Геометрические построения 7
advertisement
Геометрические построения 1. Окружность 2. Окружность, описанная около треугольника. 3. Касательная к окружности. 4. Окружность, вписанная в треугольник. 5. Задачи на построение 6. Геометрическое место точек. Окружность K А F о Задача: Докажите, м о N что диаметр окружности, проходящий через середину хорды, перпендикулярен хорде. А Дано: окр (О; R) АВ- хорда, С середина хорды С M О N В В О Докажите, что любой луч, исходящий из центра окружности, пересекает окружность в одной точке А О В Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит, через все его вершины С К N F S T О М О Теорема: О Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения перпендикуляров к сторонам, проведенных через середины этих сторон. Доказательство: ∆АОВ- Равнобедренный, т.к. ОА=ОВ=R. D – середина стороны АВ поэтому ОD – медиана, а значит и высота ∆АОВ. Следовательно центр окружности лежит на прямой, перпендикулярной стороне АВ и проходит через ее середину. Аналогично ∆ВОС равнобедренный, а ОЕ- серединный перпендикуляр к стороне ВС и т.д. Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют серединным перпендикуляром. m О1 О2 Касательная к окружности Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к радиусу, проведенному в эту точку, называется касательной. a А R О Задача: Докажите, что касательная к окружности не имеет с ней других общих точек, кроме точки касания О R a Решение: А В Допустим, касательная и окружность имеют, кроме точки А, общую точку В, отличную от точки А. Треугольник АОВ равнобедренный с основанием АВ. (ПОЧЕМУ?) Т.к. у равнобедренного треугольника углы при основании равны, а угол при вершине А прямой, то в ∆АОВ два прямых угла. Получили противоречие. Теорема:Окружность Центрназывается окружности, вписанной в треугольник, если вписанной в треугольник, является она касается всех его сторон точкой пересечения его биссектрис. С Доказательство: Е F O D A Пусть АВС-данный треугольник, О-центр вписанной в него окружности, D,E и F- точки касания окружности со сторонами. BПрямоугольные треугольники АОD и АОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты ОD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов ОАD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника Задачи на построение 1) Построение треугольника с данными сторонами 2) Построение треугольника равного данному 3) Построение биссектрисы угла 4) Деление отрезка пополам 5) Построение перпендикулярной прямой Стремясь к большей точности, древние математики предпочитали строить геометрические фигуры, обходясь без измерений, а используя лишь проведение прямых линейкой и проведение окружностей циркулем. 90 В задачах на построение идет речь о построении геометрической фигуры с помощью данных чертежных инструментов. Основой измерительных приборов является шкала, а на собственном опыте вы убедились, что второй конец отрезка или вторая сторона угла чаще всего проходит между белениями шкалы. При хорошем глазомере можно определить, какое деление ближе к истинному. Математические не Наша главная цель – линии точность построений, а поэтому надо имеют толщины помнить о том, что…
