Способы конструирования системы задач для итогового повторения и подготовки к ОГЭ

Способы конструирования системы
задач для итогового повторения
и подготовки к ОГЭ
Короткова Валентина Васильевна,
учитель математики высшей
квалификационной категории
МАОУ «Лицей» городского округа
город Урюпинск Волгоградской области
Умение мыслить математически – одна
из благороднейших способностей
человека.
Д. Б. Шоу
Решение задачи несколькими способами –
увлекательное занятие, требующее знания
многих разделов школьной математики. Этот
вид учебной деятельности формирует умение
учиться, что является одной из главных задач
ФГОС
Умение решать геометрические задачи
(слагаемые успеха)
Работа с текстом задачи
Чертеж
Метод
Владение определенным объемом
геометрических фактов и теорем
Наличие достаточно активно
используемого запаса опорных задач
Пример
• «Один из углов равнобедренного
треугольника равен 70 градусам.
Найдите остальные углы».
Исследование полученного
результата
Один из углов равнобедренного треугольника равен 70 градусам.
Найдите остальные углы.
Варианты ответов:
а) 70, 70, 40 градусов;
б) 70, 55, 55 градусов.
Почему получилось два варианта ответов?
Сколько решений имеет данная задача?
Сколько решений имеет задача «Один из углов равнобедренного
треугольника равен 100 градусам. Найдите остальные углы»?
ОРИЕНТИРЫ
• Установить равенство отрезков, можно,
доказав:
а) что они имеют одинаковую длину;
б) что они являются соответственными
сторонами равных фигур и т.д.
• Установить равенство углов, можно,
доказав:
а) что они имеют одинаковую угловую меру;
б) что они являются соответственными углами
равных или подобных фигур и т.д.
ОРИЕНТИРЫ
• Установить параллельность двух прямых,
можно, доказав:
а) что обе прямые перпендикулярны к третьей
прямой;
б) что каждая из них параллельна третьей
прямой и т.д.
• Установить взаимную перпендикулярность
двух прямых, можно, доказав:
а) что они образуют равные смежные углы;
б) что они содержат биссектрисы двух смежных
углов и т.д.
Специальные приемы решения
геометрических задач
• Mетод дополнительного построения
• Использование свойства медиан,
биссектрис и высот треугольника
• Применение тригонометрии (теорема
синусов и теорема косинусов)
• Использование свойств трапеции
определенного вида
Геометрические методы решения задач:
• метод длин;
• метод треугольников;
• метод параллельных прямых;
• метод соотношений между сторонами и углами
треугольника;
• метод четырехугольников;
• метод площадей;
• метод подобия треугольников;
• тригонометрический метод (метод, основанный на
соотношениях между сторонами и углами треугольника,
выраженными через тригонометрические функции);
• метод геометрических преобразований
Этапы решения математической
задачи
• Работа с текстом (чтение, выделение условия
и требования)
• Поиск путей решения
• Решение задачи
• Исследование полученного результата
Роль чертежа при решении
геометрической задачи
Одним из первых и важнейших этапов
решения геометрических задач является
построение чертежа. Нельзя научиться
решать достаточно содержательные
геометрические задачи, не выработав
привычки делать «большой и красивый»
чертеж, удовлетворяющий не только
формально математическим требованиям,
но и известным эстетическим критериям.
Этапы решения
геометрических задач.
№1. В треугольнике АВС АВ = ВС, а высота
АН делит сторону ВС на отрезки ВН = 45 и
СН = 30. Найдите cosB.
1. Чтение условия задачи.
2. Выполнение чертежа
с буквенными обозначениями.
Дано:
3. Краткая запись условия задачи.
4. Перенос данных на чертеж.
5. Анализ данных задачи.
Найти:
АВС, АВ = ВС,
АН – высота,
Н ВС, ВН = 45, СН = 30.
В
45
cosB.
Н
6. Составление цепочки действий.
30
7. Запись решения задачи.
8. Запись ответа.
Анализ данных задачи.
1. О чем идет речь в условии задачи?
2. Что нам известно о треугольнике?
3. Что надо найти в задаче?
4. Из какой фигуры можно найти косинус
острого угла?
А
5. Есть ли на рисунке прямоугольный треугольник?
6. Почему он прямоугольный?
7. Что называется косинусом острого угла
прямоугольного треугольника?
8. Известны ли нам эти элементы?
9. Можно ли найти гипотенузу?
Составление цепочки действий.
1. Рассмотрим АВН и докажем, что он прямоугольный.
2. Записать формулу для нахождения cosB.
3. Найдем сторону ВС, зная что по условию она равна стороне АВ.
4. Подставим все данные в формулу для нахождения cosB.
5. Запишем ответ.
С
Определение системы задач
Система задач — это совокупность
упорядоченных и подобранных в
соответствии с поставленной целью задач,
действующих как одно целое, взаимосвязь и
взаимодействие которых приводят к
намеченному результату.
Правила конструирования
системы задач
•
правило доступности (соответствие уровню
обученности, учет психологических особенностей
возрастных групп),
• правило однотипности (подбор или составление
однотипных задач в соответствии с закономерностью
появления неверных ассоциаций),
• правило разнообразия (включение задач,
разнообразных по форме, содержанию и способу
решения),
• правило противопоставления (включение задач на
сходные и взаимообратные понятия, задач, не
имеющих решения, контрпримеров)
Правила конструирования
системы задач
• правило учета целей (подбор задач в
соответствии с целью использования системы, с
целевым назначением каждой задачи в системе),
• правило полноты (соответствие системе знаний,
умений и навыков, изучение которых
предусмотрено),
• правило усложнения (расположение задач в
системе),
• правило структурности (взаимоподчиненность
подсистем),
• правило индивидуализации (учет
индивидуальных характеристик учащихся)
Приемы конструирования систем
задач
• прием взаимообратных и
противоположных задач,
• прием обобщения и
конкретизации,
• прием аналогии.
Методы конструирования систем
учебных задач
• метод ключевых задач,
• метод целевой задачи,
• метод варьирования задачи,
• метод «снежного кома»
• и другие
Этапы конструирования задачи
выбор математической задачи;
поиск, анализ и выбор способа (метода) решения задачи;
решение задачи;
анализ решения задачи (анализ творческого компонента
решения);
5. определение основы для конструирования задачи (обобщение
задачи, рассмотрение обратной задачи, выявление частных
случаев и др.);
6. конструирование новой задачи;
7. установление связей с другими задачами.
1.
2.
3.
4.
Метод ключевой задачи
Метод составления системы задач,
построенной по принципу – каждая
задача системы использует результат
решения одной какой-либо (ключевой)
задачи, будем называть методом
ключевой задачи.
Две точки зрения на понятие ключевой
задачи
1) Рассмотрение ключевой задачи как задачи –факт,
который используется при решении задач (формула или
какое-то утверждение). Зачастую такая ключевая задача
оказывается дополнительной теоремой школьного курса
геометрии.
Например: «В прямоугольном треугольнике
медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее
половине».
2) Рассмотрение ключевой задачи как задачи-метода,
где иллюстрируется какой-то прием решения задачи.
Система задач, составленная методом
ключевых задач
Тема: «Медиана, проведенная к гипотенузе»
Ключевая задача.
В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведенной к
гипотенузе, равна ее половине.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Достроим прямоугольный треугольник АВС
0
( С  90 ) до параллелограмма, продлив луч СМ и отложив от точки М
отрезок МD, равный СМ. Тогда АСВD – прямоугольник. Следовательно, АВ =
СD. СМ = 0,5СD = 0,5АВ.С
В
А
М
М
D
• Следствия:
• Центр описанной около прямоугольного
треугольника окружности лежит на середине
гипотенузы.
• Если в треугольнике длина медианы равна
половине длины стороны, к которой она
проведена, то этот треугольник – прямоугольный.
Задача 1
В равнобедренном треугольнике АВС основание АС равно 12. Точка М
– середина ВС ВК  АС и ВК=МК. Найдите площадь треугольника
АВС.
1
Р е ш е н и е. S ABC  AC  BK , AC  12 , следовательно, необходимо найти
2
длину высоты ВК.
По ключевой задаче КМ  ВМ  МС . Тогда треугольник ВМК
равносторонний и МВК  60 0 .
Из прямоугольного треугольника ВСК найдем ВК: ВК  КС  ctg 60 0  2 3 .
1
S ABC   12  2 3  12 3 .
2
Задача 2
В прямоугольном треугольнике АВС (С  90 0) СМ – медиана. В
треугольник ВМС вписана окружность, которая точкой касания делит
отрезок ВМ пополам. Найдите острые углы треугольника АВС.
А
Р е ш е н и е. По ключевой задаче
СМ  АМ  ВМ .
По условию задачи МК  ВК . МК  ML и
как
отрезки
касательных,
KB  PB
проведенных из одной точки к окружности.
Следовательно, МК  ML  CL  BK  PB .
СL  CP ,
AB  2BC .
Так
как
то
Следовательно, A  30 0 , B  60 0 .
О т в е т: 300; 600.
М
L
С
К
P
В
Задача 3
В трапеции АВСD АВ=2СD=2АD, АС=а, ВС=b. Найдите основания АВ и
СD.
С
D
a
А
b
В
К
Р е ш е н и е. АDCK – ромб, так как АD=DC=АK. Следовательно,
1
AD  CK  AB .
2
По следствию из ключевой задачи треугольник АСВ – прямоугольный.
1
2
2
АВ  a  b , CD 
a2  b2 .
2
О т в е т:
1
2
2
a b ;
a b .
2
2
2
Задача 4
В трапеции углы при одном из оснований равны 300 и 600, длина
отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите
длины оснований трапеции и ее площадь, если длина средней линии
равна 5.
Р е ш е н и е. Пусть BAD  60 0 , CDA  30 0 , тогда продолжения боковых
сторон пересекаются под прямым углом.
По ключевой задаче КМ  ВМ  МС и КN  AN  ND .
Пусть КМ  х , тогда КN  х  3 .
По свойству средней линии трапеции: 2 х  3  5 , х  1. Следовательно,
ВС  2 , AD  8 .
AD  BC
3 3
15 3
. S тр 
.
S тр 
 BH , S тр  5  BH , BH  3  sin BAD 
2
2
2
15 3
О т в е т: 2; 8;
.
2
Задачи для самостоятельного
решения
1.Медиана, проведенная к гипотенузе
прямоугольного треугольника, равна
3 см и делит прямой угол в отношении 2:1.
Найдите меньший катет
с
3
А
М
В
Задачи для самостоятельного
решения
2.Гипотенуза прямоугольного треугольника
в 4 раза больше проведенной к ней высоты.
Найдите острые углы треугольника
Метод целевой задачи предполагает
выделение достаточно сложной
задачи, решение которой
разбивается на ряд простых.
Разбиение целевой задачи на
элементарные осуществляется на
основе анализа, что приводит к
осознанию учащимися идеи решения
или доказательства.
Целевая задача
А BCD – параллелограмм, АВ=a, AD=b, угол А=2 α
Найдите S четырехугольника, образованного биссектрисами углов
параллелограмма.
B
α
1 α
2
P
M
b
L
3
E
F
a
А
N
a
K
Q
D
b-a
α 4
α
C
Для этого нужно найти и сравнить длины EF и EQ.
FE=FL-EL
FL=a cosα, EL=(2a-b) cosα
FL= cosα(a-2b+b)= cosα(b-a)
EQ=NQ-NE
EQ=a sinα-(2a-b)sinα= sinα(a-2a+b)= sinα(b-a)
Значит FEQP прямоугольник
S FEQP=(b-a)
sinα cosα
Вариативная задача
Cнятие условия в стандартной задаче
приводит к вариативной.
Основной характеристикой вариативной
задачи является неоднозначное
расположение объектов условия задачи,
что ведет к необходимости
рассмотрения нескольких ситуаций
.
Вариативная задача
Отличие вариативной задачи от стандартной можно представить
схематично.
Стандартная задача
Вариативная задача
условие
условие
решения
решения
ответ
ответ
ответ
ответ
Вариативные задачи
Стандартная задача
10
10
Найти S=?
12
Вариативная задача
Стороны равностороннего
треугольника равны 10см и 12 см.
Найти S=?
Вариативная задача
Длина окружности, описанной около равнобедренного
треугольника равна 20π. Найдите площадь треугольника
если основание равно 12.
Решение: r =10.
6
12
12
10
26
10
10
12
S=1/2*12*18=108
10
10
Противоречивая
задача
S=1/2*12*2=12
Основная задача
«Вершина D параллелограмма ABCD соединена с точкой L на стороне BC. Отрезок DL
пересекает диагональ AC в точке М. Площадь треугольника CLM равна 9, а площадь
треугольника CDM равна 15. Найдите площадь параллелограмма ABCD».
Р е ш е н и е. Площадь параллелограмма ABCD равна
удвоенной площади треугольника ACD. Площадь
треугольника ACD равна сумме площадей
треугольников AMD и CDM. Площадь
треугольника CDM равна 15. Следовательно, необходимо
найти площадь треугольника AMD.
Треугольники CML и AMD подобны, поэтому их площади относятся как
2
 LM 

 . Чтобы найти отношение сторон LM и DM, необходимо знать свойство
 DM 
площадей треугольников, имеющих общую высоту. Треугольники CLM и
CDM имеют общую высоту и их основания LM и DM лежат на одной прямой,
S CLM
LM
9 3
25

  . Тогда S AMD 
S CLM  25 .
следовательно,
S CDM DM 15 5
9
S ALD  15  25  40 . Тогда S ABCD  2S ACD  80 .
Задача 1
Задача 1. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площадь
треугольника BOC равна 9, а площадь треугольника AOD равна 16. Найдите
площадь трапеции ABCD.
Р е ш е н и е. Треугольники ВОС и AOD подобны, следовательно,
Тогда
BO 3
 .
OD 4
Треугольники BOC и COD имеют общую высоту и их основания BO и OD
лежат на одной прямой, следовательно,
S AOB  12 . Тогда S ABCD  9  16  12  12  49 .
S BOC BO 3

 , SCOD  12 . Аналогично,
SCOD OD 4
S BOC
9

.
S AOD 16
Задача 2
Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. BC:AD=3:5. Площадь
треугольника AOD равна 25. Найдите площадь треугольника AOB.
Р е ш е н и е.
3х
9
B
15
C
BO BC 3
1)

 .
OD AD 5
15
O
25
A
5х
D
S AOB 3 S AOB 3
2)
 , S AOB  15 .
 ,
S AOD 5 25 5
Задача 3
Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. AC:OC=8:3. Площадь
треугольника BOC равна 18. Чему равна площадь треугольника ABD?
Р е ш е н и е.
3х
18
B
30
C
1)
30
O
50
A
5х
D
BO OC BC 3


 ,
OD OA AD 5
18
9
 , S AOD  50 .
S AOD 25
S BOC 3 18
3
 ,
 , S AOB  30 .
2)
S AOB 5 S AOB 5
S BOC 9
 ,
S AOD 25
Задача 4
Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площадь треугольника
AOD равна 36, а площадь треугольника AOB равна 18. Найдите площадь
трапеции ABCD.
Р е ш е н и е.
х
9
B
18
C
S AOB BO 18 1 BO OC BC 1
1)


 .


 ,
S AOD OD 36 2 OD OA AD 2
18
O
36
A
2х
D
2) S BOC
1
 S AOD  9 , S COD  S AOB  18 ,
4
S ABCD  9  36  18  18  81 .
О т в е т: 81.
Метод «снежного кома» предполагает при
решении каждой задачи системы
использование результата решения
предыдущей задачи. Таким образом,
последовательность задач в системе
«снежного кома» строго фиксированная.
Есть две разновидности метода
• использование доказанного утверждения
• предполагает повторение операции
предыдущей задачи.
«Снежный ком» по использованию
доказательного утверждения
1.Докажите, что в
равнобедренном треугольнике
углы при основании равны
Докажите, что середины
сторон равнобокой трапеции
являются вершинами ромба
2.Докажите, что прямая,
проходящая через
вершину
равнобокой трапеции
параллельно ее боковой
стороне, отсекает
равнобедренный
треугольник
Докажите, что у
равнобедренной
трапеции диагонали
равны
Докажите, что у
равнобедренной
трапеции углы при
основании равны
«Снежный ком» по повторению
операции предыдущей задачи
1. Площадь треугольника равна 100, а две его стороны
равны 40 и 10 см. Найдите угол между этими
сторонами.
2. Две стороны остроугольного треугольника равны и 3,
а площадь этого треугольника равна 3. Найдите
третью сторону.
3. Площадь треугольника АВС равна 48. Найдите
сторону ВС, если сторона АС равна 8, длина медианы
AD равна 10.
Вариативная задача
6
2
1
S=16
2
6
3
Вариативная задача
2
2
2
1
2
6
S=8
3
4
2
2
1
3
6
S=10
3
6
2
2
1
S=14
5
3