПРИЗНАК ПО СТОРОНЕ
И ПРИЛЕЖАЩИМ К НЕЙ УГЛАМ)
ЕСЛИ СТОРОНА И ПРИЛЕЖАЩИЕ К НЕЙ
УГЛЫОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ
СООТВЕТСТВЕННО СТОРОНЕ И
ПРИЛЕЖАЩИМ К НЕЙ УГЛАМ ДРУГОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ
ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ.
ДАНО:
АВС и
А1В1С1
АB=А1B1
LА=LА1
L B=LB1
1.
А
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
С1 С2
С
ПУСТЬ у
треугольников
АВС и
В
В2
В1
А1
А1В1С1
АB=А1B1
LА=LА1
LB=LB1
ДОКАЖЕМ,ЧТО
ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ
ДОКАЗАТЬ: 2.
АВС=
ПУСТЬ А1В2С2 = АВС, с вершиной В2 на луче А1В1 и
А1В1С1
вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой
А1В1, где лежит вершина С1
А) т.к.А1В2=А1В1
Б)
Вершина В2 СОВПАДЕТ С В1
т.к. LВ1А1С2 =LВ1А1С1
LА1В1С 2 =LА1В1С1
Луч А1С2 совпадет с лучем А1С1
Луч В1С 2 = совпадет с лучем В1С1
=>
Вершина С2
совпадет с С1
ИТАК, А1В1С1 СОВПАДАЕТ С А1В2С2
ЗНАЧИТ А1В1С1 = АВС.
(ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА)
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(ПРИЗНАК ПО ТРЕМ СТОРОНАМ )
ЕСЛИ ТРИ СТОРОНЫ ОДНОГО
ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ
СООТВЕТСТВЕННО ТРЕМ СТОРОНАМ
ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ
ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ.
ДАНО:
АВС и
А1В1С1
АB=А1B1
BC=B1C1
CА=C1А1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:
С1 DС2
С
1.
А
В А1
ДОПУСТИМ,ЧТО
ТРЕУГОЛЬНИКИ
НЕ РАВНЫ.ТОГДА
LС
LА
LB
LС1
LА1
LB1
В1 ИНАЧЕ ОНИ БЫЛИ БЫ
РАВНЫ ПО ПЕРВОМУ
ПРИЗНАКУ
ПУСТЬ А1В1С2 = АВС,
ДОКАЗАТЬ: 2. у которого вершина С лежит
2
АВС=
в той же полуплоскости где и вершина С1
А1В1С1
относительно прямой А1В1
ПУСТЬ D – середина отрезка С1С2.
Треугольники А1С1С2 и В1С1С2 равнобедренные
с общим основанием С1С2.
Поэтому их медианы А1D и В1D являются высотами.
Значит прямые А1D и В1D перпендикулярны прямой С1С2.
Прямые А1D и В1D не совпадают,
так как точки А1, В1, D не лежат на одной прямой.
Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну
перпендикулярную ей прямую.
Мы пришли к противоречию.
(ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА)
ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
1*. В треугольниках ABC и DEF [ABD и MPQ]
сторона AB [AD] равна DE [MQ], сторона BC [BD]
равна EF [PQ], угол C [D] равен углу F [Q].
Можно ли на основании первого признака равенства
утверждать, что эти треугольники равны?
2*. В треугольниках KLM и FPQ [ABC и KLM] сторона KL
[AB] равна FP [KL], сторона KM [BC] равна FQ [LM],
угол K [A] равен углу F [K]. Можно ли на основании
первого признака равенства утверждать, что эти
треугольники равны?
3 . В треугольниках KNO и PQT [ABC и DEF]
равные стороны KN [AB] и PQ [DE] и
углы K[A] и P [D]. Какое еще условие должно быть
выполнено, чтобы эти треугольники оказались
равными по первому признаку?
4. В треугольниках МРК и АОВ сторона МР равна АО,
сторона МК равна АВ. Какое еще условие должно быть
выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными
по первому признаку?
[Закончите предложение:
«Первый признак равенства треугольников – это признак
равенства по…» ]
5. В треугольниках АВС и DEF стороны АВ и ВС
[MPQ и KLT стороны MP и PQ] равны соответственно
сторонам DE и EF [KL и LT]. Треугольники эти
не равны.
Что можно сказать об углах В и Е[ P и L]?
6. Закончите предложение: «Первый признак равенства
треугольников – это признак равенства по…»
[ В треугольниках PQR и CST сторона PR равна CT, сторона
QR равна ST.
Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти
треугольники оказались равными по первому признаку? ]
7. У треугольников АВС и А1В1С1 равны стороны
АС и А1С1 и углы А и А1.
Равенство каких сторон или углов надо установить,
чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на
основании первого признака равенства?
[У треугольников АВС и А1В1С1 равны стороны ВС и В1С1
и углы С и С1.
Равенство каких сторон или углов надо установить,
чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на
основании первого признака равенства треугольников? ]
8. Докажите равенство
треугольников АВС и СМК [ ВМК ].
ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
1*. В треугольниках АВС и DEF [ABC и MNQ]
сторона AB равна DE [MP], углы A и B равны
соответственно углам D и F [M и P].
Равны ли эти треугольники по второму признаку
треугольников?
2. В треугольниках KMN и PQT [ABC и KLM]
сторона NM [AB] и N [A] и M [B] равны соответственно
стороне PQ [KL] и углам P [K] и Q[M].
Равны ли эти треугольники по второму признаку?
3. В треугольниках KNM и PQT [ABC и DEF]
сторона [углы] KN [A и C] равна [равны] стороне PQ
[соответственно углам D и F ].
Угол N = углу Q. Какое еще условие должно быть
выполнено, чтобы эти треугольники оказались
равными по второму признаку?
4. В треугольниках MQP и LKT [BCD и MPK]
углы [сторона] M и Q [CD] равны [равна] соответственно
углам [стороне] L и T [PK,угол D= углу K].
Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти
треугольники оказались равными по второму признаку?
5. В треугольниках BCD и MPQ [MPQ и KLT]
углы B [M] и D [Q] равны соответственно
углам M [K] и Q [T] .
Треугольники эти не равны.
Что от сюда следует в соответствии со вторым
признаком треугольников?
6. Закончите предложение:
«Второй признак равенства треугольников – это признак
равенства по…»
[сколько условий должно выполняться, чтобы
треугольники CDE и XYZ оказались равными по
определению равных треугольников; сколько – для
равенства по первому признаку; сколько - для
равенства по второму признаку?]
7. У треугольников АВС и А1В1С1 равны
стороны ВС и В1С1 и углы С и С1. Равенство каких
еще сторон или углов надо установить,
чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на
основании второго признака равенства?
[У треугольников АВС и А1В1С1 равны стороны АС и А1С1 и
углы А и А1. равенство каких сторон или углов надо
установить, чтобы сделать вывод о равенстве
треугольников на основании второго признака равенства
треугольников?]
8. Сколько условий должно выполниться, чтобы
треугольники АВС и MPQ оказались равными по
определению равных треугольников; сколько – для
равенства по первому признаку; сколько - для равенства
по второму признаку? [Закончите
предложение: «Второй признак равенства
треугольников – это признак равенства по…»]
9. Докажите равенство треугольников
АВС и СМК [ ВМК ].
10. Можно ли воспользоваться для
установления равенства треугольников
одним из известных вам признаков?
ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
1. Стороны одного треугольника равны 30см, 40см
и 0,5м, а другого – 30см, 40см и 5дм.
Равны ли эти треугольники?
[ В треугольнике АВС стороны 20см, 30см и 0,4дм, а
в треугольнике ЕМК стороны равны 20см, 30см и 0,4м.
Равны ли эти треугольники?]
2. В треугольниках ВОС и МАЕ равны стороны ВО и МА,
ОС и АЕ.[В треугольниках АСМ и ВЕК стороны
АС и СМ равны соответственно сторонам ВЕ и ЕК.]
Обязательно ли эти треугольники равны?
3. Сколько равных пар сторон надо найти,
доказывая равенство двух треугольников:
А) по определению
Б) по первому признаку
В) по второму признаку
Г) по третьему признаку
[ Закончите предложение:
«третий признак равенства треугольников – это
признак равенства по …».]
4. В треугольниках АВС и PОT [МКE] стороны АВ и ВC
равны соответственно сторонам РО и ОТ [MK и KE].
Какое еще условие должно быть выполнено,
чтобы эти треугольники оказались равными
по третьему признаку?
5. Закончите предложение:
«Третий признак равенства треугольников –
это признак равенства по…»
[сколько пар равных углов надо найти,
доказывая равенство двух треугольников:
А) по первому признаку
Б) по второму признаку
В) по третьему признаку?
6. В неравных треугольниках АВС и МЕК стороны
АВ и ВС равны соответственно сторонам МЕ и ЕК.
Может ли сторона АС быть равной стороне МК?
[Стороны треугольника ВСМ равны 6см, 8см и 10см,
а две стороны треугольника КОА равны 10см и 6см.
Что можно сказать о третей стороне этого
треугольника, если известно, что
треугольники не равны? ]
7. Докажите равенство треугольников
АВС и АСМ [ АМК и АВК ].
8. Докажите равенство
треугольников
АВС и АМК [ ЕСМ и КСМ ].
9. Докажите равенство треугольников
СОВ и СМО [ОМА и ОРС].
Равенство треугольников.
Медиана, высота и
биссектриса
треугольника.
Вариант 1 Вариант 2
Равенство треугольников.
Медиана, высота и биссектриса
треугольника.
Вариант 1
1. Известно ,что BD – медиана ABC,
DE = DB и что AB = 5,8 см, BC = 7,4 см,
AC = 9 см. Найдите CE.
а) 3,7 см;
б) 5,8 см;
в) 7,4 см;
г) 4,5 см;
2.OM и ON – высоты AOB и COD,
причем OM = ON.
Найдите CD, если AO = 6,5 см,
AM = 4,2 см и DN = 5,6 см.
а) 2,3 см;
б) 12,1 см;
в) 10 см;
г) 9,8 см.
3. Дано: MPC =
DAB, MP = 12 см, CP = 8 см, LA = 73
0
Какое из высказываний верное?
а) DB = 8см,0 АВ = 12 см;
б) LM = 73 АВ = 8 см; 0
в) AD = 12см, LP = 73 0
г) AB = 12 см, LP = 73
4.
АВС = А1В1С1. Периметр АВС =39 см.
Сторона А1В1
А1В1С1 в 1,5 раза меньше стороны
В1С1, а А1С1 на 3 см меньше стороны А1В1.
Найдите большую сторону АВС.
а) 15 см;
б) 16 см;
г) 19 см.
в) 18 см;
5. В треугольник МРК и BDE проведены две
биссектрисы РС и DN; треугольник МРС равен
треугольнику BDN. Найдите отрезок NE, если МК =8см,
а BN < NE на 2,4 см.
а) 2,8 см; б) 5,2 см;
в) 5,6 см;
г) 2,6см.
6. прямая АВ разбивает плоскость на две
полуплоскости. Из точек А и В в разные
полуплоскости проведены равные отрезки AD и
BC, причем угол BAD равен углу ABC.
Какие из высказываний верные:
1)
CAD =
BDA;
2) LDBA = LCAB;
а) 2;4;
б) 2;3;4;
3)
4)
BAD = BAC;
ADB = BCA?
в) 1;4;
г) 1;2;3;4.
7. Сколько пар равных
треугольников на рисунке?
а) 1; б) 2; в) 3;
г) 4.
8. На какое наибольшее число равных
треугольников может разделить
прямоугольник ломаная, состоящая из
трех звеньев?
а) 2;
б) 3;
в) 4;
г) 6.
Равенство треугольников.
Медиана, высота и
биссектриса
треугольника.
Вариант 1 Вариант 2
Вариант 2
1. Известно ,что AO – медиана ABC,
AO =OK и что AB =6,3см,
BC=6,5см, AC=6,7см.Найдите CK.
а) 6,4см;
б) 6,7см;
в) 6,5см;
г) 6,3см;
2. OH и ON – высоты углов
треугольников MOK и EOF,
причем OH = ON.
Найдите длину отрезка MK,
если EN = 7,8 см,
OE = 8,6 см и HM = 6,3 см.
а) 13,9 см;
б) 14,1 см;
в) 14,9 см;
г) 16,4 см.
0
3. Дано:
ABC = DEF, LB=73 ,
BC = 6,9 см, DF = 7,6 см,
Какое из высказываний верное?
а) DE = 6,9 см, АC = 7,6 см;
б) E = 730 АC = 7,6 см;
в) DF = 6,9см, E = 730;
г) AC = 7,6 см, D = 730
4. Треугольник СDE равен треугольнику C1D1E1.
Периметр треугольника СDE равен 76 см. Сторона C1D1
в 2,5 раза меньше стороны D1E1, а C1E1 на 8 см
меньше стороны D1E1. Найдите большую сторону
треугольника СDE.
а) 30 см;
в) 35 см;
б) 28 см;
г) 28 см.
5. В треугольник ABC и KPM проведены две
биссектрисы BO и PE;
треугольник ABO равен треугольнику KPE.
Найдите отрезок EM,
если AC = 9 см, а EM < KE на 3,8 см.
а) 6,4 см;
в) 2,6 см;
б) 5,4 см;
г) 4,8 см.
6. прямая MK разбивает плоскость на две
полуплоскости. Из точек M и K в разные
полуплоскости проведены равные отрезки MA и KB,
причем угол AMK равен углу BKM.
Какие из высказываний верные:
1) AMB = AKB;
3) MKA = KMB;
2) LAKM = LBMK;
а) 1; 3; 4;
4) LAMB = LKBM?
б) 1;2;4;
в) 1;3;
г) 2;3;
7. Сколько пар равных треугольников на рисунке?
а) 2;
б) 6;
в) 8;
г) 4.
8. На какое наибольшее число равных
треугольников может разделить
прямоугольник ломаная, состоящая из
трех звеньев?
а) 2;
б) 4;
в) 3;
г) 6.
Задание
1 2 3 4 5 6 7 8
Вариант
I
Б Г B В Б А Г В
II
Г Б Б В А Г В Б
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ВАРИАНТ 1
И
ВАРИАНТ 2
ВАРИАНТ 3 И ВАРИАНТ 4
1. Докажите равенство треугольников
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
2. Докажите равенство треугольников,
изображенных на рисунке
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ВАРИАНТ 1
И
ВАРИАНТ 2
ВАРИАНТ 3 И ВАРИАНТ 4
1. Докажите равенство
треугольников,
изображенных на рисунке
ВАРИАНТ 3
ВАРИАНТ 4
2. Докажите равенство треугольников,
изображенных на рисунке
ВАРИАНТ 3
ВАРИАНТ 4