А В

ЗАДАНИЯ В6
5.1.1-5.1.4 ОСНОВНЫЕ
ФИГУРЫ.
5.5.5.ПЛОЩАДИ.
СОШ №35
Колмакова В.И.
5.1.1-5.1.4
Основные фигуры планиметрии.
5.5.5.Площади.
• Треугольник (медианы, высоты,
биссектрисы), сумма углов,
равнобедренный треугольник; теоремы
• Пифагора, синусов, косинусов,
• Четырехугольники, особые свойства.
• Окружность и круг.
• 5.5.5 Площади треугольников,
четырехугольников, круга и сектора.
85
80
Красноармейский р-н
г.Новороссийск
г.Краснодар
Отрадненский р-н
г.Геленджик
Ейский р-н
Калининский р-н
Щербиновский р-н
Новокубанский р-н
Брюховецкий р-н
Славянский р-н
Абинский р-н
Каневской р-н
Кавказский р-н
Новопокровский р-н
Белореченский р-н
Ленинградский р-н
Курганинский р-н
Крыловский р-н
Апшеронский р-н
г.Армавир
Староминский р-н
Крымский р-н
Северский р-н
Белоглинский р-н
Тихорецкий р-н
Кореновский р-н
Лабинский р-н
г-к Анапа
Павловский р-н
Тбилисский р-н
Тимашевский р-н
Динской р-н
Туапсинский р-н
г.Сочи
Прим.-Ахтарский р-н
г.Горячий Ключ
Темрюкский р-н
Успенский р-н
Усть-Лабинский р-н
Мостовский р-н
Кущевский р-н
Гулькевичский р-н
Выселковский р-н
Изменение процентного отношения средних
набранных в территориях баллов
к среднекраевому баллу по математике в 2012 году
по сравнению с 2011 годом
115
110
105
100
95
90
2011
среднекраевой уровень = 100%
2012
без учета результатов экзаменов выпускников
прошлых лет и результатов пересдачи
75
Выселковский р-н
Гулькевичский р-н
Кущевский р-н
Мостовский р-н
Усть-Лабинский р-н
Успенский р-н
Темрюкский р-н
г.Горячий Ключ
Прим.-Ахтарский р-н
44
г.Сочи
Туапсинский р-н
Динской р-н
Тимашевский р-н
Тбилисский р-н
Павловский р-н
г-к.Анапа
Лабинский р-н
Кореновский р-н
Тихорецкий р-н
Белоглинский р-н
Северский р-н
Крымский р-н
Староминский р-н
г.Армавир
Апшеронский р-н
Крыловский р-н
Курганинский р-н
Ленинградский р-н
Белореченский р-н
Новопокровский р-н
Кавказский р-н
Каневской р-н
Абинский р-н
Славянский р-н
Брюховецкий р-н
Новокубанский р-н
Щербиновский р-н
Калининский р-н
Ейский р-н
г-к.Геленджик
Отрадненский р-н
г.Краснодар
39
г.Новороссийск
Красноармейский р-н
Распределение набранных итоговых
баллов по математике в 2012 году
49
48
47
46
45
средний балл по краю 43,9
43
42
41
40
без учета результатов экзаменов
выпускников прошлых лет
38
0.0
Красноармейский р-н
Калининский р-н
г-к.Геленджик
Ейский р-н
Белореченский р-н
г.Новороссийск
Отрадненский р-н
Щербиновский р-н
Северский р-н
г.Краснодар
Новокубанский р-н
Крыловский р-н
Каневской р-н
Абинский р-н
Ленинградский р-н
Крымский р-н
г-к.Анапа
Белоглинский р-н
Апшеронский р-н
Динской р-н
Тимашевский р-н
г.Армавир
Лабинский р-н
Павловский р-н
Славянский р-н
Кавказский р-н
Тбилисский р-н
Староминский р-н
Новопокровский р-н
Брюховецкий р-н
Курганинский р-н
г.Сочи
Прим.-Ахтарский р-н
Туапсинский р-н
Кореновский р-н
Усть-Лабинский р-н
Кущевский р-н
Успенский р-н
Тихорецкий р-н
Темрюкский р-н
Выселковский р-н
Мостовский р-н
г.Горячий Ключ
Гулькевичский р-н
Распределение неудовлетворительных
оценок на ЕГЭ-2012 по математике в
территориях края
12.0
10.0
8.0
6.0
4.0
2.0
Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину
треугольника с точкой противоположной стороны, называется
биссектрисой треугольника.
O
Эта точка тоже замечательная – точка пересечения биссектрис
является центром вписанной окружности.
Докажите, что биссектриса треугольника делит его на
треугольники, площади которых пропорциональны
прилежащим сторонам треугольника.
В
BD – биссектриса

Доказать
b
a
SАBD
SDВС
A
D
S ABD
S DBC
угла В
С
=
BA
ВC
1

 ВA  BD  sin
BА
2
2


1

BC
 BD  BC  sin
2
2
Теорема
Каждая точка биссектрисы
неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
В
K
А
1
2
М
L
С
Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой
противоположной стороны, называется медианой треугольника.
В
Q
С
М
O
N
Медианы треугольника
пересекаются в одной точке!
Эта точка называется центр тяжести.
А
Треугольник, который опирается на острие иглы в точке пересечения
медиан, находится в равновесии! Точка, обладающая таким
свойством, называется центром тяжести треугольника.
Треугольник, который опирается на опору по линии медианы,
находится в равновесии.
Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой,
содержащей противоположную сторону, называется высотой
треугольника.
В
Ы
С
О
Т
А
1
В
Ы
С
О
Т
А
1
В
Ы
С
О
Т
А
Высота в прямоугольном
треугольнике, проведенная из
вершины острого угла,
совпадает с катетом.
1
Высота в тупоугольном
треугольнике, проведенная из
вершины острого угла,
проходит во внешней области
треугольника.
Высоты прямоугольного треугольника пересекаются в вершине С.
Высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке О,
которая лежит во внутренней области треугольника.
В
Точка пересечения
O
высот называется –
ортоцентр.
М
Т
В
А
С
O
С
К
А
Высоты тупоугольного треугольника пересекаются в точке О,
которая лежит во внешней области треугольника.
Теорема косинусов.
Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов
двух
других
сторон двух
минусдругих
удвоенное
произведение этих
сумме
квадратов
сторон
сторон
на косинус произведение
угла между ними.
минус удвоенное
этих сторон
на косинус угла между ними.
2
a
=
C
b
A
a
c
B
2
b
+
2
c –
2bc cosA
Теорема синусов.
Стороны треугольника пропорциональны синусам
противолежащих углов.
a
b
c
=
=
sinA sinB sinC
В
(1)
a
c
(2)
C
b
A
(3)
1
S  ab sin С
2
1
S  bс sin А
2
1
S  са sin В
2
Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон
минус удвоенное произведение этих сторон
на косинус угла между ними.
Задача № 1
Найти ВС
2
 cos 600
2
ВС2 = АВ2 + AC2 – 2 АВ AC cos А
В
ВС2
?
6
А
1
= 72 – 72 (– )
2
ВС2 = 108
ВС = 108
1200
6
С
36 3
ВС = 6 3
Вписанные окружности.
Окружность, вписанная в треугольник.
1. В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.
2. Центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис.
А
3. Если в треугольник вписана окружность, то
выполняются равенства
 х  у  AB

 у  z  AC
 x  z  BC

у
у
х
z
В
C
х
z
4. Радиус r вписанной окружности треугольника вычисляется по формуле ,
S
r  , где S – площадь, а р – полупериметр треугольника.
p
Описанные окружности.
Окружность, описанная около треугольника.
1. Любой треугольник можно описать окружностью, причем только одной.
2. Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных
перпендикуляров.
3. Центр окружности, описанной около прямоугольного
треугольника лежит на середине гипотенузы, R=0,5c.
4. Центр окружности, описанной около тупоугольного
треугольника лежит за треугольником.
5. В правильном треугольнике a  R 3
6. В произвольном треугольнике:
1) 2 R 
2) S 
a
(следствие из теоремы синусов)
sin A
abc
4R
гипотенуза
5
противолежащий катет
si nA =
гипотенуза
A
BC
sinA =
AB
3 = 12
5 AB
AB× 3 = 5 ×12
5×12
AB =
= 20.
3
прилежащий
катет
B
противолежащий катет
В треугольнике АВС угол С равен 90,
3
sin A  , BC  12. Найдите АВ.
C
2
2
sin K  cos K  1
 
гипотенуза
2
4  cos 2 K  1
5
2
16
cos K  1 
25
2
9
cos K 
25
3
cos K  
5
K
прилежащий
катет
3
K  90, значит, cos K  0 : cos K 
5
противолежащий катет
4
В треугольнике KMP угол P равен 90 sin K  .
5
Найдите cos K .
M
P
4
В треугольнике KMP угол P равен 90 sin K  .
5
Найдите cos K .
M
2
2
MP  KP  KM
 4a   x   5a 
2
2
2
2
x  25a  16a
2
2
5а
2
2
K
2
x  9а
х  3а (так как х  0, a  0)
KP
3
a
3
cos K 

 .
PM 5a 5
х
4а
P
противолежащий катет
tg B 
прилежащий катет
В
CH
tgB 
BH
5 = 10
12 ВН
гипотенуза
противолежащий катет
В6. В треугольнике ВСН угол Н равен 90,
tg B  5 , СH  10. Найдите ВН.
С
12
прилежащий
катет
5  ВН = 10  12
ВН  2  12  24
Н
Тренировочные задания
В треугольнике АВС сторона АВ = 2 , ВС = 2. На стороне
АС отмечена точка М так, что АМ = 1, ВМ = 1.
Найдите угол АВС.
 2  1  1
450
(Верно)
2
600
2
С
В
1
300
М
2
1
А
2
2
Меньшая высота параллелограмма равна 4 см и делит
большую сторону на отрезки, каждый из которых равен по
3 см. Найдите большую высоту параллелограмма.
В
С
SABCD =AD*BH
?
5
SABCD = 24
4
Р
А
SABCD =СD*BР
24 = 5 * ВР
3
H
3
D
ВР = 4,8
Сторона ромба равна одной из
его диагоналей. Чему равна
величина большего угла этого
ромба.
В
600
А
600
600
D
С
В прямоугольнике один из углов, образованных
диагоналями, равен 1200, а меньшая сторона
прямоугольника равна 99 см
см.
Найдите диагональ прямоугольника.
С
В
600
1200
600
О
600
А
D
В прямоугольнике АВСD проведена биссектриса угла А,
которая пересекает сторону ВС в точке М, причем
ВМ : МС =2 : 3. Найдите ВС, если периметр АВСD равен
56 см.
В
2х
М
3х
450
0
45
А
Р=56см
2(2х+2х+3х) = 56
С
D
р=28см
2х+2х+3х = 28
№ 408. Признак ромба.
Если диагонали параллелограмма взаимно
перпендикулярны, то параллелограмм является
ромбом
В
Дано: ABCD параллелограмм
АС ВD
Доказать: АВСD ромб
Доказательство:
А
О
 АВО =  СВО = СDO = DAO
С
По катетам
АВ = ВС = СD = DА
АВСD ромб по определению
D
Диагональ КР прямоугольника КМРТ равна 8 см. Найдите
медиану треугольника ТКР, проведенную к его большей
стороне.
М
Р
8 см
К
О
?
Т
Медиана прямоугольного треугольника, проведенная из
вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине
гипотенузы.
Формулы для вычисления
площади треугольника
h
1
2
S = aha
a
b
1
2
a
S = ab
c
b
a
S = p(p – a)(p – b)(p – c)
B
C параллелограмм
1
2 1 2
d2

d1
A
S = d d sina
D
B
A
ромб
d1
d2
C
D
C
B
d
A

1
2
S = d1 d2 sin900
прямоугольник
S=
d
D
1
1
2
2
d sina
Чем похожи и чем различаются углы АОВ и АСВ?
Центральный угол
О
О
В
А
Вписанный угол
С
В
А
Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны
Угол с вершиной в центре
окружности
называется
определение
этих
углов.
пересекаютСоставьте
окружность,
называется
вписанным
углом.
центральным углом.
Блиц-опрос
Найдите градусную меру угла АВС
В
О
1100
С
А
550
Блиц-опрос
Найдите градусную меру угла АВС
В
С
А
1200
О
120
24000
Блиц-опрос
Найдите градусную меру угла АВС.
А
В
О
С
Блиц-опрос. Найдите угол МАВ.
М
В
710
О
А
В6-2013
Блиц-опрос. Найдите дугу АВ.

44055/ 2 = 880110/ = 89050/
В
О
44055/
А
М
Если дуга АВ окружности с
центром О больше
полуокружности, то ее градусная
мера считается равной
360  АОВ
0
О
650
В
А
2950
 АВ  360  АОВ  360  65  295
0
0
0
0