• Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются

• Для оценки статистической значимости
коэффициентов регрессии и корреляции
рассчитываются
t-критерий Стьюдента
каждого из показателей и
доверительные интервалы.
a
ta 
ma
m a  S ост

x2
n x
b
tb 
mb
r
tr 
mr
S ост
1 r2
mr 
n2
mb 
x n
то есть
r
r
tr 

n2
mr
1 r2
и
r2
F
 n  2
2
1 r
то для парной линейной регрессии t r2  F
кроме того tb 
F
следовательно t  t
2
r
2
b
• Если tтабл < tфакт то гипотеза H0 - о незначимости
параметра отклоняется, т.е. соответствующие
параметры не случайно отличаются от нуля и
сформировались под влиянием систематически
действующего фактора х.
• Если tтабл > tфакт то гипотеза Н0 не отклоняется и
признается случайная природа формирования
соответствующих параметров уравнения
регрессии .
• Критические значения t-критерия Стьюдента
при уровне значимости 0,10; 0,05;
d.f.
a
0,10
0,05
0,01
1
6,3138 12,706
63,657
2
2.9200 4,3027
9,9248
3
2,3534 3,1825
5,8409
4
2,1318 2,7764
4,6041
5
2,0150 2,5706
4,0321
6
1,9432 2,4469
3,7074
7
1,8946 2,3646
3,4995
• доверительный интервал
• для расчета доверительного интервала
определяем предельную ошибку 
 b  t таблmb
 a  t таблma
• для коэффициентов регрессии границы
доверительного интервала составят:
(a   a , a   a )
(b  b , b  b )
Если в границы доверительного интервала
попадает 0, то оцениваемый параметр
принимается нулевым, так как он не может
одновременно принимать и положительное, и
отрицательное значения.
• Средняя ошибка аппроксимации среднее отклонение расчетных значений от
фактических:
y  yˆ х
1
A 
100
n
y
• Допустимый предел значений - не более
10%.
• Пример. Предположим
по группе предприятий,
выпускающих один и тот
же вид продукции,
рассматривается
зависимость затрат на
производство(у) от
выпуска продукции(х)
Выпуск
продукции,
тыс. ед. (х)
Затраты на
производство,
млн руб. (у)
1
30
2
70
4
150
3
100
5
170
3
100
4
150
уравнение регрессии:

y x  5,79  36,84 x
r2 = 0,982 , r = 0,991
0,982
F
 (7  2)  273
1  0,982
ta  0,78
tb  16,67
t r  16,73
• Доверительные интервалы
• -22,39 ≤ a ≤10,801
• 31,16 ≤ b ≤ 42,52.
• Средняя ошибка аппроксимации А = 4,599 .
• коэффициент эластичности Э
показывает, на сколько процентов в
среднем по совокупности изменится
результат у от своей средней величины при
изменении фактора x на 1% от своего
среднего значения:
x
Э  f ( x)
y
пример
b
• 1) y  a 
x
b
у   2
x
b
Э
ax b
• 2)
y  ax
b
y  ?
Э ?
• Прогнозное значение y p
определяется путем подстановки в
уравнение регрессии yˆ x  a  b  x
соответствующего (прогнозного)
значения x p .
пример
• Выполнить, по уравнению регрессии
y=280+5,6x, прогноз заработной платы y
при прогнозном значении
среднедушевого прожиточного
минимума x, составляющем 127% от
среднего уровня (x=6700).
средняя стандартная ошибка
прогноза :
1  xp  x 
myˆ p  S  1  
n   x  x 2
2
• доверительный интервал прогноза
 yˆ p  yˆ p   yˆ p
 y p  t табл  m y p
Нелинейная регрессия.
Корреляция для нелинейной регрессии.
• Нелинейная регрессия определяется,
как в линейной регрессии, методом
наименьших квадратов (МНК).
в параболе второй степени ,
y  a0  a1  x  a 2  x
2
заменяя переменные ,
x  x1 x  x2
2
получим двухфакторное уравнение
линейной регрессии:
y  a 0  a1  x1  a 2  x 2
• для полинома k-го порядка
y  a0  a1  x  a 2  x  ... a k  x
2
k
y  a 0  a1  x1  a 2  x 2  ....  a k  x k
• В уравнении равносторонней гиперболы –
b
y  a 
x
делаем замену z=1/x,
получаем линейное уравнение
y=a+bz
Для степенной модели
y  a x
b
линеаризация производится путём
логарифмирования обеих частей уравнения
lg y  lg a  b lg x
с помощью замены
Y  lg y, X  lg x,
А  lg a
получаем линейное уравнение
Y  А  bX
Для показательной модели
y  a b
x
линеаризация производится также с
помощью логарифмирования обеих частей
уравнения lg y  lg a  x lg b
с помощью замены
Y  lg y, B  lg b,
получаем линейное уравнение
Y  А B x
А  lg a
• проверка существенности в целом
уравнения нелинейной регрессии
осуществляется с помощью F-критерия
Фишера
• оценка статистической значимости
коэффициентов регрессии и корреляции
осуществляется с помощью t-критерия
Стьюдента и доверительных
интервалов