Лекция Многозначные логики

Лекция
МНОГОЗНАЧНЫЕ ЛОГИКИ
Логики с неклассическим
пониманием следования
Релевантная логика
Паранепротиворечивая логика
Немонотонные логики
 Динамическая логика
Логики, отменяющие закон
исключённого третьего






Интуиционистская логика
Конструктивная логика
Логика квантовой механики (Квантовая
логика)
Логики, меняющие таблицы
истинности
Многозначная логика
Двузначная логика
Трёхзначная логика
Модальная логика







Модальность
Алетические модальности
Деонтические модальности
Эпистемологические модальности
Временные модальности
Строгая импликация
Материальная импликация
Недедуктивные логические
теории





Индуктивная логика
Вероятностная логика
Логика решений
Логика нечётких понятий (логика
нечётких множеств, нечёткая
логика)
Аналогия (умозаключение по
аналогии).
Другие неклассические логики



Категориальная логика
Комбинаторная логика — это логика, которая
заменяет переменные функциями с целью
прояснить такие интуитивные операции с
переменными, как подстановка. Построенная
на базе комбинаторной логики система
арифметики содержит все частично
рекурсивные функции и избегает гёделевской
неполноты.
Кондициональная логика (условная логика). Её
предмет — истинность условных предложений
(в частности, сослагательного наклонения).
Логика контрафактических утверждений.
ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВАЯ ЛОГИКА




- логика, не позволяющая выводить из
противоречия произвольное предложение.
В логике классической теория называется
противоречивой, когда в ней можно доказать
одновременно и предложение, и его
отрицание.
Паранепротиворечивая логика трактует
противоречие иначе, чем классическая логика.
Исключается возможность выводить из
противоречий любые предложения.


Классическая логика исходит из
предположения, что всякое
высказывание является или истинным,
или ложным (двузначности принцип).
В 20-е годы XX в. Я. Лукасевичем (18781956) и Э. Постом (1897—1954) были
построены многозначные логики,
допускающие более двух истинностных
значений
Трехзначная система Я. Лукасевича



Лукасевич (Łukasiewicz) Ян (21.12.1878,
Львов, — 13.11.1956, Дублин), польский логик,
Построил первую систему многозначной
логики, а с её помощью — систему модальной
логики.
Разработал оригинальный язык для
формализации логических и математических
выражений (бесскобочная символика
Лукасевича.)



Многозначная логика — тип
формальной логики, характерный
наличием более чем двух возможных
истинностных значений (истинности и
ложности).
Первую систему многозначной логики
предложил польский математик Ян
Лукасевич в 1920 году

В настоящее время существует
очень много других систем
многозначной логики, которые в
свою очередь могут быть
сгруппированы по классам.
Важнейшими из таких классов
являются частичные логики и
нечёткие логики






Эта модальная логика была построена
Я. Лукасевичем в 1920 году.
Лукасевич обозначил
«истину» за «1»,
«ложь» за «0»
«нейтрально» - ½.
Основные функции - отрицание и
импликация, производными –
конъюнкция и дизъюнкция.






Множество тавтологий представляет собой
трехзначную матричную логику Лукасевича.
(a) Если что-либо необходимо, то оно
существует;
(b) Если что-либо существует, то оно
возможно);
(с) Если что-либо невозможно, то оно не
существует.
Общим представителем этой группы является
предложение
(I): Если невозможно, что p, то не-p.


Таблица
истинности –
отрицание X
Таблица
истинности импликация




Операция импликация - Сxy
[Cxy] = 1, если [x]  [y];
[Cxy] = 1 – [x] + [y],
если [x] > [y]
или в общем виде;
[Cxy] = min(1,1 – [x] + [y]).




Конъюнкция в системе Лукасевича
[Kxy] = min([x], [y]),
Дизъюнкция в системе Лукасевича
[Axy] = max([x], [y]).




В логике Лукасевича
являются
тавтологиями.
правило снятия
двойного отрицания,
четыре правила де
Моргана
правило
контрапозиции



В трёхзначной логике естественно
не соблюдается закон исключённого
третьего.
Вместе с тем, важным свойством
трёхзначных логик, отражающим их
адекватность, есть то, что все они
являются расширениями классической
двузначной логики
Трехзначная система Бочвара Д.А.




Система создавалась Бочваром Д.А. для
разрешения парадоксов классической
математической логики методом
формального доказательства
бессмысленности определенных
высказываний.
разделил высказывания
на имеющие смысл («истина» или
«ложь»)
и бессмысленными.
Обозначения логики Бочвара









«истина» за R или 1,
«ложь» – F или 3,
«бессмысленность» – S или 2,
ввел отрицание
внутреннее – «~а»,
внешнее отрицание – «┐а»,
«ā» – внутреннее отрицание внешнего
утверждения,
«≡» – внешняя равнозначность,
«↔» – внешняя равносильность





В логике Бочвара Д.А.
законы тождества,
отрицания двузначной логики не
являются тавтологиями.
В логике Бочвара Д.А.
противоречия:
а ┐а;
а ↔ ā;
а ≡ ┐а
К - значная логика Поста Е.Л.






Логика Поста является обобщением частного
случая – двузначной логики, когда К=2.
Значения истинности принимают значения 1,
2,…,К (при К  2 и К – конечно).
Формула - тавтология, когда принимает такое
значение i, что 1 i  S, где 1  S  К-1.
Значения 1,…, S называются выделенными
(отмеченными).
Пост ввел N1x – циклическое отрицание,
N2x – симметричное отрицание.





Пост (Post) Эмиль Леон (11.2.1897,
Августов, Польша, — 21.4,1954, НьюЙорк), американский математик и логик.
Основные результаты:
понятие непротиворечивости и полноты
формальных систем (исчислений);
доказательства функциональной
полноты и дедуктивной полноты (в
широком и узком смысле) исчисления
высказываний;
изучение систем многозначной логики с
более чем 3 значениями истинности;


Циклическое
отрицание и
симметрическое
отрицание





Циклическое отрицание
определяется равенствами:
[N1x] = [x] + 1 при [x]  K-1
[N1x] = 1.
Симметричное отрицание по Посту
определяется:
[N2x] = K - [x] + 1


Замечание
при К=2 циклическое и симметричное
отрицания совпадают с отрицанием
двузначной логики и между собой.
Операции конъюнкции и дизъюнкции
определяются как минимум и максимум
значений аргументов



В конце 40-х годов польским логиком С.
Яськовским (1906—1965) была построена
«логика дискуссии», не позволяющая выводить
из противоречия произвольные предложения.
Более совершенная версия
паранепротиворечивой логики была
предложена позднее бразильским логиком Н.
да Костой.
Паранепротиворечивой является также
релевантная логика, в которой новая трактовка
противоречия - формализации условного
высказывания.
Интуиционистская логика


А. Гейтинг создал интуиционистскую
логику.
Любое суждение считается
осмысленным, только если оно
выражает возможность некоторого
умственного построения, и считается
истинным, только если исследователю
удалось выполнить соответствующее
построение.
Утверждение, начинающееся с квантора
существования, означает наличие
способа мысленного построения
искомого объекта.

Дизъюнкция суждений A и B означает
возможность непосредственно указать
среди этих суждений верное.

С этой точки зрения, суждение вида
может и не быть истинным, если
проблема А не решена к настоящему
времени.

Закон исключённого третьего неприемлем в
интуиционистской математике в качестве
логического принципа

Соотношение теоретико-множественной,
интуиционистской и конструктивной математик