Документ 4761879

Определение.
Две прямые на плоскости
называются
параллельными,
если они не пересекаются.
Признаки параллельности прямых
Если при пересечении двух прямых
секущей накрест лежащие углы равны,
то прямые параллельны.
c
а
1
2
b
c
Если при пересечении двух прямых
секущей соответственные углы равны,
то прямые параллельны.
Если при пересечении двух прямых секущей
сумма односторонних углов равна 1800, то
прямые параллельны.
1
а
2
b
c
а
1
2
b
Аксиома параллельности и следствия из неё.
c
А
Через точку, не лежащую на данной
b прямой, проходит только одна прямая,
параллельная данной.
а
с
а
b
Если прямая пересекает одну из
двух параллельных прямых, то она
пересекает и другую.
a II b, c b ⇒ c a
Следствие 1.
Если две прямые параллельны
третьей прямой, то они параллельны.
a II с, b II с ⇒ a II b
Следствие 2.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, то
накрест лежащие углы равны.
Дано: a II b, MN- секущая.
Р
1
N

2
M
а
Доказать: 1= 2 (НЛУ)
b
Доказательство:
способ от противного.
Допустим, что 1   2.
Отложим от луча МN угол NМР, равный углу 2.
По построению накрест лежащие углы NМР= 2 
РМ II b.
Получили, что через точку М проходит две прямые (а и МР),
параллельные прямой b !!! Это противоречит аксиоме
параллельных прямых. Значит наше допущение неверно!!!
1=2.
Теорема доказана.
Теорема об односторонних углах, образованных при пересечении двух
параллельных прямых секущей.
Если две параллельные прямые пересечены секущей, условие
то сумма односторонних углов равна 1800.
заключение теоремы
c
а
3
1
2
b
Дано: а II b, c- секущая.
Доказать: OУ 1+2=1800.
Доказательство:
 3+2 =1800, т. к. они смежные.
11=3, т. к. это НЛУ при а II b
 3 +2 =1800
Теорема доказана.
Если MN II AB, а угол 2 больше угла 1 на 300, то угол 2 равен…
Решение:
1= х,
2= х+30
Задача
В
 1= ВОС,
N
М
2
A
О
1
С
B
они вертикальные.
 2= х+30
 ВОА=х,
1800, т.к. ОУ при а II b
Составь уравнение…
Найди сам угол.
Теорема о соответственных углах, образованных при пересечении двух
параллельных прямых секущей.
Если две параллельные прямые пересечены секущей,
то соответственные углы равны. заключение теоремы
c
2
а
3
1
b
условие
Дано: а II b, c- секущая.
Доказать: СУ  1 =  2.
Доказательство:
 2 = 3, т. к. они вертикальные.
 3 =  1, т. к. это НЛУ при а II b
 22
 11 =  3 =

Теорема доказана.
Свойства углов при параллельных прямых. Дано:
aIIb
 1=
a
340
aIIb
aIIb.
1340
 2=
b
2 1
a
 1=
b  2=
2 1
Сумма углов 1 и 2 равна 760.
a
aIIb
2
b
1
3
 1=
 3=
1:  2 = 4 : 5.
aIIb
a
2
1
a
440
2
440
Проверить.
1
0
b
 1=
 2=
b 1=
 2=
Дано: а II b, c – секущая.
Один из односторонних углов на
20% меньше другого.
Задача
c
7 6
8
3
2
b
1
4 5
1=
а
 5=
2=
 6=
3=
 7=
 4=
8=
Найти: все углы.
Решение:
2=х,
1 на 20% меньше, т.е. 80%
1=0,8х
 2=х
1=0,8х
1800, т.к. ОУ при
а II b
Составь уравнение…
Найди сам все углы…
Проверить.
Тренировочные упражнения
Дано: а II b, с – секущая
1 = 4 2
Найдите:
1
и
2
c
а
Угол 1 в 4 раза больше
угла 2
1
4х
2х
b
Тренировочные упражнения
Угол 1 на 300 больше
угла 2
Дано: а II b, с – секущая
1 – 2 = 300
Найдите:
1
и
2
c
а
1
х+30
2х
b
Тренировочные упражнения
Дано: а II b, с – секущая
 2 = 0,8  1
Найдите:
1
и
2
c
а
1х
0,8х
2
Угол 2 составляет 0,8 части
угла 1
b
Тренировочные упражнения
Пусть х – 1 часть
Дано: а II b, с – секущая
1 : 2 = 5 : 4
Найдите:
1
и
2
c
а
5х
1
5:4
4х
2
b
Тренировочные упражнения
Дано: а II b, с – секущая
 2 составляет 80% от 1
Найдите:
1
и
2
c
%
а
х
1
0,8х
2
b
AB = BC,  A=600,
CD – биссектриса угла ВСЕ.
Докажите, что АВ II CD.
Дано: а II b, с – секущая
1 : 2 = 5 : 4
Найдите:
1
и
2
c
Пусть х – 1 часть
B
D
а
5х
1
600
1200
600
A
С
600
5:4
E
4х
2
b
Используя данные рисунка, найдите углы 1, 2 и 3.
с
d
а
1200
1
2
200
1600 b
3
Может ли еще один из семи остальных углов, образованных
при пересечении прямых a и
1100? 600? Почему?
b с прямой d, быть равен
d
m
1100
400
1100
400
а
b
На рисунке АС II ВD и
Найдите СВD.
A
АС = АВ,
 МАС = 400.
M
С
400
2
3
B
1
D
На рисунке АВ II ЕD.
Докажите, что  ВСD =  B +  D
B
Подсказка
A
1
N
2
3
C
Построим CN II AB
4
D
E
На рисунке АВ II ЕD. CВА = 1400,  СDE = 1300
Докажите, что ВС СD
Подсказка
B
A
140
400
N
C
Построим CN II AB
130
50 0
D
E
a II b, c – секущая, DM и DN – биссектрисы
смежных углов, образованных прямыми a и c. DE = 5,8 см
На рисунке
Найдите MN.
с
а
400 D
2
3 6
5
1
M
4
E
?
b
N
На рисунке АВ ED и KM  ED, ABE = 340
MN – биссектриса  КМС
Найдите EMN.
D
K
N
A
0
146
0
73
E
?
340
B
730 C
M
На рисунке АС II BD и KC II MD, ACK = 480
CDK в 3 раза больше EDM
Найдите КDE.
A
B
K
C
480
480
M
3x
D
x
E