7–_____ Письма высылать по адресу: 603950, ГСП-20,... конверта

Ваш регистрационный номер 7–_____ (указывайте его в левом верхнем углу
конверта).
Письма высылать по адресу: 603950, ГСП-20, Н. Новгород, пр. Гагарина, 23, корп. 6,
комн. 504, ННГУ, мехмат, ЗМШ. Вместе с решенным заданием не забудьте выслать
конверт с заполненным на Ваше имя адресом. Сроки выполнения заданий: Задание 1декабрь; Задание 2 - январь; Задание 3 - февраль; Задание 4 – март; Задание 5 – апрель.
Телефоны для справок:465-80-25; 465-76-01 (с 1100 до 1500 ).
Задания и решения смотрите на сайте: http//mmf.unn.ru (Математическая школа)
ЗАДАНИЯ ДЛЯ 7-го КЛАССА
(2013-2014 учебный год)
Задание 1
1
своего объема. На какую часть своего
9
объема уменьшается лед при превращении в воду?
2) К числу 15 приписать слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число
делилось на 15. Сколько получится таких чисел? Записать их.
3) Один поезд проходит расстояние между двумя станциями за 12 часов, а другой – за
18 часов (остановки в расчет не принимаются). Через сколько часов поезда встретятся,
если они выйдут одновременно навстречу друг другу?
4) В двух кусках 24 м ситца. Сколько ситца в первом куске, если 15 % первого равны
75 % второго.
5) Имеются девять пластин и двухчашечные весы. Одна из пластин легче других, но по
виду они одинаковы. Как с помощью двух взвешиваний найти более легкую пластину?
1) Вода при замерзании увеличивается на
Задание 2
1) Найти два числа, разность и частное которых были бы равны 5.
2) Найти наименьшее число, которое при делении на 2 дает в остатке 1, при делении на
3 дает в остатке 2, при делении на 4 дает в остатке 3, при делении на 5 дает в остатке 4
и при делении на 6 дает в остатке 5.
3) Поезд проходит от станции А до станции В за 10 часов. Если бы скорость поезда
была на 10 км/ч больше, он прошел бы этот путь за 8 часов. Найти скорость поезда и
расстояние между станциями А и В.
4) Имеется 36 л раствора 3 %-ой азотной кислоты. Сколько литров раствора 6 %-ой
азотной кислоты надо влить в сосуд, чтобы после добавления воды получить 54 л
раствора 5 %-ой азотной кислоты?
5) Один из смежных углов втрое больше разности между ними. Определить градусные
меры этих углов.
Задание 3
1) Целые числа x и y такие, что 3x  7 y делится на 19. Доказать, что 43x  75 y тоже
делится на 19.
2) Даны два трехчлена вида ax 2  bx  c . Сумма их равна  2x  6 , а их разность равна
4x 2 . Запишите эти трехчлены.
3) Решить уравнение a 2 x  ax  2  2 .
4) Участники математического кружка сели по два человека за каждую парту, и 9 парт
остались свободными. Если же они сядут по одному за каждую парту, то одному
человеку не хватит парты. Сколько было участников кружка?
5) Если биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит пополам
боковую сторону, то доказать, что этот треугольник – равносторонний.
Задание 4
1) Доказать, что a 5  a делится на 5 при любом a.
xa  x 
10 x
 x  a  10 
2) Дано уравнение
,
где a - действительное число.
xa
xa
Определить число решений уравнения в зависимости от значений параметра a.
3) Имеется металлический лом двух сплавов с содержание никеля 5 % и 40 %. Сколько
нужно взять каждого из этих сплавов, чтобы получить 840 г сплава с содержанием
никеля 30 %.
4) Найти значения a и b, при которых для любых значений x верно равенство:
3x
6x  1
ax  b

 2
.
x  2 2 x  1 2 x  3x  2
5) Доказать, что две высоты треугольника, пересекаясь, не делятся пополам.
Задание 5
1) Четырехзначное число, сумма цифр которого равна 24, не изменяется, если записать
его цифры в обратном порядке. Число, образуемое его двумя цифрами, стоящими
справа, на 36 больше числа, образуемого двумя цифрами, стоящими слева. Найти это
четырехзначное число.
a 3n1  a 3n 1
2) Сократить дробь
.
3
a n 1  a n
a 1
 1.
3) Решить уравнение
2ax  3
4) Моторная лодка, обладающая скоростью движения 20 км/ч, прошла расстояние
между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние
между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.
5) Отношение двух внутренних углов треугольника 2 : 3, а внешних углов при тех же
вершинах – 11 : 9. Найти величину третьего внешнего угла.

