Выполнипи учащиеся 7класса НОУ СОШ «Ирида» Абрамов А; Баранов С;

Выполнипи учащиеся 7класса
НОУ СОШ «Ирида»
Абрамов А; Баранов С;
Гамидова С; Качковская А.
Объект исследования:
виды многогранников и области их
применения
Этапы исследовани:
1. Сбор и анализ материала.
2. Классификации многогранников.
3. Определение характеристических отличий
многогранников.
4. Подборка исторического материала.
5. Определение областей их применения.
6. Моделирование многогранников из подручных
материалов.
• С глубокой
древности
человеку
известны пять
удивительных
многогранников
По числу граней их называют
правильный тетраэдр
(четырёхгранник)
гексаэдр (шестигранник)
или куб
октаэдр (восьмигранник)
додекаэдр (двенадцатигранник)
икосаэдр (двадцатигранник)
• Великий
древнегреческий
философ Платон,
живший в IV – V вв.
до нашей эры,
считал, что эти
тела олицетворяют
сущность природы
• Четыре сущности природы были
известны человечеству: огонь, вода,
земля и воздух. По мнению Платона,
их атомы имели вид правильных
многогранников
• атом огня имел вид
тетраэдра,
• земли – гексаэдра
(куба)
• воздуха – октаэдра
• воды - икосаэдра
• Но оставался
додекаэдр, которому
не было соответствия
• Платон предположил,
что существует ещё
одна (пятая) сущность.
Он назвал её мировым
эфиром. Атомы этой
пятой сущности и
имели вид додекаэдра
• Платон и его ученики в своих работах
большое внимание уделяли
перечисленным многогранникам.
Поэтому эти многогранники называют
также платоновыми телами
ТЕТРАЭДР
Поверхность,
составленная из четырех
треугольников,
называется Тетраэдром.
Граней 4
Вершин 4
Ребер 6
Грани –
равносторонние
треугольники
Сумма плоских углов
при каждой вершине
180°
Двойственность правильных
многогранников
• Число граней одного
многогранника равно
числу вершин
другого и наоборот.
• Двойственным
многогранником к
тетраэдру является
сам тетраэдр
Тетраэдры в производстве
Форму тетраэдра
нельзя назвать
удобной, но и у нее
есть применение,
например, при
изготовлении пакетов
для молока.
Оказалось, что на
конвейере удобно
склеивать подобные
тетраэдры, отрезая
заготовки для них от
картонного “шланга”.
Настенный тетраэдр
Аппарат Delto
Аппарату предназначено
взбираться по вертикальным
поверхностям — например,
по стенам многоэтажных зданий.
Только по специально
подготовленному —
с размещёнными
в нужных местах
креплениями типа
альпинистских. Именно
за них цепляется Delto
своими вершинами,
вперевалку перебираясь
всё выше и выше.
Гигантский тетраэдр
для Нового Орлеана
Разработанное для Нового Орлеана
«здание-город» NOAH (New Orleans
Arcology Habitat) возвышается на
365 метров, включает в себя 20000
квартир, суммарная жилая площадь
которых равна 2 040 000 кв.м.
Здание использует экологичное
энергоснабжение – энергию
ветра, воды и солнца. Кроме
квартир в тетраэдре
помещаются три отеля,
культурные объекты, школа,
больницы. Учитывая место, под
которое создавался проект, его
немаловажная особенность —
способность держаться на
плаву.
Тетраэдры в микромире.
Форму правильного тетраэдра
имеют некоторые молекулы.
Этот факт подтверждается
фотографиями молекулы,
полученными при помощи
электронного микроскопа.
ГЕКСАЭДР (Куб)
Поверхность,
составленная из 6
квадратов, называется
Гексаэдром.
Граней 6
Вершин 8
Ребер 12
Грани – квадраты
Сумма плоских
углов при каждой
вершине 270°
Древние греки дали многограннику
имя по числу граней. «Гексо»
означает шесть, «хедра» - означает
грань (Гексаэдр – шестигранник).
Головоломки
Головоломки развивают интеллект, логику человека, тренируют
мышление, повышают интеллектуальный уровень.
Кубик Рубика -механическая
головоломка изобретённая в 1974 г
венгерским скульптором и
преподавателем архитектором Эрнё
Рубиком.
Была популярна в 80е годы
прошлого века, а также набирает
популярность среди молодежи и в
наши дни.
Невозможный куб Эшера
Голландский художник Мориц
Корнилис Эшер, родившийся в 1898
году в Леувардене создал
уникальные и очаровательные
работы, в которых использованы
или показаны широкий круг
математических идей. Одной из них
является невозможный куб
Невозможная фигура — один из
видов оптических иллюзий, фигура,
кажущаяся на первый взгляд
проекцией обычного трёхмерного
объекта, при внимательном
рассмотрении которой становятся
видны противоречивые соединения
элементов фигуры. Создаётся
иллюзия невозможности
существования такой фигуры в
трёхмерном пространстве.
Архитектура, вдохновленная математикой
Кубическая деревня в
Роттердаме, созданная
голландским архитектором
Питом Бломом, находится
в верхней части
пешеходного моста.
Каждый фасад имеет окна,
чтобы было ощущение
независимости
структурами. Здание
построено с
использованием сложной
формулы для создания
своеобразного дизайна.
Архитектура, вдохновленная математикой
Токио, творение Кисё Курокаву было построено в 1972 году, и является
символом стиля "японский метаболизм". Здание символизирует
возрождение послевоенной Японии.
Архитектура, вдохновленная математикой
Это небоскрёб в Мальмё,
Швеция, расположенный на
шведской стороне пролива
Эресунд. Здание
спроектировано испанским
архитектором Сантьяго
Калатрава и официально
открыто 27 августа, 2005
года. Высота 54-этажного
здания составляет 190
метров
Архитектура, вдохновленная математикой
ОКТАЭДР
Октаэдр (греч. οκτάεδρον,
от греч. οκτώ, «восемь»
Поверхность, составленная из 8
равносторонних треугольников,
называется Октаэдром.
Граней 8
Вершин 6
Ребер 12
Грани –
равносторонние
треугольники
Сумма плоских углов
при каждой вершине
240°
Двойственность правильных
многогранников
Гексаэдр (куб) и октаэдр образуют
двойственную пару многогранников.
• Возьмем любой куб
и рассмотрим
многогранник с
вершинами в центрах
его граней. Как
нетрудно убедиться,
получим октаэдр
Двойственность правильных
многогранников
• Центры граней
октаэдра служат
вершинами куба
Октаэдры в микромире.
• Форму октаэдра имеет
монокристалл
алюмокалиевых квасцов.
• Квасцы алюмокалиевые
применяется:
1) в текстильной
промышленности (дубление
кожи);
2) в медицинской
промышленности
(кровеостанавливающее);
3) в пищевой промышленности
(пищевая добавка Е522,
разрыхлитель);
4) в химической
промышленности (очистка
воды);
Октаэдры в микромире.
• Куприт – минерал
класса окислов, оксид
меди. Образует
кристаллы в форме
октаэдров, тонкую
вкрапленность,
сплошные зернистые
или тонкоигольчатые
агрегаты.
Октаэдры в микромире.
• Формируется в зоне
окисления месторождений
медных сульфидных руд
близ земной поверхности
под действием грунтовых
вод. Ассоциирует с
самородной медью,
малахитом, лимонитом и
др. Довольно широко
распространен и входит в
состав богатых вторичных
руд меди. Добывается в
Боливии и Чили;
встречается в медном
месторождении Бисби в
США (штат Аризона). В
России известен на Урале.
Октаэдры в микромире.
• Шестой элемент периодической
системы С
(углерод)характеризуется
структурой октаэдра.
Кристаллы алмаза обычно
имеют форму октаэдра. Алмаз
(от греческого adamas –
несокрушимый) – бесцветный
или окрашенный кристалл с
сильным блеском в виде
октаэдра.
ЛЕГЕНДА ОБ АЛМАЗЕ И ЗОЛОТЕ.
•
•
•
•
•
•
•
В далекие времена, когда Нил был широк,
поспорили Золото и Алмаз, кто из них
самый – самый.
- Я! – воскликнуло Золото. – Я самое
важное, я самое знатное,. - Из-за меня люди
воевали, проливали кровь, которой можно
наполнить все колодца мира.
Однако на это Алмаз возразил, что и ради
него начинались войны, им украшают
скипетры самых могучих в мире королей, из
него состоят богатые троны императоров.
Тогда решили обратиться они к Солнцу,
чтобы то рассудило их спор.
- Подойдите ближе, - сказало Солнце, - я не
слышу вас.
Тогда прошли Алмаз и Золото по Млечному
Пути, приблизились они к солнцу, и тут,
Золото стало краснеть, затем побледнело и
в итоге расплавилось. На землю обрушился
золотой дождь.
А вот алмаз вернулся твердым,
сверкающим, еще краше, чем был прежде.
После этого Золото никогда больше не
заводило споров с Алмазом.
Применение кристаллов в
промышленности
Исключительно высокая
твердость
алмаза имеет большое и
важное
практическое значение.
Он широко
используется в
промышленности
как абразив, а также в
режущих
инструментах и в
буровых коронках.
2010г
Применение кристаллов
в промышленности
• Алмаз устойчив к
кислотам и нагреванию.
Однако он хрупок и
достаточно легко
раскалывается по
плоскостям спайности,
что используют ювелиры
при его обработке.
Искусственно
ограненный алмаз – это
бриллиант.
Применение кристаллов
в промышленности.
Твердость алмаза
при обработке и
шлифовании в 140150 раз выше, чем
корунда. Но, на
разных гранях
кристалла и в
различных
направлениях
твердость алмаза
несколько
различается. Это
делает возможным
шлифовать алмаз
алмазным же
порошком.
Известные алмазы.
Наиболее крупные алмазы имеют
имя, и обычно их называют
историческими камнями: "
Куллинан" (3106 каратов) распилен на 105 бриллиантов, два
из короторых украшают
королевский скипетр и
императорскую корону
Великобритании, "Великий
Монгол" (794 карата), "Орлов" (195
каратов), "Кох-и-Нур" (109
каратов).
Карат - единица измерения массы
драгоценных камней. 1 карат = 0,2
г.
Общая цена бриллианта
определяется умножением
квадрата его массы в каратах на
цену бриллианта в один карат
(правило Тавернье).
“Орлов”
“Куллинан-I”
ИКОСАЭДР
от др.-греч. εἴκοσι «двадцать»;
ἕδρον «сидение», «основание»
Поверхность, составленная из
20 равносторонних
треугольников, называется
икосаэдр.
Граней 20
Вершин 12
Ребер 30
Грани – равносторонние
треугольники
Сумма плоских углов при
каждой вершине 300°
Икосаэдр вокруг нас.
• Данную фигуру
можно легко
использовать для
создания
интересных в
плане дизайна
вещей, напримерплафонов.
Икосаэдр вокруг нас.
Икосаэдр вокруг нас.
Конструкция лампы в форме икосаэдра позволяет
изменять направление света: для этого достаточно
поставить лампу на ту или иную
ее грань. А так
как граней у
икосаэдра 20,
значит направление света
можно менять
20 раз и больше.
Икосаэдр вокруг нас.
• На территории
популярного
курорта в
Монтесума
(Коста-Рика)
недавно
появился
новый и очень
необычный
дом, имеющий
форму
икосаэдра.
Икосаэдр и вирусы.
• Икосаэдр - геометрическое тело,
форму которого принимают
вирусы, состоящие из ДНК и
белкаю
• Вирусы, построенные только из
нуклеиновой кислоты и белка,
могут походить на правильный
двадцатигранник, или икосаэдр.
• Строение аденовирусов также
имеет форму икосаэдра.
• Вирус кошачьей панлейкопении
имеет вид сферического
двадцатигранника – икосаэдра.
ДОДЕКАЭДР
Название “додекаэдр” происходит
от греческих слов δωδεχα (додека)-“
двенадцать” и έδρα (эдра)- “основание”.
Поверхность, составленная из
12 правильных пятиугольников,
называется Додекаэдром.
Граней 12
Вершин 20
Ребер 30
Грани – правильные
пятиугольники
Сумма плоских углов
при каждой вершине 324°
Двойственность правильных
многогранников
• Икосаэдр и
додекаэдр
являются
двойственными
многогранниками.
•Двойная нить
спирали ДНК
построена по
принципу
двухстороннего
соответствия: за
икосаэдром следует
додекаэдр, затем
опять икосаэдр, так
далее.
Из истории…
Впервые
додекаэдр
построил
древнегречес
кий учёный
Теэтет ( 4 век
до н.э.).
Многогранники в
искусстве
«Поистине,
живопись — наука и
законная дочь
природы,
ибо она порождена
природой»
(Леонардо да Винчи)
Леонардо да Винчи любил изготовлять из дерева
каркасы правильных многогранников и
преподносить их в виде подарка различным
знаменитостям.
Знаменитый
художник,
увлекавшийся
геометрией,
Альбрехт Дюрер
(1471- 1528),
в известной
гравюре
«Меланхолия»
на переднем плане
изобразил
додекаэдр.
Пример изображения правильных многогранников,
выполненный художником 20 века Сальвадором Дали
Картина «Тайная вечерня». Христос со своими учениками
изображен на фоне огромного прозрачного додекаэдра.
Форму додекаэдра, по мнения древних, имела ВСЕЛЕННАЯ,
т.е. они считали, что мы живем внутри свода, имеющего
форму поверхности додекаэдра.
• Знаменитый
математик и
астроном Кеплер
построил модель
Солнечной системы
как ряд
последовательно
вписанных и
описанных
правильных
многогранников и
сфер.
Странные находки.
• Римский додекаэдр датируется
II-м или III-м веком нашей эры.
Это маленький полый объект,
сделанный из бронзы или
камня. Около сотни подобных
додекаэдров было найдено на
территории различных стран,
от Англии до Венгрии и запада
Италии, но большинство
найдено в Германии и
Франции. Размеры
варьируются от 4 до 11 см. По
сей день функции этих
объектов остаются загадкой.
RomaNK ©
Применение в быту…
Камера-додекаэдр, на
которой расположены 12
камер. Таким образом,
камера снимает пространство
вокруг себя во всех
направлениях.
Колонка в форме додекаэдра
Додекаэдры в микромире.
Вирус полиомиелита
имеет форму
додекаэдра.
Он может жить и
размножаться только
в клетках человека и
приматов.
Это, в частности,
означает, что
заразиться
полиомиелитом можно
только от людей.
Усечённый икосаэдр
Усечённый икосаэдр —
многогранник, состоящий из 12
правильных пятиугольников и 20
правильных шестиугольников.
Имеет икосаэдрический тип
симметрии. В каждой из вершин
сходятся 2 шестиугольника и
пятиугольник. Каждый из
пятиугольников со всех сторон
окружён шестиугольниками.
Усечённый икосаэдр
• Усечённый икосаэдр является
одним из 13 тел Архимеда.
• Множество Архимедовых тел
можно разбить на несколько
групп. Первую из них
составляют пять
многогранников, которые
получаются из Платоновых
тел в результате их усечения.
Усеченное тело – это тело с
отрезанной верхушкой
Усечённый икосаэдр
• Изображение Леонардо да Винчи
усеченного икосаэдра методом
жестких ребер в книге Л. Пачоли
«Божественная пропорция». Техника,
разработанная Леонардо, являет
собой блестящий пример
геометрической иллюстрации, нового
способа графического изображения
научной информации. Эта техника
впоследствии многократно
использовалась художниками,
скульпторами и учеными.
Усечённый икосаэдр
УЧРЕЖДЕНИЕ
ОБРАЗОВАНИЯ
«РЕЧИЦКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
РАЙОННЫЙ ЛИЦЕЙ»
Именно эту форму имеет
классический футбольный
мяч.
Усечённый икосаэдр
Дачные причуды.
Микро тела в виде икосаэдра.
Бактериофаги переводятся с
греческого языка как
"пожиратель бактерий". Они
относятся к особым
представителям царства
вирусов, однако в отличие от
других видов, бактериофаги
умеют использовать
бактериальные клетки для
размножения.
• Акибол – каркасная
углеродная молекула –
является одной из
визитных карточек
нанотехнологий. Он
имеет форму
усеченного икосаэдра и
похож на футбольный
мяч.
Заключение.
• Свойства этих многогранников
изучали ученые и священники, их
модели можно было увидеть в
работах архитекторов и ювелиров, им
приписывались различные
магические и целебные свойства
Характеристики
правильных многогранников
Число
Многогранник сторон
грани
Число
граней,
сходящихся
в каждой
вершине
Число
граней
(Г)
Число
ребер
(Р)
Число
вершин
(В)
Тетраэдр
3
3
4
6
4
Гексаэдр
4
3
6
12
8
Октаэдр
3
4
8
12
6
Икосаэдр
3
5
20
30
12
Додекаэдр
5
3
12
30
20
Теорема Эйлера о многогранниках
В+Г–Р=2
Развертки правильных
многогранников
усечённый икосаэдр
Правильных многогранников
вызывающе мало, но этот весьма
скромный по численности отряд
сумел пробраться в самые
глубины различных наук.
Л. Кэрролл
Источники.
• 1. Гусев, Ж. Кайлосов, А. Кагазбаева. Геометрия- 11.- Алматы:
Мектеп, 2011
2. Атанасян Л.С и другие. Геометрия 10 - 11.- М.: Просвещение,
2003.
3. Бендунидж А.Д.Золотое сечение.- журнал Квант №8, 1993.
4. Василевский А.Б. Параллельные проекции.- Москва, 2012.
5. Волошинов А.В. Математика и искусство.- М.: Просвещение,
2002.
6. Дитяткин В.Г. Леонардо да Винчи.- М.: Москва, 2002.
7. Евклид. Начала.- В 3 т. М.; Л.; 1948 – 1950.
8. В.Келер .Приглашение к открытию.- Алматы: Мектеп, 1999.
9. Д. Лейзер .Создавая картину Вселенной.- (Перевод с
английского М.: Мир, 1988.
10.Д. Пидоу .Геометрия и искусство. - Москва, 1999.
11.Хрестоматия по истории математики: Пособие для студентов
физ. - мат. (Под редакцией А.П. Юшкевича, М.; Просвещение,
1976.)