2(1/х-1)

Тема урока:
а) содержащих модули;
б) показательных;
в) логарифмических.
Цели урока:
Обучающая:
- закрепить, обобщить и систематизировать 3 метода решения неравенств:
І. Традиционный, базирующийся на свойствах функций;
ІІ. Метод интервалов – как универсальный;
ІІІ. Метод равносильных замен – как один из рациональных и нестандартных
приемов;
- рассмотреть данные методы и способы на примерах неравенств, содержащих
модули; показательных и логарифмических, повторив основные свойства и правила
решений;
- сделать акцент на вариативности и многообразии методов решения неравенств.
2.
Развивающая: пробуждать мысль ученика, активизировать творческий
потенциал; развивать внимание, умение выбирать главное и обобщать;
способность фантазировать.
3.
Воспитательная: воспитывать чувство коллективизма, усидчивость,
умение доводить дело до конца.










Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Форма проведения урока: урок – турнир.
Содержательная линия:
В турнире принимают участие 3 команды игроков (по
4-5 человек):
№1 Команда «Чудеса света»
№2 Команда «Окно в мир»
№3 Команда «Путешественник»
Команды, представляющие три тур-фирмы,
разрабатывают маршрут путешествий.
Задача команд – выполнить условия, подтвердить
классность или завоевать новое более высокое место,
как знатоков тур-маршрутов (методов решений
неравенств).
Рекомендуется для рациональной организации работы
помощь 2-3 «экспертов» - учителей или
подготовленных детей.

Ход урока
Этап игры-турнира

















Организационный момент.
Актуализация и повторение знаний.
а) Применение знаний для решения упражнений с методом выбора
способа решения.
б) Домашнее задание.
Текущий блиц-контроль.
Получение новых знаний.
Итог урока.
Команды получают названия и направления игры.
2. Команды получают «ключевой термин» - название
«местности», куда нас должна отправить тур- фирма, и
преподносит достоинства своего «маршрута» (вид неравенств).
Итог – присвоение 1й категории классности.
Тур-фирмы разбираются в картах-маршру-тах более высокого
уровня сложности, предложенных наугад.
Борьба за присвоение классности фирма «Тур-экстрим».
Итог – 2я категория классности.
Отыскать опасные участки маршрута (ошибки) и предложить
другой маршрут (ІІ способ решения).
Знакомство с маршрутом «Тур экстра-класс».
Вручение дипломов.
Этап игры-турнира









Команды получают названия и направления
игры.
. Команды получают «ключевой термин» название
«местности», куда нас должна
отправить тур- фирма, и преподносит
достоинства своего «маршрута» (вид
неравенств).
Итог – присвоение 1й категории классности.
Тур-фирмы разбираются в картах-маршру-тах
более высокого уровня сложности,
предложенных наугад.
Борьба за присвоение классности фирма
«Тур-экстрим».
Итог – 2я категория классности.
Отыскать опасные участки маршрута
(ошибки) и предложить другой маршрут (ІІ
способ решения).
Знакомство с маршрутом «Тур экстра-класс».
Вручение дипломов.

Оборудование: раздаточный материал, плакаты с
краткими теоретическими сведениями.



















Ход урока
Организация турнира. Присвоение названий командам.
Разъяснения.
Во время турнира работа участников команд строится по
принципу:
Этап 2:
5б. 1уч. – сообщение основных свойств предложенных
функций (понятие).
12б. 2уч. – работа у доски по защите основных позиций
(№1).
11б. 3уч. – решение неравенства №2
11б. 4уч. – решение неравенства №3
(№2 и №3 сдаются решенными до проверки решения на
доске).
Этап 3:
1уч. – решение неравенства №1 на доске
2уч. – решение неравенства №1 на листе (лист)
3уч. – решение неравенства №2 на листе (лист)
4уч. – решение неравенства №3 на листе (лист)
Листы сдаются экспертам.
Этап 4: сдается 1 экземпляр с заданиями:
№1 – проверка или решение
№2 – второй способ решения.









Этап 2
Назвать основные положения, используемые при решении
неравенств, содержащих указанный термин, понятие,
класс функций.
В это время 3 ученика «выбирают свой маршрут»
(задание), решая предложенные неравенства на
применение МИ.
На карточках (выдает эксперт) – работа на доске.
Эксперты называют ключевое слово - название «
местности», в которую хотят попасть туристы, а
представители фирмы разъясняют достоинства
выбранного тура.
а) Модуль
б) Показательная функция
в) Логарифмическая функция
Ответы – на подготовленных заранее местах.




а) 41/х-1-21/х-2-3≤0
Решение:
Пусть f(х)= 41/х-1-21/х-2-3, f(х) ≤0




ОДЗ: хє(-∞;0) u (0;+∞).
Найти нули функции: f(х) =0
41/х-1-21/х-2-3=0, если 21/х-1= t, t>0, то получим
2 2(1/х-1)-2(1/х-1)-1-3=0
















t 2-0,5t-3=0
2 t 2- t-6=0
Д=1+48=49, t1=2, t2=-1,5-не удовлетворяет условию.
Если t=2, то
21/х-1=2;
1/х=2;
х≠0
21/х-1=21;
х=0,5.
1/х-1=1;
3) Решим неравенство:
f(1)<0
f(0,3)>0
+
f(-1)<0
0
0,5
Итак, хє (-∞;0) u [0,5;+∞).
Ответ: хє (-∞;0) u [0,5;+∞).
в)|3х| ≤ 1
|х2-4|













Решение:
|3х|-|х2-4 |≤ 0
|х2-4|
Пусть f(х)=|3х|-|х2-4 |, f(х) ≤0, х≠2, х≠-2
|х2-4|
Д(f)=(-∞;-2) и (-2;2) и (2;+∞).
Найдем нули функции: f(х)=0
|3х|-|х2-4|=0;
|3х|=|х2-4|, то 3х=х2-4,
3х=х2-4,
3х=-(х2-4);
3х=4-х2;
а) х2-3х-4=0,
б) х2+3х-4=0,
х1=-1, х2=4;
х3=1, х4=-4.
Решим неравенство: f(х) ≤0





-
-
-4
-2
-1
1
2
Итак, хє(-∞; 4] и [-1;1] и [4;+ ∞)
Ответ: хє(-∞; 4] и [-1;1] и [4;+ ∞).
4














в) lg2x-2lgx-8≤0
Решение:
Пусть f(х)= lg2x-2lgx-8, f(х) ≤0.
Д(f)= (0;+∞).
+
+
Найдем нули функции: f(х)=0
-2
4
lg2x-2lgx-8=0, если lgx= t, то
t1=-2, t2=4;
+
+
+
lgx=-2,
lgx=4
0
0,01
10000
10000
х1=0,01
х2=10000
Итак, хє [0,01;10000].
Ответ: хє [0,01;10000].
Вывод: итак, сработал один и тот же «маршрут» - алгоритм:
Вычисление Д(f).
Введение f(х).




















Этап 3
а) Проверка знаний карт-маршрутов для присвоения ІІ категории сложности –
«Тур – экстрим».
Задача, стоящая перед претендентами на классность фирмы:
избрать для предложенного неравенства метод решения:
а) Традиционный;
б) Метод интервалов;
в) Метод равносильных замен.
Показательные неравенства
f(х)φ(x)>(<) f(х)g(x)
Найти ОДЗ
Переход к неравенству
(f(х)-1))( φ(x)- g(x)) >(<)0
Применение М.И.
Ответ.
Логарифмические неравенства
logaf(x) <logag(x)
1. Найти ОДЗ
2. Переход к неравенству
(a-1)( f(х)- g(x)) <0
3. Применение М.И.
4. Ответ.






Предлагаемые «маршруты» (выбор наугад – «тянут билеты»)
1. | log2х/3|х*х-5х-6≤1
(традиционное)
2. (х2-4х+3)х*х-5х+4≤1
(равносильная замена)
3. log0,3log6(х2+х)/(х+4)<0
(комбинированный: традиционный+МИ).
Запись заданий на доске.



















а) | log2х/3|х*х-5х-6≤1 (Относительно чего неравенство. Модуля?
Показательной функции?)
Известно, что для y=ax выполняются условия
| log2х/3|>1,
1). а) | log2х/3|>1
х2-5х-6≤0;
2>1
0< | log2х/3|<1,
log2х/3>1,
х/3>2,
х>6,
х2-5х-6≤0;
log2х/3<-1;
х/3<0,5;
х<1,5;
| log2х/3|=1
х>0
х>0
х>0
б) -1 ≤х ≤6
в) Итак, хє(0;1,5).
а)| log2х/3|<1
| log2х/3|>0
log2х/3<1
х/3<2
х<6
log2х/3>-1
х/3>0,5
х>1,5
log2х/3>0-верно,
х>0
х>0
хє(0;+∞)
хє(1,5;6).
б) х≤-1, х≥6.
в) Итак, хє(0;1,5), х=6


Ответ: хє(0;1,5), х=6.



















а) (х2-4х+3)х*х-5х+4≤1
Решение:
Д(f)=(-∞;1) и (3;+∞) из х2-4х+3.
! х2-4х+3 может быть равно 1.
(х2-4х+3)х*х-5х+4≤1
(х2-4х+3)х*х-5х+4-(х2-4х+3)0≤0
Решим методом равносильных замен:
(х2-4х+3-1)(х2-5х+4-0) ≤0
(х2-4х+2) (х2-5х+4) ≤0
Пусть f(х)= (х2-4х+2) (х2-5х+4), f(х) ≤0
Найдем нули функции: f(х)=0
х2-4х+2=0
х2-5х+4=0
Д=16-8=8
х3=1, х4=4
х1,2=2±√2
Решим неравенство f(х) ≤0 на Д(f)
хє[2-√2;1) и [2+√2;4].
Ответ: хє[2-√2;1) и [2+√2;4].
в) log0,3log6(х2+х)/(х+4)<0 (дополнительное)
Решение:










(х2+х)/(х+4)>0,
х(х+1)(х+4) >0,
log6(х2+х)/(х+4) >0,
(х2+х)/(х+4)>1,
log0,3log6(х2+х)/(х+4)< log0,31
log6(х2+х)/(х+4)<1
а) хє(-4;-1) и (0;+∞)
б) (х2+х-х-4)(х+4) >0
(х2 -4)(х+4) >0
хє(-4;-2) и (2;+∞)
в) (х2+х)/(х+4)<6
(х2+х-6х-24)(х+4) >0
хє(-4;-3) и (8;+∞).
хє(-4;-1) и (0;+∞)
хє(-4;-2) и (2;+∞)
хє(-4;-3) и (8;+∞)











????? А если использовать чистый метод интервалов?
Пусть f(х)= log0,3log6(х2+х)/(х+4), где f(х)<0.
log0,3log6(х2+х)/(х+4) <0
log0,3log6(х2+х)/(х+4) < log0,31, 0<0,3<1
log6(х2+х)/(х+4) > 1, log6(х2+х)/(х+4) > log66, 6>1
(х2+х)/(х+4) >6, х2-5х-24 >0,
х+4
(х+3)(х-8) >0. Итак, хє(-4;-3) и (8;+∞).
х+4
Ответ: хє(-4;-3) и (8;+∞).














Ход работы
Обсуждение, наброски – до 5 минут.
Отчет на доске.
(Пишут снова 3 представителя, эксперты проверяют.)
Обсуждение: первое слово – представителям фирм, второе –
экспертам. Проверяется только ОДЗ и ответ (2 позиции).
Итог – присуждение квалификации фирма «тур-экстрим».
б) Выдача листов с д/з.
№1 4х-2*52х-10х<0
№2 log0,5(log6 (х2+х)/(х+4)<0
№3 (х-2)х*х-6х+8>1
№4 log1-х(х-3) >1
№5 |1+х|2<|1-х|2
№6 Задания, предложенные а процессе урока другими командами.



Этап 4
Вам, участникам, предлагается задание, решенное одним из предложенных методов.
Задача: отыскать «отыскать опасные участки маршрута» (определить ошибки) и
предложить другой путь достижения цели (второй способ решения) – на местах под
копирку и сдать учителю на проверку.


















logx2(2+x)<1
Решим методом равносильных замен.
1. ОДЗ 2+х>0;
х>-2;
х2>0;
х≠0;
хє(-2;0)u(0;1)u(1;+∞)
х2≠1.
х≠1.
logx2(2+x)< logx2(х2)1
(х2-1)(2+х-х2) <0
(х-1)(х+1)(х2-х-2) >0
Найдем корни х2-х-2=0
(х-1)(х+1)(х+1)(х-2) >0
х1=-1,х2=2
(х+1)2(х-1) (х-2) >0
ОДЗ
////////////+////////////////////////+//////// /////////////////////////////////////////////+/////////////////////////////////////////
///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
-2
-1
0
1
2
Итак, хє(-2;-1) u(-1;0)u(0;1)u(1;+∞)
Обсуждение, рассматривается способ №2 (традиционный), сверяется с решением на
обороте доски.


Этап 5
Знакомство с маршрутом «тур-экстра-класс» Обсуждение достоинств и
недостатков.
















Решить неравенство:
2-|х-2|log2(4х-х2-2)≥1.
Решение:
1). f(х)= 2-|х-2|-показательная, причем если f(х)=ах, то а>1 и х<0, значит, 0< f(х)=ах<1,
однако, если х=2, 2-|х-2|=20=1.
Значит, х1=1.
2). g(х)= 4х-х2-2-квадратичная, графиком которой является парабола, у которой:
а) а=-1, а<0-ветви вниз
б) В(т;п), т=- в/2а=-4/(-2)=2. п= g(х)=8-4-2=2.
Значит, хтах=2-экстремальная точка; утах=2-экстремум функции, поэтому
g(х)= 4х-х2-2≤2=> log2(4х-х2-2≤1 для всех х из области определения логарифма.
Тогда неравенство равносильно системе:
2-|х-2|=1,
log2(4х-х2-2)=1;
х=2.
Ответ: х=2.







Этап 6
Итог урока: итак, господа-представители турфирм, мы прошли с вами один из
квалификационных этапов классности ваших
фирм. Совет экспертов вручает вам дипломы
следующих степеней:
Фирма класса «тур-вояж» - 9б.
Фирма класса «тур-экстрим» - 10б.
Фирма класса «тур-экстра-класс» - 12б.
Балы выставляются исходя из результатов 24 этапов.
Заключительное слово, подводящее итог урока,
оценка поставленных задач.