Итоги секции математики 11 классы 5- (заочный этап XV турнира

Итоги секции математики
5-11 классы
(заочный этап XV турнира
им. М.В. Ломоносова)
Структура заданий
и их оценивание
Часть 1
Часть 2
Количество
заданий
Форма ответа
Оценивание
5
4 кода (1, 2, 3 и 4)
только один верный
Верный ответ – 1 балл;
неверный – 0 баллов
10
Свободный ответ
Целое число или
конечная десятичная дробь
без единиц измерения (!)
Верный ответ – 2 балла;
неверный – 0 баллов
Идеи решения некоторых задач
5 класс
А4. Старый будильник Васи отстаёт на 8 мин
каждые 24 часа. На сколько минут Васе
надо поставить его вперед в 17.00, чтобы
он зазвонил вовремя в 8.00 следующего
утра?
1) 4 мин
2) 5 мин
3) 8 мин
4) 12 мин
Решение. Задача на пропорцию.
Понимание взаимосвязи величин и
характера их изменения по отношению
друг к другу.
За 24 часа отставание 8 минут, тогда
за 3 часа отставание – 1 минута.
С 17:00 до 8:00 следующего утра
пройдет 15 часов, т.е. 5 раз по 3 часа.
Значит, отставание составит 5 минут.
В10. Определите произведение
первой и последней цифр в
наименьшем
натуральном
числе, сумма цифр которого
равна 2013.
Решение. «Конструктивная» задача.
Чтобы число было наименьшим, надо чтобы
количество разрядов (количество цифр) было
как можно меньше.
2013 : 9 = 223 (ост.6)
Значит, число будет иметь 224 разряда,
первая цифра 6 (условие наименьшего
числа), а остальные 223 цифры – 9.
Произведение первой и последней цифр
будет равно 54.
Ответ. 54.
6 класс
А5. В стране Запутляндии было три города: город А,
город В и город С. Жители Города А говорят только
правду, жители города В – только ложь, а жители
города С – попеременно правду и ложь (то есть, из
двух высказанных ими утверждений одно истинно, а
другое ложно). В пожарную часть сообщили по
телефону:
«У нас пожар, скорее приезжайте!»
«Где?» - спросил дежурный по части.
«В городе С», - ответили ему.
В какой город должна приехать пожарная машина?
Известно, что пожар произошел только в одном
городе, а сообщить об этом могут жители любого
города.
1) А
2) В
3) С
4) однозначно сказать нельзя
Решение. Задача на перебор.
Как организовать перебор?
Что положить в его основу?
1) Пусть звонят из города А. Так как
жители А говорят правду, то первая
фраза (У нас пожар) противоречит
второй фразе (Пожар в городе С).
2) Пусть звонят из города В. Так как они
всегда врут, то тогда пожар не у них, и
не в городе С. Тогда пожар в городе А.
Противоречий нет.
Получен ли ответ в задаче?
3) Пусть звонят из города С. Одна фраза
– правда, а другая ложь. Нужен еще
один перебор.
Если первая фраза верна (У нас
пожар), тогда вторая фраза тоже
верна (пожар действительно в С).
Если первая фраза – ложь, значит,
пожар не в С. Тогда вторая фраза
тоже ложь. Противоречие.
Ответ. Пожар в городе А.
В10.
Любитель математики Вася
утверждает, что он может записать
наименьшее
натуральное
число,
которое заканчивается на 13, делится
на 13 и имеет сумму цифр, равную 13.
Попробуйте и вы найти это число.
Снова «конструктивная»
задача, и снова наименьшее
число с заданными условиями.
С чего следует начать?
Решение. Так как число заканчивается
на 13 и делится на 13, то число полных
сотен должно делиться на 13.
Все число имеет сумму цифр 13,
значит, количество сотен выражается
числом, которое имеет сумму цифр 9
(13 – 1 – 3 = 9).
Тогда число полных сотен делится на 9
и на 13. Наименьшее такое число
13  9 = 117.
Ответ. 11713.
7 класс
В8. В некоторой школе
пять седьмых классов.
В 7 «А» классе 20%
отличников,
а
в
остальных
четырех
классах вместе 10%
отличников.
Какой
процент отличников во
всей
параллели
седьмых классов, если
в 7 «А» классе учатся
25% семиклассников из
этой школы?
Задача на проценты
Чтобы решать задачи на проценты,
следует ответить на самый важный
вопрос.
Какой?
Важный вопрос в задачах на
проценты
Какая величина является
целым?
От чего следует считать
указанные проценты?
Решение. Пусть
х чел. – все
семиклассники школы. Тогда
0,25х чел. учатся в 7 «А» классе;
0,75х чел. – в остальных 7-х классах.
Далее считаем отличников:
0,25х  0,2 + 0,75х  0,1 =
= 0,05х + 0,075х = 0,125х.
Ответ. 12,5%.
В9. Кошке Марусе нужно было покормить
и помыть 15 котят. Маруся покормила
8 котят и помыла 9 котят. После этого
выяснилось, что ровно 5 котят
покормлены, но не помыты. Сколько
котят не покормлены и не помыты?
Решение. Удобно использовать для
решения круги Эйлера.
К(8)
М(9)
5
К(8)
К(8)
5
3
5
3
6
М(9)
М(9)
Покормлено и помыто 14 котят, значит, только
один котенок не покормлен и не помыт.
8 класс
В6. Вова и Саша катаются на коньках по
кругу на катке. Время от времени Вова
обгоняет Сашу. Когда Саша стал
двигаться по кругу в противоположном
направлении, они стали встречаться в
пять раз чаще. Во сколько раз Вова
бегает на коньках быстрее Саши?
Как решать задачу,
в которой почти нет
ни числовых, ни буквенных
данных?
Решение. Пусть х м/с – скорость Вовы;
y м/с – скорость Саши (х > y).
Тогда скорость сближения при движении
в одном направлении – (х – y);
навстречу друг другу – (х + y).
Так как встречаются в 5 раз чаще, значит,
скорость сближения в 5 раз больше, т.е.
х + y = 5(х – y). Тогда 6y = 4х,
т.е. y = 1,5х.
Ответ. 1,5.
В9. Сколько существует
пятизначных
чисел,
не делящихся на 10000,
у
которых
первая
и
последняя цифры четны?
Решение. Задача на перебор.
Для первой цифры всего 4 возможности
(2, 4, 6 или 8), а последняя цифра
может
быть
нулем,
значит,
5
возможностей. Три центральные цифры
могут образовывать число от 000 до
999,
т.е.
1000
вариантов.
Но
необходимо учесть, что 4 нуля не могут
быть последними. Тогда количество
чисел считаем так:
4  1000  5 – 4 = 20000 – 4 = 19996.
9 класс
В2.
В четырёхугольнике ABCD,
изображенном на рисунке, углы при
вершинах В и D – прямые, АВ = ВС, а
перпендикуляр ВН, проведенный к AD,
равен
4.
Найдите
площадь
четырёхугольника.
Решение. Используем
B
K
дополнительное
C
M
построение:
НВКD – прямоугольник,
СМ – перпендикуляр к ВН.
D
A
H
Треугольники АВН и ВСМ равны по
гипотенузе
и
острому
углу.
Тогда
треугольники АВН и ВКС тоже равны.
Значит, площадь четырёхугольника ABCD
равна площади четырёхугольника BКDС. Так
как ВН = ВК = 4, то прямоугольник BКDС –
квадрат площадью 16.
В6.
На сторонах АВ, ВС и
АС
треугольника АВС отмечены точки К, Н и Т
соответственно так, что АН - высота,
СК - биссектриса, точка Т - середина
стороны АС. Пусть М - точка пересечения
АН и СК, Р - точка пересечения ТН и СК.
Найдите PABC (периметр треугольника
АВС), если КМ = 2, МР = 1, РС = 3. В ответ
запишите PABC .
3
В
Решение.
Р – середина КС,
Значит, ТР – средняя
линия треугольника
АКС, т.е. ТН ǁ АВ.
ТН – средняя линия ΔАВС.
Тогда АН – высота и медиана
Значит, АВ = АС.
K
H
2
1
M
A
T
P
3
C
ΔАВС.
АН – высота, медиана, а
значит, и биссектриса.
Тогда М – точка пересечения биссектрис.
BC CM 4
ΔКВС:

 2
A
BK
KM
B
K
H
2
M
1
P
3
T
2
ВК = ВН и треугольники КВМ и ВНМ
равны (по двум сторонам и углу между
ними). Значит, МК  ВК, тогда СК –
биссектриса и высота, т.е. ВС = АС.
C
Таким образом, доказано, что
треугольник
АВС
является
равносторонним. Его высота равна
6, тогда сторона равна 4 3 , а
периметр 12 3 .
Ответ. 12.
В9. Каркас куба с ребром длины 2
разделен точками на единичные
отрезки (смотри рисунок). Сколько
различных прямых можно провести
через эти точки?
Задача на перебор.
Как организовать
перебор?
Один из вариантов перебора:
Всего 20 точек (8 вершин и 12 на
серединах
ребер).
Количество
возможных пар точек: 20  19 :2 = 190.
Но на каждом ребре лежит 3 точки
(например, точки А, В и С). Тогда при
подсчете пар с их помощью можно
создать 3 пары: АВ, АС и ВС. Значит,
прямые – ребра учтены в нашем
подсчете трижды.
190 – 2  12 = 166.
Ответ. 166.
10 класс
А5. Найдите сумму всех
различных действительных
корней уравнения
4
4
 x  2   x  82 .
1) -2
2) 3
3) -1
4) 4
Какие будут предложения
по решению этой задачи?
Решение.
y
82
Преобразуем
уравнение
x  2
4
 82  x 4
и используем
графический способ.
Из графиков видно, что
имеется 2 различных корня, которые
легко находятся подбором: -3 и 1.
Их сумма равна -2.
16
x1
-2
x2
x
В3. Выберите верные утверждения из
перечисленных:
1) Парабола не может быть сечением конуса.
2) Существует четырехугольник, у которого два
противоположных угла прямые, а два
другие прямыми не являются.
3) Если дискриминант отрицателен, то
квадратное неравенство не имеет решений.
4) В равнобедренную трапецию всегда можно
вписать окружность.
5) Существует геометрическая прогрессия с
ненулевыми членами, у которой сумма
первых пятидесяти членов равна нулю.
Задача – «рассуждалка»
Блиц-опрос:
Какие утверждения верные?
Решение.
1) Окружность, эллипс, парабола и
гипербола могут быть сечениями
конуса.
2)
3)
B
A
A
4)
O
A
C
D
5) 1; -1; 1; -1; …; 1; -1
В10.
Биссектриса угла А
треугольника АВС делит медиану,
проведенную из вершины В, в
отношении 5 : 4, считая от
вершины В. В каком отношении,
считая от вершины С, эта
биссектриса
делит
медиану,
проведенную из вершины С?
Выразите это отношение в виде
числа.
B
5x
Решение.
К
O
5x
ΔАВМ
P
свойство
8x
8x
A
M
биссектрисы АО:
АВ = 10х, АМ = 8х.
Тогда АК = 5х, АС = 16х.
ΔАКС свойство биссектрисы АР:
СР : РК = АС : АК = 16 : 5 = 3,2.
Ответ. 3,2.
C
11 класс
В2. Укажите количество
корней уравнения
25  x  9  x  9 x  8 .
2
2
4
Решение. Полезно дать оценки левой и
правой частей данного уравнения.
25  x  9  x  5  3  8
2
2
9x  8  8
4
Таким образом, равенство возможно,
когда обе части равны 8, х = 0,
т.е. один корень.
Ответ. 1.
В6. Существует два значения
параметра a ( a1 и a2 , a1  a 2 ), при
которых система уравнений
 x  y  a

 x  y  3
2
2
имеет ровно четыре решения.
a1
Укажите значение a .
2
Как решать систему?
Решение. Первое уравнение – это
уравнение окружности с центром в
начале координат и радиусом a .
Второе уравнение
задает в системе
координат
квадрат.
y
3
-3
0
x
-3
Чтобы система
имела
ровно
4
решения, надо чтобы окружность была
вписанной или описанной для квадрата
со стороной 3 2 .
y
y
3
-3
Тогда
r1  3 a1  9
Значит, a1 : a2  9
0
,
3
x
-3
-3
0
x
-3
3 2 
9
r2 
 a2  
2 
2
Ответ. 2