Свойство замечательных точек треугольника

Свойство замечательных точек
треугольника
Прямая Эйлера
Михаил 8б
Кныш
Во всяком треугольнике точка пересечения медиан, точка
пересечения высот и точка пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам треугольника лежат на одной
прямой(эта прямая называется прямой Эйлера).
•
Если треуг. АВС равнобедренный,
причем АВ=ВС, то медиана BD
является также высотой
треугольника АС, а прямая BDсерединным перпендикуляром к
стороне АС. Ясно, что в этом
случае точка М пересечения
медиан, точка Н пересечения
высот и точка О пересечения
серединных перпендикуляров к
сторонам треугольника лежат на
одной прямой BD. Это и есть в
данном случае прямая Эйлера.
B
AB=BC
O
M
H
A
D
C
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Рассмотрим теперь неравнобедренный треуг.
АВС. Пусть треуг. АВС остроугольный.
Пусть Н точка пересечения высот АА` и BB`, точки
А1, В1 и С1-середины сторон ВС АС АВ точка Оточка пересечения серединных перпендикуляров
A1D , B1E к сторонам ВС АС треуг. АВС.
Заметим ,что треугольники АВС и А1В1С1
подобны, а коэффициент подобия равен 2:
АВ/А1В1=ВС/В1С1=АС/А1С1=2
Далее, высоты А1D и В1Е являются отрезками
серединных перпендикуляров к сторонам треуг.
АВС и поэтому эти высоты пересекаются в точке
О.
Высоты BB` и В1Е в подобных треуг. АВС и А1В1С1
являются сходственными. Точно так же
сходственными являются отрезки этих высот ВН и
В1О. Поэтому ВН/В1О=2
Проведем медиану ВB` треуг. АВС и отрезок НО.
Пусть М- точка и пресечения. Треуг. ВМН и В1МО
подобны по 2-ум углам. Коэффициент подобия
этих треуг. Равен 2, т.к ВН/В1О=2
Поэтому и ВМ/В1М=2 т.е. чотка М делит медиану
ВВ1 в отношении 2:1 считая от вершины В.
Следовательно, М является точкой пересечения
медиан трекг.
Ч.Т.Д.
B
B
C1
E A1
A`
O
O
M
H D
А
B` B1
H
C
A
B` B1
C
А
М
В
О
С
• В прямоугольном треугольнике
АВС с прямым углом В точка Н
пересечения высот совпадает с
вершиной В, точка О
пересечения серединных
перпендикуляров к сторонам
треуг. Совпадает с серединой
гипотенузы АС, и так как М
пересечения медиан лежит на
медиане ВО то все три точки Н,
М и О лежат на прямой ВО.
• Рассмотрим теперь неравнобедренный треуг. АВС. Пусть треуг.
АВС остроугольный.
• Пусть Н точка пересечения высот АА` и BB`, точки А1, В1 и С1середины сторон ВС АС АВ точка О- точка пересечения
серединных перпендикуляров A1D , B1E к сторонам ВС АС треуг.
АВС.
• Заметим ,что треугольники АВС и А1В1С1 подобны, а
коэффициент подобия равен 2:
• АВ/А1В1=ВС/В1С1=АС/А1С1=2
• Далее, высоты А1D и В1Е являются отрезками серединных
перпендикуляров к сторонам треуг. АВС и поэтому эти высоты
пересекаются в точке О.
• Высоты BB` и В1Е в подобных треуг. АВС и А1В1С1 являются
сходственными. Точно так же сходственными являются отрезки
этих высот ВН и В1О. Поэтому ВН/В1О=2
• Проведем медиану ВB` треуг. АВС и отрезок НО. Пусть М- точка и
пресечения. Треуг. ВМН и В1МО подобны по 2-ум углам.
Коэффициент подобия этих треуг. Равен 2, т.к ВН/В1О=2
• Поэтому и ВМ/В1М=2 т.е. чотка М делит медиану ВВ1 в
отношении 2:1 считая от вершины В. Следовательно, М является
точкой пересечения медиан трекг.
• Ч.Т.Д.
КОНЕЦ