Линейные неравенства с параметрами

Линейные неравенства с
параметрами
Обучающая интерактивная презентация
7 класс
1. Линейная функция. Понятие параметра
y
Рассмотрим линейную
функцию y=kx+b, где
k – произвольное число
(параметр),
принимающее
различные значения,
b – фиксированное
число.
0
x
Линейная функция. Понятие параметра
y
Рассмотрим линейную
функцию y=kx+b, где
b – произвольное число
(параметр),
принимающее
различные значения,
k – фиксированное
число.
0
x
2. Решение простейших линейных
неравенств с параметром
Линейные неравенства в зависимости от значений параметра а могут иметь:
1) бесконечное множество решений , 2) не иметь решений
Пример1.
y
Решить линейное неравенство
ax>1, где a -параметр.
Для нахождения решения
применим графический
подход. Построим графики
функций y=1 и y=ax.
Определим те значения
угловых коэффициентов а,
при которых ax>1.
1
y=0, a=0
x=1/a
0
y=ax, a>0
y=1
 1

x=1/a

y=ax, a<0
 a
1

Ответ: .x    ; , a  0
a

 , a  0


x   ; , a  0
Решение простейших линейных
неравенств с параметром
Пример2. Решить линейное
Пример3. Решить линейное
неравенство
неравенство 2x+a≥ax+1.
x+a<ax+1,
где a –параметр.
Преобразуем неравенство:
x-ax<1-a ; x(1-a)<1-a ;
 (;1), если 1  a  0

x  (1;), если 1  a  0

, если a  1.

 (;1), если a  (;1)
Ответ: x  
(1;), если a  (1;)

, если a  1.

Преобразуем неравенство:
2x-ax ≥ 1-a ; x(2-a) ≥ 1-a ;
 1  a

;

, если 2  a  0
 2  a



1 a 

x    ;
, если 2  a  0
2

a


R, если a  2.


  1  a

;

, если a  (;2)
 2  a



1 a 

Ответ: x    ;
, если a  (2;)
2

a


R, если a  2.



Решение простейших линейных
неравенств с параметром
Пример 4. Решить неравенство
y
-x+a≤2-x,
в зависимости от значений
параметра a.
2
Решение. Для нахождения
решения применим
графический метод. Построим
графики функций y=2-x и
y=-x+a.
При a≤2 прямая y=2-x располагается не ниже прямой
y=-x+a, то есть неравенство имеет бесконечное
множество решений;
При a>2 прямая y=2-x располагается ниже прямой
y=-x+a, то есть неравенство не имеет решений;
.
0
2
x
 R, a  ( ;2],
x

Ответ:

, a  ( 2;).
3. Решение линейных неравенств с параметром.
Определение свойств решений
Пример 5. Найти все значения параметра a, при которых неравенство ax+2<a
имеет своим решением промежуток (3; +∞).
Решение. Преобразуем неравенство: ax < a-2.
Разделим левую и правую части неравенства на a.
В зависимости от знака a возможны 3 различные ситуации.
1. a>0
x
2. a<0
a2
a2

 x    ;

a
a


(a-2)/2
требование задачи
не выполняется
x
x
3. a=0
a2
a2 
 x 
; 
a
 a

(a-2)/2
Неравенство имеет вид:
x
требование задачи выполнится
если ( a-2)/2=3, то есть a=8
0  2  
Ответ: a=8.
Решение линейных неравенств с параметром.
Определение свойств решений
Пример 5. Найти все значения параметра a, при которых неравенство 2x-1>a
является следствием неравенства x+3≥a.
Определение. Неравенство A является следствием неравенства B, если
множество решений В содержится во множестве решений неравенства А.
Решение.
Решим неравенства: 1) 2x-1 > a
x > (a+1)/2
(a+1)/2
Для того, чтобы неравенство 1) было
следствием неравенства 2), потребуем,
чтобы промежуток [a-3; +∞)
содержался в промежутке ((a+1)/2;+∞).
x
2) x+3 ≥ a
x ≥ a-3
a-3
x
(a+1)/2
Потребуем: a  3 
a-3
a 1
 a  7.
2
x
Ответ: a>7.