7.Идеальный газ

Министерство науки, высшей школы и технической политики
Российской Федерации
Ростовский Ордена Трудового Красного Знамени
Государственный Университет
Нестеренко П. С.
Методические Указания
по теме «Молекулярно-кинетическая теория строения веществ.
Идеальный газ» для абитуриентов физического факультета.
г. Ростов-на-Дону
1992
Печатается по решению учебно-методической комиссии
физического факультета РГУ (протокол № 5 от 20.04.1992г.)
Автор – Нестеренко П.С., доцент кафедры общей физики
В этом разделе физики происходит углубление понятия материи.
Молекулы и атомы, являясь вещественной формой материи, обладают массой,
импульсом, энергией. Они участвуют в особом движении, называемого
тепловым, которое отличается от простейшего механического движения
огромным числом участвующих в нем частиц и хаотичностью. Поэтому
тепловому движению присущи свои, специфические закономерности,
отражающие общее (макроскопическое) поведение системы, состоящей из
большого числа обособленных (микроскопических) частиц; в этом проявляется
различие между изученными в механике динамическими закономерностями и
статистическими – тепловыми – в молекулярной физике.
Велико политехническое значение данного раздела физики. Достижения
молекулярной физики являются научной основой такой отрасли
промышленности, как материаловедение. Знание внутреннего строения тел
позволяет создавать материалы с заранее заданными свойствами, успешно
работать над повышением твердости, термостойкости, теплопроводности
металлов и сплавов. Тепловые явления составляют основу теплоэнергетики.
3нания тепловых явлений и молекулярной физики можно реализовать при
применении законов термодинамики и изучению работы тепловых двигателей,
играющих огромную роль в народном хозяйстве.
В школьном учебнике данный раздел изложен последовательно и
достаточно просто. Вначале абитуриенту необходимо уяснить себе картину
молекулярного строения вещества, уметь оценивать размеры, массу и число
молекул разных веществ. Молярная масса и постоянная Авогадро являются
количественными характеристиками совокупности молекул вещества, поэтому
для их усвоения абитуриенту необходимо дать ответы на контрольные вопросы
для самопроверки в школьном учебнике. Выводы из опытов Броуна очень
наглядно доказывают существование и движение молекул, поэтому желательно
иметь и свое индивидуальное впечатление от наблюдения в микроскоп за
поведением взвешенных частичек в растворе (препарат можно изготовить из
сильно разбавленного раствора молока в воде или из раствора акварельной
краски в воде).
Выводу основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов
должно предшествовать усвоение абитуриентом таких понятий, как: силы
взаимодействия молекул, строение газообразных, жидких и твердых тел,
давление газа в молекулярно-кинетической теории, и средний квадрат скорости
теплового движения молекул.
Вывод основного уравнения кинетической теории газов является,
пожалуй, самим сложным материалом раздела "Молекулярная физика", поэтому
необходимо тщательно уяснить последовательность рассуждений при выводе.
Прежде чем приступишь к выводу необходимо повторить те основные понятия,
которые придется использовать: идеальный газ, средний квадрат скорости,
импульс тела, импульс силы, давление, второй и третий законы Ньютона.
Важно подчеркнуть: движение каждой молекулы подчиняется законам Ньютона
и взаимодействие их между собой и со стенками сосуда происходит по закону
абсолютно упругого удара. Вследствие хаотического характера движения
молекул все направления движения равноправны, что позволяет принять
равными средние значения квадратов проекций скоростей на координатные оси.
Имеются несколько возможных вариантов вывода основного уравнения
молекулярно-кинетической теории газов. Принципы, использованные во всех
подходах, в сущности, одинаковы: рассматривают изменение импульса стенки,
с которой сталкиваются молекулы, и
вычисляют силу, действующую на эту стенку. Различие заключается в
том мысленном опыте, из которого исходят разные авторы: в одном случае – газ
помещен в прямоугольный сосуд с подвижной стенкой, в другом – в сосуд,
разделенный пористой перегородкой на две части, в третьем – в сферический
сосуд и т.д. Рассмотрим один из возможных вариантов вывода (на наш взгляд,
наиболее простой), используя рис. 1.
(здесь рисунок 1)
Движение молекул хаотично, поэтому все направления движения
равновероятны и в каждый момент времени в среднем в противоположных
направлениях движется одинаковое число частиц. Действием силы тяжести на
молекулы пренебрегают. Столкновение со стенкой считается абсолютно
упругим.
Вывод можно начать "с конца"; при таком подходе абитуриент будет
понимать, какой конечный результат получит, поэтому каждая отдельная
операция по выводу будет логически обоснована. Напомним, что давление газа
на стенки сосуда возникает за счет столкновений с ними молекул газа, при
которых происходит изменение импульса стенки. По второму закону Ньютона
изменение импульса тела в единицу времени равно действующей силе.
r Δ(mv) Δpr
F

Δt
Δt
r – импульс тела.
где p
По определению, давлением называют величину, равную отношению силы,
действующей перпендикулярно к поверхности, к площади этой поверхности.
Поэтому
p
Fx
;
S
p
mv x
t  S
Таким образом, задача сводится к определению изучения импульса стенки
при ударе о нее всех молекул, движущихся за единицу времени в направлении,
перпендикулярной стенке.
Изменение импульса стенки равно по модулю и противоположно по
направлению изменению импульса молекул (по третьему закону Ньютона).
Следовательно, необходимо найти изменение импульса всех молекул,
ударяющихся о стенку в единицу времени. Для этого находят изменение импульса
одной молекулы и число молекул, ударяющихся о стенку в единицу времени.
Изменение проекции импульса молекулы на ось Ох равно (-2mvx). За единицу
времени о стенку ударится половина молекул, находящихся в объеме vxS (вторая
половина молекул вследствие хаотичности движения будет иметь проекции
скорости на ось Ох отрицательные, т.е. будут двигаться от стенки), т.е. (1/2)nvxS
молекул (где n – концентрация молекул, или число молекул находящихся в
единице объема), изменение импульса этих молекул в единицу времени равно
- mnv x2 S . Изменение импульса стенки в единицу времени
mv x
 mnv x2 S
t
Давление газа на стенку p  nm v x2 . Поскольку v x2 
1 2
v ,
3
2 mv 2
v2
, или p  n
.
p  nm
3
2
3
Таким образом, давление газа прямо пропорционально средней
кинетической энергии одной молекулы газа и числу молекул в единице объема
газа. Полученное выражение для давления можно записать в другой форме:
pV 
2 mv 2
N
3
2
Это уравнение имеет смысл только для совокупности молекул, носит
статистический характер и показывает, что давление газа равно 2/3 кинетической
энергии хаотического поступательного движения всех молекул в единице его
объема.
Понятие температуры является довольно сложным, поэтому в школьном
курсе физики формируется поэтапно. При термодинамическом равновесии
температура системы не меняется, она остается постоянной сколь угодно долго,
поэтому температуру можно определить как величину, позволяющую описывать
тепловое равновесие между телами, находящимися в тепловом контакте. Таким
образом, температура – физическая величина, характеризующая состояние
теплового равновесия системы: во всех частях системы, находящейся в состоянии
теплового равновесия, температура имеет одно и то же значение. Если одно из
состояний принять за нулевое, то температура системы указывает степень
отклонения ее состояния от теплового состояния, принятого за нулевое. В
школьном учебнике физики наглядно показано как построены эмпирическая (по
Цельсию) и абсолютная (по Кельвину) шкале температуры.
Отметим, что среднее значение кинетической энергии идеального газа
представляет собой среднестатистический параметр, он характеризует всю
совокупность молекул, температура также относится к совокупности молекул,
поэтому нельзя говорить о температуре одной молекулы.
Измерение скоростей молекул газа изложено в школьном учебнике в
соответствие со схемой классического опыта Штерна. Обсуждая его результаты,
нужно обратить внимание на то, что существует определенное распределение
молекул по скоростям, о чем свидетельствует наличие у полоски напиленных
атомов определенной ширины, причем толщина этой полоски различна. Молекулы,
движущиеся с большой скоростью, оседают ближе к месту напротив щели.
Наибольшее число молекул имеет наиболее вероятную скорость.
Уравнение состояния идеального газа получают непосредственно из
выражения для давления идеального газа, как это сделано в школьном учебнике.
Необходимо отметить, что уравнение состояния Клапейрона и частные газовые
законы связывают параметры двух состояний газа, а уравнение Менделеева-
Клапейрона устанавливает связь между параметрами газа в одном и том же
состоянии.
Задачи на газовые законы можно решать по следующему плану.
Если в задаче задано одно состояние газа и требуется определить какойлибо параметр этого состояния, то нужно использовать уравнение МенделееваКлапейрона. В том случае, если в задаче рассматриваются два различных состояния
газа, то нужно установить: меняется ли масса газа при переходе из одного
состояния в другое. Если масса газа остается постоянной, то можно записать
уравнение Клапейрона. Если же при постоянной массе в данном процессе не
изменяется какой-либо из параметров p, V или T, то применяется уравнение
соответствующего закона (Гей-Люссака, Шарля или Бойля-Мариотта). Если в двух
состояниях масса газа разная, то для каждого состояния записывается уравнение
Менделеева-Клапейрона. Затем система уравнений решается относительно
искомой величины.
На газовые законы решают и графические задачи. В одной группе задач
требуется построить графики изопроцессов в одной или нескольких системах
координат. Например: построить график изотермического процесса,
происходящего при температуре 20°С, если произведение давления на объем pV=8
Н*м (график построить в координатах p,V; V,T; p,T).
Задачи второй группы требуют умения читать график и определять по нему
значения термодинамических параметров. Примером такой группы задач может
быть следующая: на рис. 2 даны две изобары для равных масс одного и того же
газа. Сравните давления, при которых происходили эти процессы.
(Рисунок 2)
Решая такую задачу, прежде всего следует ответить на ряд вопросов:
«Зависимость каких величин изображена на графике?", "Каков характер этой
зависимости?", "Какой процесс данная зависимость представляет?". «Чем
отличаются процессы изменения состояния газа?". Для ответа на вопрос задачи
проводят изотерму (пунктирная линия, параллельная оси OV) и определяют, при
каком процессе одной и той же температуре соответствует больший объем;
абитуриенту уже известно, что большему объему при изотермическом процессе
соответствует меньшее давление. Следовательно, процесс 1 происходит при
меньшем давлении, чем процесс 2.
Очень полезны для понимания задачи, в которых последовательность
процессов изменения состоянии данной массы газа, заданных в одной системе
координат, нужно изобразить в двух других. Например, дано изменение состояния
одной и той же массы газа на рис. 3 в координатах p,V. Требуется начертить
графики этих процессов в координатах p,Т и V,Т.
(Рисунок3)
Более сложными являются задачи, в которых меняются все три
макроскопических параметра состояния газа. Например: газ из состояния 1
переходит в состояние 2 (рис. 4); масса газа при этом не изменяется. Сравните
объемы в этих двух состояниях.
(Рисунок4)
Для решения задачи необходимо вначале провести изохоры через точки 1 и
2, а затем – изотерму через точку 1. Теперь делаем вывод: процессу,
представленному графиком 01 соответствует меньший объем, чем процессу,
представленному графиком 02, следовательно, состояние 1 характеризуется
меньшим объемом, чем состояние 2.
Примеры решения задач.
Пример 1. Объем пузырька воздуха по мере всплывания его со дна озера на
поверхность увеличивается в три раза. Какова глубина озера?
Решение. Считаем, что температура воды в озере на любой глубине
постоянна. Тогда, по закону Бойля-Мариотта: p1V1=p2V2, где p1, p2 – давления
воздуха в пузырьке у дна и поверхности озера соответственно; V1, V2 – объемы
пузырьков у дна и поверхности озера.
Очевидно, что давление p2 воздуха в пузырьке у поверхности озера равно
атмосферному давлению p0, т.е. p1=p0. Тогда p1V1=3p0V1, откуда p1=3p0.
Следовательно, увеличение давления у дна озера p=p1-p0=3p0-p0=2p0. Как
известно из гидростатики, p=gh, где  – плотность воды, h – глубина озера.
Приравнивая правые части двух последних уравнений, имеем 2p0=gh, откуда
2p 0
2 * 1,01 * 10 5
h
; h
м  20,6 м .
ρg
10 3 * 9,8
Пример 2. В закрытом сосуде вместимостью 1 л содержится 12 кг
кислорода. Найдите давление кислорода при 15°С.
Решение. Сравним состояние данной массы кислорода (p1, V1, T1) с его
состоянием при нормальных условиях (p0, V0, T0). По объединенному закону
газового состояния,
p1V1/T1=p0V0/T0.
Поскольку V0=m/0, где 0 – плотность кислорода при нормальных
условиях, то p1V1/T1=p0m/T00, откуда
p 0 mT1
1,01 * 105 * 12 * 288
p1 
; p1 
Па  8,95 * 108 Па .
3
V1 T0ρ 0
10 * 273 * 1,43
Пример 3. Из баллона со сжатым водородом вместимостью 10 л вследствие
неисправности вентиля утекает газ. При 7°С манометр показывает 5 МПа.
Показание барометра не изменилось и при 17°С. Определите, сколько газа утекло.
Решение. Используя уравнение Менделеева-Клапейрона pV=m1RT1/M,
находим первоначальную массу водорода:
m1=pVM/RT1.
Точно так же найдем массу m2 водорода после утечки:
m2=pVM/RT2.
Следовательно, масса утекшего газа m=m1-m2=
pVM pVM pVM T2  T1



*
;
RT1
RT2
R
T1 T2
Δm 
5 * 106 * 10 2 * 2 * 10 3 (290  280)
 1,5 * 10 3 кг
8,32 * 290 * 280
Пример 4. Оцените силу, необходимую для того, чтобы оторвать от спины
хорошо поставленную медицинскую банку.
Решение. Давление в остывшей медицинской банке падает и возникает сила
F, притягивающая банку к спине. Если температура и давление воздуха в горячей
банке T1 и p1, а в остывшей – T2 и p2, тогда F(p1-p2)S. Так как масса и объем
воздуха в банке постоянны, то для изохорного процесса p1/T1=p2/T2. Отсюда:
p2=p1(T2/T1), F=p1[1-(T2/T1)]S=p1S(T/T1).
Пусть T1400 К, T2300 К, T100 К, S=10 см2, p1105 Па. Подставляя,
получаем F25 Н.
Пример 5. За время t=10 суток из стакана полностью испарилось m=100 г
воды. Сколько в среднем молекул вылетало с поверхности воды за 1 с?
Решение. Пусть в стакане содержалось N молекул воды. Тогда за каждую
секунду вылетало в среднем n=N/t молекул. Очевидно, что N=NA, где  – число
молей воды в стакане. Поскольку вся масса воды m, то =m/M, где M=18*10-3
кг/моль – молярная масса воды. Следовательно,
mN A
10 1 * 6,02 * 10 23
n

 4 * 1018 c 1 .
3
Mt
18 * 10 * 10 * 24 * 3600
Задачи для самостоятельного решения
1. Зная плотность кислорода О2 (1,43 кг/м3), найдите плотность метана CH4
при нормальных условиях.
2. Какое давление имеет 1 кг азота в объеме 1 м3 при температуре 2°С?
Атомный вес азота 14.
3. Сколько молекул содержится в 1 см3 воды? Какова масса молекул воды?
4. Резиновый шар содержит 2 л воздуха, находящегося при температуре
20°С и атмосферном давлении 760 мм рт.ст. Какой объем займет воздух, если шар
будет опущен в воду на глубину 10 м? Температура воды 4°С.
5. Баллон содержит сжатый газ при 27°С и давлении p1=20 атм. Каково
будет давление, если из баллона будет выпущено k=0,3 массы газа, а температура
понизится до 12°С?
6. Какова разница в массах воздуха, заполняющего помещение объемом
V=50 м3, зимой и летом, если летом температура помещения достигает 40°С, а
зимой падает до 0°С? Давление нормальное.
7. Определите молекулярную формулу аммиака, если при давлении 780 мм
рт.ст. и температуре 20°С его плотность равна 0,736 кг/м3.
8. Газ находится в цилиндре под невесомым поршнем, площадь которого
S=100 см2. При температуре 7°С на поршень положили гирю массой m=10 кг. При
этом поршень несколько опустился. На сколько нужно нагреть газ в цилиндре,
чтобы поршень оказался на прежней высоте? Атмосферное давление нормальное.
9. Сколько балласта должен выбросить аэростат объемом 300 м3, чтобы
подняться о высоты, на которой барометр показывал давление 730 мм рт.ст. при
температуре -15°С, до высоты, на которой барометр показывает давление 710 мм
рт.ст., а температура равна -20°C.
10. Давление воздуха в автомобильной камере при температуре -1З°С
составляло 160 КПа (избыточное над атмосферным). Каким станет давление, если в
результате длительного движения автомобиля воздух нагреется до 37°С?
11. Сколько электронов заключается в одном литре кислорода при давлении
10 атм и температуре 200°С?
12. В баллоне объемом 10 л содержался при температуре 20°С водород под
давлением 100 атм. Какое количество водорода израсходовано, если при сжигании
оставшегося водорода образовалось 0,5 л воды?
1З. В комнате объемом V=50 м3 затопили печь, и температура воздуха
поднялась с Т1=11 до Т2=23°С. Давление воздуха в комнате не изменилось и
осталось равным 1 атм. Какую работу совершил при расширении воздух,
оставшийся в комнате?
14. На диаграмме р,V представлен замкнутый процесс. Изобразите
указанный процесс на диаграмме V,Т и р,Т.
(Рисунок 5)
15. С некоторым количеством газа совершен круговой процесс (замкнутый
цикл, изображенный на диаграмме). Изобразите тот же процесс на графике р,V.
Укажите, на каких стадиях процесса газ получает, а на каких – отдает теплоту.
(Рисунок 6)
Ответы к задачам для самостоятельного решения
1. 0,715 кг/м3.
2. 0,88 атм.
3. 3,33*1022; 2,99*10-26 кг.
4. 0,94*10-3 м.
5. 13,3 атм.
6. 8,2 кг.
7. NH3.
8. 2,8 К.
9. 4,2 кг.
10. 210 кПа.
11. 4,3*1024.
12. 26 г.
13. 2*105 Дж.