НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
1 год
Математика в современном мире проникла во все сферы общественной жизни.
Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по
математике. С математикой связана компьютерная грамотность и экономическая
деятельность, все более увеличивается ее роль и в гуманитарных науках, не говоря уже о
роли математики в естественных дисциплинах и, вообще, в научно-техническом
прогрессе. Математические знания, представления о роли математики в современном
мире стали необходимыми элементами общей культуры. В школе и в большинстве
высших учебных заведениях математика является опорной дисциплиной, обеспечивающей
изучение на современном уровне ряда других дисциплин, как естественных, так и
гуманитарных.
Данный курс лекций рассчитан на будущих преподавателей математики средней
школы, а также для переподготовки и повышения квалификации уже состоявшихся
преподавателей. Он состоит из двух частей, первая из которых носит общий характер,
а вторая – более конкретный. Методической основой курса является положение о том,
что при подготовке преподавателей математики или при повышении их квалификации
необходимо научить слушателей не только анализу элементарной (школьной)
математики с точки зрения высшей, но и обратно – анализу высшей математики с
точки зрения элементарной. При этом, все общие положения иллюстрируются большим
количеством конкретных примеров из самых различных математических дисциплин,
теорий и их приложений.
Без понимания общих тенденций развития математики, ее структуры, методов
исследования, приложений и истории ее развития невозможно представить себе
высококвалифицированного
преподавателя
–
будь
то
учитель
массовой,
специализированной школы или же преподаватель высшей школы. Поэтому в первую
часть курса включены вопросы, без прояснения которых невозможно правильно
организовать обучение математике, грамотно отобрать для него материал, а также
критически оценить проводимые или задуманные реформы математического
образования в средней школе. Вторая часть курса состоит из конкретных тем и может
варьироваться в зависимости от целесообразности, а также вкусов лектора. Однако,
при этом, необходимо тщательно следить за тем, что изучение конкретных тем во
второй части курса должно проводится с тщательно продуманной реализацией
положений общего характера, изложенных в первой части.
Основными целями курса является развитие у слушателей правильных представлений
о природе математики и тенденциях ее развития, сущности и происхождении
математических абстракций, соотношении реального и идеального, характере
отражения математической наукой явлений и процессов реального мира, месте
математики в системе наук и роли математического моделирования в научном познании.
Более конкретной целью курса является изучение некоторых тем, имеющих важное
значение для повышения математической культуры слушателей, которые незначительно
или вообще не включаются в программы подготовки будущих преподавателей
математики.
Часть 1.
1. Логическое строение школьного курса геометрии.
2. Логическое строение школьного курса алгебры и начал анализа.
3. Язык математических знаков и начала математической логики.
4. Понятие структуры в современной математике и обзор основных структур школьной
математики.
5. Обобщение, специализация и аналогия в школьном курсе математики.
6. Правдоподобные рассуждения и контрпримеры в курсе средней школы.
7. Теоремы существования, неразрешимости и невозможности. Теоремы с
конструктивными доказательствами и их роль в математическом воспитании.
8. Основные математические принципы: исключенного третьего, математической
индукции, эквивалентности, включения-исключения, двойственности, непрерывности.
9. Методы приближенных вычислений в средней школе, их роль и место в развитии
математической культуры школьников.
10. Математическое моделирование и математический эксперимент. Их значение в
школьном образовании и конкретные реализации в процессе преподавания.
Использование ПК и калькулятора при выполнении численных, графических и
экспериментальных работ в учебном процессе; проблемы выбора математического
обеспечения для ПК (пакеты "Сabri-II", "SkatchPad", "Maтематика" и др.; их анализ и
сопоставление).
11. Математика и реальный мир. Физическая математика, химическая математика,
математическая биология, математическая география, экономическая математика.
Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения математики.
12. Детерминизм и случайность. Роль и место теории вероятности и математической
статистики в процессе обучения математике в средней школе.
13. История математики и ее место в курсе математики в средней школе. Примеры
раннего творчества знаменитых математиков. Вопросы истории отечественного
математического образования в средней школе и сравнительный анализ наиболее
значительных реформ образования в различных странах.
Часть 2.
14. Основная теорема арифметики. Арифметика остатков и ее приложения.
15. Рациональные, иррациональные, алгебраические и трансцендентные числа.
16. Многоликий алгоритм Евклида: наибольший общий делитель, непрерывные дроби,
представление рациональных чисел бесконечными десятичными дробями. Эффективность
алгоритма Евклида.
17. Решетки на плоскости и их свойства. Площади многоугольников на решетках.
Основы геометрической теории чисел.
18. Алгебра многочленов. Симметрические многочлены и основная теорема.
Неприводимые многочлены. Многоугольник Ньютона и критерий Дарбу о
неприводимости.
19. Математический анализ последовательностей: монотонность, периодичность,
конечные разности, суммирование, разностные уравнения. Гармонические функции
дискретного аргумента.
20. Общее понятие о функциях и отношениях; их графики.
21. Итерации и фракталы. Примеры итерационных процессов и вопросы об их
сходимости; аттракторы. Построение фрактальных множеств и их анализ. Итерации
корней и экспонент.
22. Закрепленные, свободные и скользящие векторы. Алгебра скользящих векторов и
графостатика.
23. Неравенство треугольника. Максимумы и минимумы. Изопериметрические задачи.
Геометрические неравенства.
24. Преобразования на плоскости и в пространстве. Группы самосовмещений фигур и
кристаллографические группы.
25. Инверсия и круговые преобразования. Построения при помощи одного циркуля.
26. Основы проективной геометрии: проективные преобразования, теоремы Паппа,
Дезарга, Паскаля, Брианшона, кривые второго порядка. Построения при помощи одной
линейки. Двойственность в проективной плоскости и в пространстве. Основная теорема
проективной плоскости. Конечные проективные плоскости.
27. Элементарная теория измерения площадей многоугольных фигур. Теорема о равносоставленности равновеликих многоугольников.
28. Площадь круга и его частей. Неравенства Архимеда и Гюйгенса. Квадратура круга
и луночки Гиппократа. Измерение площадей криволинейных фигур.
29. Объем тетраэдра и III -я проблема Гильберта. Невозможность элементарного
построения теории объемов многогранников.
30. Геометрия тетраэдра и трехгранного угла. Ортоцентрические, равногранные и
каркасные тетраэдры. Вписанная, описанная и вневписанные сферы тетраэдра.
Литература
1. Анталогия педагогической мысли Древней Руси и Русского государства XIV – XVII вв.
М., Педагогика, 1988.
2. Анталогия педагогической мысли России XVIII в. М., Педагогика, 1989.
3. Анталогия педагогической мысли России второй половины ХIX – начала XX века. М.,
Педагогика, 1990.
4. Адамар Ж. Элементарная геометрия. Ч. 1-2. М., Учпедгиз, 1938.
5. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.,
Советское Радио, 1970.
6. Александров А.Д. Основания геометрии. М., Наука, 1987.
7. Борель Э. Как согласовать преподавание в средней школе с прогрессом науки. Мат
просвещение, п3, 1958.
8. Брунер Дж. Психология познания. М., Прогресс, 1977.
9. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М., Физматгиз, 1959.
10. Вейль А. Математическое мышление. М., Наука, 1989.
11. Вопросы преподавания алгебры и начал анализа в средней школе. Сб. статей. Состав.
Е.Г. Глаголева, О.С. Ивашев-Мусатов. М., Просвещение, 1981.
12. Гнеденко Б.В. Очерки по истории математики в России. М.-Л., Гостехиздат, 1946.
13. Гнеденко Б.В. Математика в современном мире. М., Просвещение, 1980.
14. Гнеденко Б.В. Формирование мировоззрения учащихся в процессе обучения
математике. М., Просвещение, 1982.
15. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л., Гостехиздат, 1948.
16. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М., Наука, 1981.
17. Евклид. Начала. Т. 1-3. М.-Л., Гостехиздат, 1948-1950.
18. История математики. Под ред. А.П. Юшкевича. Т. 1-3. М., Наука, 1970.
19. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. (Арифметика. Алгебра.
Анализ.) М., Наука, 1987.
20. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. (Геометрия.) М., Наука,
1987.
21. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Т. 1, 2. 1989.
22. Коксетер Г.С.М. Введение в геометрию. М., Наука, 1966.
23. Колмогоров А.Н. Математика – наука и профессия. М., Наука, 1988.
24. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? М., Просвещение, 1968.
25. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М., Наука, 1980.
26. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. М., Наука, 1977.
27. Луи де Бройль. По тропам науки. М., ИЛ, 1962.
28. Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. М., Советское радио, 1980.
29. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М., Советское радио, 1979.
30. Маркушевич А.И. Об очередных задачах преподавания математики в школе. На путях
обновления школьного курса математики. М., Просвещение, 1978.
31. Математики о математике. М., Знание, 1982.
32. Математика, ее содержание, методы и значение. Т. 1-3. М., АН СССР, 1956.
33. Математика в современном мире. М., Мир, 1967.
34. Математическая энциклопедия для детей. М., Аванта +, 1998.
35. Математическое образование сегодня. Сб. Статей. М., Знание, 1974.
36. Моисеев Н.Н. Математика ставит эксперимент. М., Наука, 1979.
37. Мордухаай-Болтовский Д.Д. Психология математического мышления. Вопросы
психологии и философии, 1988.
38. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., Наука,1975.
39. Пойа Д. Математическое открытие. М., Наука, 1976.
40. Постников А.Г. Культура занятий математикой. М., Знание, 1975.
41. Проблемы Гильберта. Сб. под ред. П.С. Александрова. М., Наука, 1969.
42. Проблемы современной математики. Сб. статей. М., Знание, 1971.
43. Пуанкаре А. О науке. М., Наука, 1990.
44. Сойер У.У. Прелюдия к математике. М., Просвещение, 1972.
45. Сойер У.У. Путь в современную математику. М., Мир, 1972.
46. Стюарт Я. Концепция современной математики. Минск, Вышейшая школа, 1980.
47. Теоретические основы содержания общего среднего образования. Под ред.
В.В. Криевского, И.Я. Лернера. М., Педагогика, 1983.
48. Тихонов А.Н., Костомаров Д.П. Рассказы о прикладной математике. М., Наука, 1979.
49. Торндайк Э. Вопросы преподавания алгебры (психология алгебры). М., ИЛ, 1934.
50. Фрейденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. М., Мир, 1977.
51. Фрейденталь Г. Математика как педагогическая задача. Т. 1, 2. М., Просвещение,
1982-1983.
52. Черкасов Р.С. История отечественного школьного математического образования.
Математика в школе, пп. 2, 3, 4, 1997.
53. Что такое прикладная математика. Сб. статей. М., Знание, 1980.
54. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. А.П. Савин. М., Педагогика–
Пресс, 1997.
55. Яглом И.М. Математика и реальный мир. М., Знание, 1978.
56. Яглом И.М. Элементарная математика прежде и теперь. М., Знание. 1972.