Лекция 1. Основные сведения из теории вероятностей

Математические основы измерений
Лектор: ст. преподаватель каф. ИИТ
Вавилова Галина Васильевна
Содержание
Введение
1. Краткая историческая справка
2. Необходимые сведения из теории вероятности
3. Комбинаторика
4. Теорема сложения вероятностей
5. Теорема умножения вероятностей
6. Формула Бернулли
7. Локальная теорема Лапласа
8. Вероятность отклонения относительной частоты
от постоянной вероятности
9. Наивероятнейшее число появлений события
2
Введение
Измерение
Результат
Погрешность
3
НАУКА
ПРЕДСКАЗАНИЕ
4
1. Краткая историческая справка
Теория вероятностей — молодая ветвь математики
Арифметика
...
Алгебра
Математика
Логика
…
Теория
вероятностей
…
Тригонометрия
5
Периоды развития теории
вероятности
1.
Предыстория. До XVI века
(включительно)
6
Периоды развития теории
вероятности
2.
Возникновение теории вероятностей
как науки. Второй половина XVII века
Блез Паскаль,
19 .06.1623 – 19 .08.1662
Пьер де Ферма́
17. 08. 1601 – 12. 01.1665
7
Периоды развития теории
вероятности
Христиан Гюйгенс
14 .04.1629 – 08.07. 1695
8
Периоды развития теории
вероятности
3.
Систематизация изложением теории
вероятностей. XVIII век
Я́ коб Берну́лли
27.12.1654 — 16.08.1705
«Искусство предположений»
1713 г.
9
Периоды развития теории
вероятности
10
Периоды развития теории
вероятности
4. Развитие теории вероятности. Начало
XIX века
Пьер-Симо́н,
маркиз де Лапла́с
23.03.1749 — 05.03.1827
Иога́нн Карл Фри́дрих
Га́усс
30.04.1777 — 23.02.1855
Симео́н Дени́ Пуассо́н
21.06.1781— 25.04.1840
11
Периоды развития теории
вероятности
Понятие «Вероятность» для
непрерывной случайной величины
12
Периоды развития теории
вероятности
5. Петербургская математическая школа.
XIX в.
Андре́й Андре́евич
Ма́рков
14.06.1856 – 20.07.1922
Пафну́тий Льво́вич
Чебышев
16.05.1821 – 8.12.1894.
Алекса́ндр Миха́йлович
Ляпуно́в
6.06.1857 – 3.11.1918
13
Периоды развития теории
вероятности
6. Современный период
теории вероятности.
развития
14
2.Необходимые сведения из
теории вероятности
Теория вероятностей – математическая наука, которая позволяет
по вероятности одних случайных событий находить вероятности
других случайных событий, связанных каким-либо образом между
собой.
15
Элементарные события и
вероятность
Исход опыта - результат любого проводимого опыта (эксперимента).
Событие - исход или
определённым требованиям.
группа
исходов,
удовлетворяющих
16
События
Достоверное событие – это такое событие, которое всегда
происходит в рассматриваемом эксперименте.
Невозможное событие – это такое событие, которое никогда не
может наступить в рассматриваемом эксперименте.
Случайное событие - событие, которое при воспроизведении опыта
может наступить, а может и не наступить.
17
Вероятность события
Вероятность события - численная мера степени объективной
возможности этого события.
0 ≤ P(A) ≤ 1
Полная группа событий – это несколько возможных событий, одно
из которых о б я з а т е л ь н о должно произойти в результате опыта.
18
События
Несовместные события – это события, которые не могут
появиться вместе.
Равновероятные события – события, вероятности которых равны
между собой.
19
Классическая формула для
вероятности события
Вероятность события А - отношение благоприятного числа
исходов опыта к общему числу всех равновозможных
несовместных элементарных исходов
P( A) 
m
n
где m – благоприятное число исходов опыта, n – общее число
исходов опыта.
20
Свойства вероятности
Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
P( A) 
m n
 1
n n
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю
P( A) 
m 0
 0
n n
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное
число, заключенное между нулем и единицей
21
Статистическая вероятность
Относительная частота
события А (статистическая
вероятность) серии одинаковых опытов - отношение числа
опытов, в которых появилось событие А, к общему числу
фактически произведённых опытов.
W ( A) 
m
n
где m – число появлений события А, n – число опытов в серии.
22
3.Комбинаторика
Комбинаторика изучает количество комбинаций, которое можно
составить из элементов, заданного конечного множества, в
определенных условиях.
23
Перестановка
Перестановка - это комбинация, состоящие из одних и тех же n
различных элементов и отличающиеся только порядком их
расположения.
где n! 1 2  3  ...  n .
Pn  n!
24
Размещение
Размещение - это комбинация, составленные из n различных
элементов по m элементов, которые отличаются либо составом,
либо их порядком.
Anm 
n!
 n(n  1)( n  2)...( n  m  1)
(n  m)!
25
Сочетание
Сочетание - это комбинации, составленные из n различных
элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним
элементом.
n!
C 
m!(n  m)!
m
n
26
Основные правила
комбинаторики
Правило суммы. Если некоторый объект A может быть выбран из
совокупности объектов m способами, а другой объект В может быть
выбран п способами, то выбрать либо А, либо В можно т + п способами.
Правило произведения. Если объект А можно выбрать из совокупности
объектов m способами и после каждого такого выбора объект В можно
выбрать п способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может
быть выбрана тп способами.
27
4. Теорема сложения вероятностей
Теорема. Вероятность появления одного из двух совместных
событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих
событий без учета вероятности их совместного появления:
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)
28
Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных
событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих
событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Следствие. Вероятность появления одного из нескольких
попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме
вероятностей этих событий:
Р (А1 + А2 + ... + Аn) = Р (А1) + Р (А2) +...+Р (Аn)
29
5. Теорема произведения вероятностей
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна
произведению вероятности одного из них на условную
вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое
событие уже наступило:
Р(АВ) = Р(А)РA(В).
Для независимых событий теорема умножения имеет вид
Р (АВ) = Р (А) Р(В).
30
6. Формула Бернулли
Задача. Вычислить вероятность того, что при n испытаниях
событие А осуществится ровно k раз и, не осуществится n – k раз.
Формула Бернулли
или
Pn (k ) 
n!
 p k  q nk .
k ! (n  k )!
31
7. Локальная теорема Лапласа
Если вероятность p появления события A в каждом испытании
постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность того, что
событие A появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно
равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:
Pn (k ) 
1
npq

1
2
e
x
2
2

1
npq
  ( x)
при
x
(k  np)
npq
32
8. Вероятность отклонения относительной
частоты от постоянной вероятности

m

P  p     2 
 n


n 

pq 
где n – число испытаний;
p - вероятность наступления события A;
q = 1- p;
ε – заданное число.
33
9. Наивероятнейшее число
появлений события
Наивероятнейшее число k определяют из двойного неравенства
np  q  k  np  q
причем:
а) если число np  q — дробное, то существует одно
наивероятнейшее число k;
б) если число np  q — целое, то существует два
наивероятнейших числа, а именно: k и k+1;
в) если число np — целое, то наивероятнейшее число .k  np
34
35