Спецификация заданий по математике заочного этапа XIV

«Схемы как средства
организации мышления в
процессе обучения математике.
Часть 2. (Анализ итогов заочного
этапа XVI Ломоносовского
турнира в секции математики
5-11 классы)»
Структура заданий
и их оценивание
Часть 1
Часть 2
Количество
заданий
Форма ответа
Оценивание
5
4 кода (1, 2, 3 и 4)
только один верный
Верный ответ – 1 балл;
неверный – 0 баллов
10
Свободный ответ
Целое число или
конечная десятичная дробь
без единиц измерения (!)
Верный ответ – 2 балла;
неверный – 0 баллов
Идеи решения некоторых задач
5 класс
5. Маша говорит правду только один день в неделю.
Однажды она сказала: "Я лгу по понедельникам и
вторникам".
На следующий день она сказала: "Сегодня или четверг,
или суббота, или воскресенье".
Еще на следующий день она сказала: "Я лгу по средам
и пятницам".
В какой день недели Маша сделала первое свое
заявление?
1) вторник
2) четверг
3) пятница
4) воскресенье
Решение. Краткая запись условия:
1 – я лгу по ПН и ВТ
2 – сегодня или ЧТ, или СБ, или ВС
3 – я лгу по СР и ПТ
1 и 3  не может говорить правду в ЧТ, в СБ
и в ВС, так как 1 и 3 будут правдой.
Значит, заявление 2 всегда ложно.
Перебор: правду говорит в ПН, ВТ, СР или
ПТ, т.е. четыре варианта.
Вывод: правду говорит во вторник (3-й день),
а первое заявление - в воскресенье.
15.
На Новогоднем празднике дети пытались
угадать, сколько подарков в мешке у Деда Мороза.
Предлагались следующие варианты:
41, 46, 60, 45 и 55.
Все эти варианты были неверные, причем
отличались от правильного ответа
на 8, 12, 7, 2 и 7
(порядок необязательно соответствует порядку
исходных чисел, а также неизвестно: угадываемое
число на столько больше или меньше). Сколько
подарков в мешке у Деда Мороза? Если возможны
несколько вариантов ответов, то в бланке укажите их
сумму.
Решение. Умение выдвигать гипотезы,
подмечая закономерности.
Варианты: 41, 46, 60, 45 и 55.
Отличия: на 8, 12, 7, 2 и 7.
Дважды отличие на 7, но при этом
среди предположений нет одинаковых
вариантов.
Какой вывод можно сделать?
Одно из предположений на 7 больше, а другое – на 7
меньше, т.е. разница между ними 14.
Возможны два варианта:
1) 46 и 60, тогда угадываемое число (количество
подарков) – 53.
2) 41 и 55, угадываемое число – 48.
Проверка отличий приводит только к одному верному
ответу.
Ответ. 53.
6 класс
10.
Вес соснового бруска 27 кг, а
дубового бруска – 45 кг. На весы
положили 10 брусков, их общий вес
оказался равным 396 кг. Сколько было
дубовых брусков?
Идея: перебор по последней цифре.
•
Если количество дубовых брусков
нечетно, то число сосновых брусков
должно равняться трем.
273 + 457 = 81 + 315 = 396
•
Если количество дубовых брусков
четно, то число сосновых брусков
должно равняться восьми.
278 + 452 = 216 + 90 ≠ 396
Ответ. 7
За круглым столом сидят
14 человек – рыцари (которые
всегда говорят правду) и лжецы
(всегда лгут). Каждый из сидящих
за столом произнес: "Напротив
меня сидит лжец". Сколько всего
лжецов сидит за столом?
12.
Решение. В каждой паре сидящих
напротив друг друга – один
рыцарь и один лжец.
Ответ. 7 лжецов.
7 класс
4. Скорость течения реки от А до В
составляет 3 км/ч, а от В до С — 1км/ч,
АВ = 14 км, ВС = 15 км. Катер плыл по
течению от А до В на 15 минут меньше,
чем от В до С. Определите собственную
скорость катера.
1) 10 км/ч
2) 11 км/ч
3) 12 км/ч
4) 13 км/ч
14.
Сизиф обязан каждый день
втаскивать большой камень на вершину
горы. В первый день он потратил на
подъем в гору и спуск с нее 7 часов. Эта
работа утомительна, и в каждый
следующий день он поднимается вдвое
медленнее, чем в предыдущий, но зато
спускается вдвое быстрее. Сколько
времени он потратил на подъем и спуск
в третий день, если во второй день ему
понадобилось 8 часов?
П
С
2П
С
2
С
2
П
5
Решение.
Половина спуска – 2 часа, тогда
С – 4 часа, П – 3 часа.
Третий день: 4П + С/4 = 43 + 1 = 13.
Ответ. 13.
8 класс
2
5
181 194 35
4
6
2
7

183 199
183 199 199
2
5
181 194 35
4
6
2
7

183 199
183 199 199
15. На покраску большого деревянного
куба размером 201420142014 ушел 1 кг
краски. Покрашенный куб распилили на
кубики размером 111. Сколько ещё
килограммов краски необходимо для
покраски
неокрашенных
граней
маленьких кубиков?
Решение.
Чтобы получить маленькие кубики,
необходимо
сделать
2013
параллельных распилов в каждом из
трех перпендикулярных направлений.
При таком распиле красить надо две
грани размером 20142014.
201332 граней – х кг
6 граней
1 кг.
Ответ. 2013.
9 класс
11.
Окружность, проходящая
через вершины А, В, С ромба
ABCD, пересекает продолжение
его стороны
AD в точке M.
Найдите
площадь
ромба
ABCD, если AB=5, DM=6.
Решение.
A
5
D
B
6
K
M
C
Ответ. 20.
12. Валера выкладывает «домики»
из спичек (на рисунке изображены
такие домики в два и три этажа).
Сколько спичек понадобится Валере,
чтобы построить дом из 10 этажей?
Решение.
Определим
взаимосвязь
между
количеством
спичек
и
количеством этажей:
1 этаж: 1 + 2 спички
2 этажа: (1+2)+3+4 спичек
3 этажа: (1+2+3+4)+5+6 спичек
…
10 этажей: (1+2+…+18)+19+20=210.
Ответ. 210.
10 класс
6. Вычислите:

3
235

3
4  3 10  3 25
3

6
4  2 3  3 1 3  3 4
(2 - 5) + 2 = -1
Ответ. -1.
12. Перед вами четыре двери, на каждой из
них написано по одному утверждению.
Известно, что за каждой дверью находится
либо дракон, либо несметные сокровища
(общее число драконов и сокровищ не
регламентировано; может быть, там везде
драконы, а может, везде сокровища). Что
именно находится за дверью, зависит от
надписи на ней (за дверью сокровища тогда и
только тогда, когда надпись истинна,
дракон - тогда и только тогда, когда надпись
ложна). Какую дверь (по номеру) нужно
открыть, чтобы не попасть в лапы дракона?
Если такой двери нет, напишите в ответе 0.
Дверь 3: ложь.
Дверь 2: ложь.
Дверь 4: ложь.
Дверь 1: правда.
Ответ. 1.
11 класс
13. В теннисном клубе 189 членов: 8 состоят
в клубе меньше трёх лет, 11 моложе 20 лет, 70
носят очки, 140 - мужчины. Какое наименьшее
возможное число членов клуба удовлетворяет
сразу четырём условиям: состоят в клубе не
меньше трёх лет, их возраст не меньше 20 лет,
носят очки и являются мужчинами?
Решение.
Не меньше трех лет в клубе – 181
Возраст не меньше 20 лет – 178
Носят очки –
70
Мужчины –
140
остаток
8
11
119
49
Принцип наихудшего варианта:
70 – 49 = 21
21 – 11 = 10
10 – 8 = 2.
Ответ. 2.
15. Клим выкладывает «домики» из спичек
(на рисунке изображены такие домики в два и
три этажа). Сколько этажей будет в «домике»,
построенном из 11 325 спичек?
Благодарю за внимание и
интерес к математике!