i=1 - Ставропольский государственный аграрный университет

Ставропольский государственный
аграрный университет
ЛЕКЦИЯ 4
ЭЛЕМЕНТЫ МАТРИЧНОЙ
АЛГЕБРЫ ПРИ РЕШЕНИИ
ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ
ЗАДАЧ
1
Ставропольский государственный
аграрный университет
Виды матриц
Матрицей
A
размера
m n
называется прямоугольная таблица, состоящая из
aij
элементов:
 a11 a12
A   a21 a22
... ....
 am1 am 2
...
...
...
...
a1n 
a2 n 
... 
amn 
В общем случае матрица имеет m строк
и
n
столбцов
 j  1,2,..., n  .
(1.1)
 i  1,2,..., m 
2
Ставропольский государственный
аграрный университет
Возможные обозначения матрицы:
A   aij   aij , i  1,2,..., m; j  1,2,..., n
Пример 1.1. Числовая матрица A размера 2×3
имеет вид

7
2
4

7
2
4


A

3 0 5
 3 0 5
.
(1.2)
3
Ставропольский государственный
аграрный университет
Матрица размером
1 n , состоящая из одной строки,
называется матрицей
b11
– строкой:
b12 ... b1n , m  1
, или
b1
b2 ... bn 
Аналогично этому имеет место матрица
размера m×1:
 b11 
 b21  ,
 ...  n  1
bm1 
, или
 b1 
 b2 
 ... 
bm 
.
(1.3)
– столбец
.
(1.4)
4
Ставропольский государственный
аграрный университет
Транспонированная матрица. Если в матрице A (1.1)
типа m×n строки заменить соответственно столбцами,
то получим транспонированную матрицу AT размерности n×m:
 a11 a21
a
a

T
12
22
A 
... ...
 a1n a2 n
...
...
...
...
am1 
am 2 
... 
amn 
.
(1.5)
Для матрицы A (1.2) транспонированная матрица AT
имеет вид
7 3 

AT   2 0 
 4 5
.
5
Ставропольский государственный
аграрный университет
Проведение расчета установившегося
режима связано с рядом основных
этапов:
- предварительное преобразование и переход к
расчетной схеме электрической системы;
формирование
уравнения
состояния
по
известным исходным данным с учетом структуры
расчетной схемы;
- выбор метода расчета, составление алгоритма и
программы на ЭВМ;
- проведение расчета установившегося режима на
ЭВМ;
- анализ точности полученных результатов.
6
Ставропольский государственный
аграрный университет
В основе решения задачи расчета режима
лежит
использование
математических
моделей
макроуровня,
представляющих
собой
линейные
уравнения
состояния
(например, обобщенное уравнение состояния,
уравнения
узловых
напряжений)
и
нелинейные уравнения состояния (например,
уравнения узловых напряжений в форме
баланса мощности или в форме баланса
токов).
7
Ставропольский государственный
аграрный университет
Для направленного графа могут быть определены:
1) матрица соединений ветвей в узлах (первая
матрица инциденций);
2) матрица соединений ветвей в независимые
контуры (вторая матрица инциденций).
Матрица инциденций — таблица, которая содержит
набор строк и столбцов. Каждая строка соответствует
узлу, а каждый столбец — ветви графа. Если ветвь с
номером направлена от узла то в i-ой строке и j-ом
столбце записываем +1. Если i-ая ветвь направлена к
узлу, то в i-ой строке и j-ом столбце записываем -1.
Все остальные элементы матрицы инциденций
8
равны нулю.
Ставропольский государственный
аграрный университет
Матрица соединений ветвей в узлах – это
прямоугольная матрица, число строк которой равно
числу вершин графа n, а число столбцов – числу
ребер m.
MS =(mij), i=1,...,n; j=1,....,m..
Матрица соединений ветвей в независимые
контуры – это прямоугольная матрица, число строк
которой равно числу независимых контуров графа k,
а число столбцов – числу ветвей m.
N=(nij), i=1,……..k; j=1,……. m.
9
Ставропольский государственный
аграрный университет
Математические
модели
макроуровня,
применяемые в задаче расчета установившихся
режимов, основаны на законах Ома и Кирхгофа,
представленных в матричной форме записи.
Рассмотрим две формы линейных уравнений
состояния, которые позволяют произвести расчет
установившегося
режима
при
упрощенном
представлении нагрузки и генерации мощности с
помощью линейных источников тока (задающего
тока).
10
Ставропольский государственный
аграрный университет
Модель 1. Классической формой линейной
модели является обобщенное уравнение
состояния.
1-й закон Кирхгофа в матричной форме:
MIB = J;
где:
- столбцы токов в ветвях и
задающих токов в узлах
соответственно.
М – матрица инциденций 1-го рода описывает связь
ветвей и узлов схемы.
11
Ставропольский государственный
аграрный университет
2-й закон Кирхгофа в матричной форме:
NUB = 0,
где
- столбец падений
напряжений на ветвях схемы.
Чтобы ввести в уравнения второго закона Кирхгофа токи
в ветвях схемы замещения, воспользуемся законом Ома,
который выражается матричным уравнением:
NZB IB = EK ,
N - матрица инциденций 2-го рода описывает связь ветвей и
независимых контуров
12
Ставропольский государственный
аграрный университет
Структура
j
У
М=
З
i
Правила формирования
Вет ви
mij
1, если ветвь выходит из узла i
mij 
Л
–1, если ветвь входит в узел i
j


j
0, если ветвь не связана с узлом
ы
N=
к
о
н
т
у
р
ы
j
Вет ви
i
nij
1, если направление ветви и
контура совпадает
nij 
–1, если направление ветви и
j
i
контура не совпадает
0, если ветвь не связана с контуром
j
i
13
Ставропольский государственный
аграрный университет
Вопросы для самостоятельной
проработки:
1. Что такое аппроксимация, экстраполяция и
интерполяция.
2. Вектор задающих токов.
3. Матрица сопротивлений ветвей.
4. Вектор токов ветвей.
5. Вектор ЭДС ветвей.
6. Вектор контурных токов.
7. Рассмотреть Модель 2. «Линейная форма уравнения
узловых напряжений» (учебное пособие стр.: 27).
14
Ставропольский государственный
аграрный университет
Произведение двух матриц. Даны две Прямоугольные
матрицы A и B, имеющие соответственно размеры m1×n1 и
m2×n2. Если число столбцов матрицы A равно числу строк
матрицы B, , т.е.
n1  m2
(1.7)
то возможно их произведение
A B  C
(1.8)
Согласно (1.8) элемент Cij равен сумме произведений
элементов строки i матрицы A на соответствующие элементы
столбца j матрицы B.
15
Ставропольский государственный
аграрный университет
j
A


m1  i


n1



m2 



B
j


m1 


C
i
n2
n2
Схема операции умножения матриц
16
Ставропольский государственный
аграрный университет
Пример. Найти произведение
3 2 8 1 
A
,

1  4 0 3
AB  C
2
1
B
0

3
 1
 3

1

1
3   1  2   3  8 1  11 
 3  2  2 1  8  0  1 3
11 0 
AB  

C


 7 14
1

2


4

1

0

0

3

3
1


1


4


3

0

1

3

1










17
Ставропольский государственный
аграрный университет
18
Ставропольский государственный
аграрный университет
19
Ставропольский государственный
аграрный университет
20