Геометрия Тема: Окружность Выполнила учитель математики РСШ: Гутникова Е. А.

Геометрия
Тема: Окружность
Выполнила учитель математики
РСШ: Гутникова Е. А.
Цели и задачи
Раскрыть содержание понятия
окружности.
 Способствовать развитию у
школьников мышления, памяти,
творческого воображения.
 Обеспечить овладения основными
алгоритмическими приёмами.

Определение:
Окружностью называется
множество точек плоскости,
находящихся на одинаковом
расстоянии от данной точки
(центра окружности).
Отрезки в окружности
Для любой точки М
окружности с центром О
выполняется равенство:
ОМ = R (отрезок ОМ —
радиус окружности).
Отрезок, соединяющий
две точки окружности,
называется хордой.
Хорда, проходящая через
центр окружности,
называется диаметром
окружности (D).
D=2R
Длина окружности
C  2 R
а
д
р
о
х
O
с
у
и
д
ра
диаметр
М
Дуга окружности
Часть окружности , заключенная
между ее двумя точками,
называется дугой.
Две любые точки M и N
окружности определяют на ней


две дуги : MkN и Ml N . Любую
из этих дуг стягивает хорда MN .
Равные дуги стягиваются
равными хордами.
k
М
N
l
Длина дуги

ACB  Rα , где
α - величина угла AOB в
радианах;

π o
A CB  R
, где  - величина
o
180
угла AOB в градусах.
C B
A
R

O
Круг
Кругом называется часть плоскости,
ограниченн ая окружность ю.
Для всех точек N круга выполняется
неравенство ON  R.
Часть круга, ограниченн ая дугой
и двумя радиусами, называется
сектором круга.
Любые два радиуса задают два
сектора
Часть круга, ограниченн ая дугой
и стягивающе й ее хордой,
называется сегментом .
Любая хорда делит круг на два сегмента.
Сегмент, задаваемый диаметром,
называется полукругом .
N
R
O
сектор
O
сектор
сегмент
сегмент
Диаметр,
перпендикулярный
хорде, делит эту
хорду и
стягиваемые ею
дуги пополам.
Если диаметр делит
хорду, не
являющуюся
диаметром,
пополам, то он ей
перпендикулярен.
N
A
T
B
O
M
MN  AB  AT  BT
C
Если две хорды AB и CD имеют
общую точку M , то
B
M
A
AM  MB  CM  MD .
D
Для данной точки М внутри
окружности произведение
A
M
отрезков хорды, на которые
B
O
делит ее данная точка, есть
величина постоянная и
равная :
(R  OM)(R-OM) .
AM  MB  ( R  OM )( R  OM ) 
 R 2  OM 2
Центры всех
окружностей, проходящих через две
данные точки, лежат
на серединном
перпендикуляре к
отрезку с концами в
данных точках.
O2
R2
R1
A
O1
B
Прямая и окружность
Прямая, имеющая с
окружностью одну общую
точку, называется
касательной к окружности;
прямая, имеющая с
окружностью две общие
точки, — секущей.
Прямая касается окружности
тогда и только тогда, когда
диаметр, проходящий через
общую точку прямой и
окружности,
перпендикулярен этой
прямой.
секущая
O
a
M
касательная
OM  a
Если расстояние ОМ от
центра окружности до
прямой:
больше радиуса —
прямая не имеет с
окружностью общих
точек,
равно радиусу —
прямая касается
окружности, меньше
радиуса — окружность
высекает на прямой
хорду длиной
2  R2  OM 2 .
M
M
O
O
OM  R
OM  R
O
R
B
M
A
OM  R
Если окружность
касается сторон
данного угла, то:
центр окружности
лежит на
биссектрисе угла,
отрезки
касательных
равны между
собой.
M
O
A
N
AM  AN
биссектриса
Если из точки вне
окружности к ней
проведены касательная
и секущая, то квадрат
длины отрезка
касательной равен
произведению всего
отрезка секущей на его
внешнюю часть.
Произведения длин
отрезков секущих,
проведенных из одной
точки, равны.
C
T
O
B
A
X
Y
AT 2  AC  AB  AY  AX 
 (OA  R)(OA  R)  OA2  R 2
Две окружности
Если расстояние d между двух окружносте й больше
суммы ( R1  R2  d ) или меньше разности ( R1  R2  d )
их радиусов, то окружности не имеют общих точек.
O1
O1
d
R1
R2
R1  R2  d
O2
O2
R1  R2  d
Если R1  R2  d или R1  R2  d , то окружности касаются
(внешним или внутренним образом).
Внешнее касание
Внутреннее касание
R2 O2
R1
O1
R1  R2  d
O1
O2
R1  R2  d
Если R1  R2  d  R1  R2 , то окружности имееют
общую хорду.
A
M
O1
A
N
O1
O2
O2
N
M
B
B
MN  R2  R1  d
MN  R1  R2  d
AB 
4 S  O1 AO2
d
Две окружности, имеющие общий центр,
называются концентрическими
M
N
O1=O2
MN  R1  R2
d 0
Углы в окружности
Центральным углом в
окружности
называется угол между
двумя ее радиусами.
Градусная мера
центрального угла
равна градусной мере
дуги, на которую он
опирается (измеряется
дугой, на которую он
опирается)
O
o
A
B
P

o
 AOB  APB  
Угол, вершина
которого лежит на
окружности, а стороны
содержат хорды,
называется вписанным
углом.
Вписанный угол
измеряется половиной
дуги, на которую он
опирается.
Вписанный угол,
опирающийся на
диаметр, прямой.
Вписанные углы,
опирающиеся на одну
и ту же дугу, равны.
A
B
C
M
P
B
O
A
1 
 BAC   BPC  BMС
2
 BAC  90o
C
Вписанные углы,
опирающиеся на
одну и ту же хорду,
либо равны, либо их
сумма 180°.
A
C
P
T
B
 BPC   BAC
 BAC   BTC  180o
Угол между хордой и
касательной
измеряется
половиной
содержащейся в
этом угле дуги
окружности.
A
C
M
O
B
1 
 BAC  BMA
2
Угол с вершиной
внутри окружности
(угол между двумя
хордами).
B1
C
A
L
C1
M
B
 BAC   CC1 B   B1 BC1 


1
 ( BMC  B1 LC1 )
2
B1
Угол с вершиной
вне окружности
(угол между двумя
секущими).
M
B
A
L
C
 BAC   C1 BB1   CC1 B 


1
 ( B1 MC1  BLC )
2
C1
Общие касательные двух
окружностей
Если одна окружность лежит вне другой, то у них
четыре общих касательных.
две внутренних касательных
A1
A2
K1
P1
N2
I
O1
N1
M1
B1
K2
две внеш
них
O2
ных
ь
л
е
т
а
кас
P2
B2
X
M2
d  O1O2  R1  R2
IO1 
R1
d ; M 1 M 22  ( R1  R2 ) 2  d 2
R1  R2
IO2 
R2
d ; N 1 N 22  ( R1  R2 ) 2  d 2
R1  R2
Если одна окружность касается другой снаружи, то у
них три общих касательных.
одна внутреннÿÿ касательнàÿ
A
O1
O2
две внеш
них
ных
ь
л
е
т
а
кас
M2
M1
d  R1  R2
M 1 M 2  2 R1 R2
M 1 B  BA  BM 2
X
Если одна
окружность
касается другой
изнутри, то у них
одна общая
касательная.
M
O2
O1
Если окружности
пересекаются, то у
них две общих
касательных (две
внешних
касательных,
внутренних
касательных нет).
O1
O2
M1
M2
Если O1O2  d , то
M 1 M 22  ( R1  R2 ) 2  d 2
X
Если одна
окружность лежит
внутри другой, то
общих
касательных нет.
O2
O1
Вписанная окружность
Окружность называется
вписанной в многоугольник ,
если она касается всех его сторон.
Ее центр должен принадлежать
всем биссектрис ам внутрен них
углов этого многоуголь ника.
Ее радиус можно вычислить по
S
формуле r  , где S - площадь,
p
а p - полупериме тр многоуголь ника.
Не во всякий многоуголь ник можно
вписать окружность .
B
A
r
O
C
E
D
В любой треугольни к можно
вписать окружность и притом
только одну. Ее центр лежит в
точке пересечения биссектрис
внутренних углов, а радиус
может быть вычислен по
формулам :
S
r ,
p
A
r  ( p  a ) tg 
2
B
C
 ( p  b ) tg  ( p  c ) tg ,
2
2
где S - площадь треугольни ка,
а p - его полупериме тр.
A
C1
r
r
B
B1
r
A1
C
AB1  AC1  p  a
BC1  BA1  p  b
СA1  CB1  p  с
1
p  (a  b  c )
2
В выпуклый
четырехугольник
можно вписать
окружность тогда и
только тогда, когда
суммы длин его
противоположных
сторон равны.
B
C
O
A
D
AB  CD  BC  AD
Описанная окружность
Окружность называется
описанной около
многоугольника, если она
проходит через все его
вершины. Ее центр лежит
на всех серединных
перпендикулярах сторон (и
диагоналей) этого
многоугольника. Радиус
вычисляется как радиус
окружности, описанной
около треугольника,
определенного любыми
тремя вершинами данного
многоугольника.
D
C
B
O
E
A
OA  OB  OC  OD  OE  R
Около любого треугольника
можно описать
окружность и притом
только одну. Ее центр
лежит в точке пересечения
серединных
перпендикуляров сторон
треугольника, а радиус
вычисляется по формулам:
a
b
c
R


,
2 sin A 2 sin B 2 sin C
abc
R
,
4S
где a , b, c - длины сторон
треугольни ка, S - его площадь.
B
B
R
R
O
R
C
R
C
R
R
O
A
A
 B  90o   AOC  2B
B
R
A
R
C
R
O
 B  90o   AOC  180o  2B
B
Около
четырехугольника
C
можно описать
A
окружность тогда и
только тогда, когда
сумма его
D
противоположных
o
 A   C   B   D  180
углов равна 180°.
Теорема Птолемея
Во вписанном
четырехугольнике
произведение
диагоналей равно
сумме произведений
его
противоположных
сторон.
AC  BD  AB  CD  BC  AD
B
C
D
A