Взаимное расположение прямой и окружности

Всероссийский интернет-семинар
"Универсальные учебные действия как основа построения целостного образовательно-воспитательного процесса"
Урок в 8 классе
Дроковой Татьяны Борисовны,
учителя математики
МБОУ Ржаксинской СОШ №1
Электронное периодическое издание НАУКОГРАД
сентябрь - октябрь 2013 года
“Ни 30 лет, ни 30 столетий не
оказывают никакого влияния на
ясность или на красоту
геометрических истин”.
Кэрролл Л.
Самая простая из кривых линий – окружность. Это одна из
древнейших геометрических фигур. Ещё вавилоняне и древние
индийцы считали самым важным элементом окружности – радиус.
Слово это латинское и означает “луч”. В древности не было этого
термина: Евклид и другие учёные говорили просто “прямая из
центра”, Ф. Виет писал что “радиус” - это “элегантное слово”.
Общепринятым термин “радиус” становится лишь в конце XVII в.
Впервые термин “радиус” встречается в “Геометрии”
французского ученого Рамса, изданной в 1569 году.
В Древней Греции круг и окружность считались венцом
совершенства. Действительно в каждой своей точке окружность
“устроена” одинаково, что позволяет ей как бы двигаться “по
себе”. На плоскости этим свойством обладает еще лишь прямая.
Одно из интереснейших свойств круга состоит в том, что он при
заданном периметре ограничивает максимальную площадь.
В русском языке слово “круглый” тоже стало означать высокую
степень чего-либо: “круглый отличник”, “круглый сирота” и даже
“круглый дурак”.
Без понятия круга и окружности было бы трудно говорить о
круговращении жизни. Круги повсюду вокруг нас. Окружности и циклы
идут, взявшись за руки. Циклы получаются при движении по кругу. Мы
изучаем циклы земли, они помогают нам разобраться, когда надо
сажать растения и когда мы должны вставать.
Представление об окружности даёт линия движения модели
самолёта, прикреплённого шнуром к руке человека, также обод
колеса, спицы которого соответствуют радиусам окружности.
Термин “хорда” (от греческого “струна”) был введён в современном
смысле европейскими учёными в XII-XIII веках.
Определение касательной как прямой, имеющей с окружностью
только одну общую точку, встречается впервые в учебнике
“Элементы геометрии” французского математика Лежандра (17521833 гг.). В “Началах” Евклида даётся следующее определение: прямая
касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не
пересекает его.
ОR – радиус
СD – диаметр
AB - хорда
Как вы думаете, сколько общих точек могут иметь прямая и
окружность?
Дано:
•
•
•
Окружность с центром в точке О
радиуса r
Прямая, которая не проходит через
центр О
Расстояние от центра окружности до
прямой обозначим буквой d
Возможны три случая:
1) d<r
Если расстояние от центра
окружности до прямой меньше
радиуса окружности, то прямая и
окружность имеют две общие
точки.
Прямая АВ называется секущей по отношению к окружности.
2) d=r
Если расстояние от центра
окружности до прямой равно
радиусу окружности, то
прямая и окружность имеют
только одну общую точку.
3) d>r
Если расстояние от центра
окружности до прямой больше
радиуса окружности, то
прямая и окружность не имеют
общих точек.
Сколько общих точек могут иметь прямая и окружность?
Касательная к окружности
Определение: Прямая,
имеющая с окружностью
только одну общую точку,
называется касательной
к окружности, а их общая
точка называется точкой
касания прямой и
окружности.
Выясните взаимное расположение прямой и
окружности, если:
•
•
•
•
•
r = 15 см, d = 11см
r = 6 см, d = 5,2 см
r = 3,2 м, d = 4,7 м
r = 7 см, d = 0,5 дм
r = 4 см, d = 40 мм
•
•
•
•
•
прямая – секущая
прямая – секущая
общих точек нет
прямая – секущая
прямая касательная
Устные задачи по теме:
«Взаимное расположение
прямой и окружности».
Задача №1
Дано: КС=R
К
Найти: угол АОК.
А
О
С
Задача№2
Дано: СВ=R
R=5
Найти: АВ, ВС, АС.
А
В
О
С
Задача №3
В
H
О
С
Дано: ВС=8
R=5
Найти: расстояние
от точки О до
прямой ВС.
Дано: R=7, ОА=4, ОС=10,
ОD=7.
Найти: кратчайшее
расстояние от т.А, В, С
А
до окружности.
Задача№4
О
В
D
С
Решите № 633.
Дано:
OABC-квадрат
AB = 6 см
Окружность с центром O радиуса 5
см
Найти:
секущие из прямых OA, AB, BC, АС
Расстояние от точки до прямой.
Найдите расстояние от точки А до прямой ВМ.
М
С
В
300
3
?
А
6
Найдите х.
Треугольник АОВ – р/б
С
А
4см D 4см
3
5
О
х
В
OD – медиана,
высота
Найдите х.
х=4
О
3см
2см
А
х
В
Сделайте вывод о взаимном расположении прямой и окружности,
в зависимости от радиуса и расстояния от центра до прямой.
Обсудите свои выводы с товарищем по парте.
Радиус окружности
меньше расстояния от
центра окружности до
прямой
Радиус окружности
больше расстояния от
центра окружности до
прямой
Радиус окружности
равен расстоянию от
центра окружности до
прямой
Прямая и окружность
Прямая и окружность
……….
Прямая и окружность
……….
……….
Подведение итогов
Вопросы: а) Что нового узнали на уроке?
б) Сколько случаев расположения прямой и
окружности вы узнали?
в) Чем отличается касательная от секущей?
Оцените свою работу:
- всё понял и могу рассказать;
- всё понял , но рассказать не могу;
- понял не всё.
- ничего не понял, но старался.
Использованная литература
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Гаврилова Н.Ф.Поурочные разработки по геометрии: 8 класс. М.:
ВАЕО, 2004.
Г. Глейзер “История математики в школе”,
Мэгаэнциклопедия Кирилла и Мефодия: http://mega.km.ru ;
Новые технологии в образовании: http://edu.sesha.ru/main/;
Педагогическая мастерская, уроки в Интернете и многое другое:
http://teacher.fio.ru;
Программа «Живая математика»;
Путеводитель «В мире науки» для школьников:
http://www.uic/ssu.samara.ru/~nauka/;
С. Акимова “Занимательная математика”;
Сайты «Энциклопедий»: http://www.rubricon.ru/;
http://wwwencyclopedia.ru/;
Тестирование online: 5-11 классы: http://www/kokch.kts/ru/cdo/.