Высшая математика

Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Лекция 2
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Основные элементарные функции
1. Постоянная функция
y  c, c  const
2. Степенная функция
5. Тригонометрические функции
y  sin x,
y  tg x,
y  cos x
y  ctg x
y  x ,   R
3. Показательная функция
x
y  a , a  0, a  1
4. Логарифмическая функция
y  log a x, a  0, a  1
6. Обратные тригонометрические
функции
y  arcsin x,
y  arctg x,
y  arccos x
y  arcctg x
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Степенная функция
Определение:
Y
Y
y = x3
y  x ,   R
2
y=x


График:

Y







y=x







X








X





X
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Степенная функция с натуральным показателем
Степенная функция является:
1) чётной при чётном п:
n  2k , (  x )
2k

 (  x)
нечётной при нечётном п:
n  2k  1, ( x)
2k 1

 (  x)
  x 
2 k
2 k
 x 2k
  ( x)  x   ( x)   x2k 1
2 k
2 k
2) неограниченной;
3) непрерывной:
lim x n  ( x0 )n
x  x0
4) не имеет предела на бесконечности:
lim x n  () n  
x 
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Степенная функция с рациональным показателем
Определение:
yx
m
n,
m  Z, n  N
Основные свойства степеней:
 f ( x) 
m
n
   f ( x) 

1
n


m


n
f ( x)

m
 n  f ( x) m
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Степенная функция с рациональным показателем
f ( x)  0,
Пусть:
g ( x)  0, n  N.
Тогда справедливы формулы:
n
f ( x)  g ( x )  n f ( x )  n g ( x )
n
f ( x) n f ( x)

,
n
g ( x)
g ( x)
nk
g ( x)  0
f ( x)  nk f ( x) , k  N
n
f ( x)  k f ( x)  nk  f ( x) n  k , k  N
n
f ( x)  nk  f ( x) k , k  Z
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Степенная функция с действительным показателем
Степенная функция является:
1) ни чётной, ни нечётной;
2) неограниченной;
3) непрерывной:
lim x  ( x0 )
x  x0
4) предел на бесконечности:
lim x  ( )  ,   0
x  


lim x  () 
x  
1
( )

 0,   0
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Показательная функция
Определение:
y  a x , a  0, a  1
Y

График:


y = ex




X



Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Показательная функция
Показательная функция является:
1) ни чётной, ни нечётной, непериодической;
2) неограниченной;
3) непрерывной:
lim a x  a x0
x  x0
4) положительной для любых значений х;
5) возрастает при а > 1; убывает при 0 < а < 1.
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Показательная функция
Показательная функция имеет:
6) предел на минус бесконечности:
lim a  a
x

x 
a 1
 0,

 , 0  a  1
7) предел на плюс бесконечности:
lim a  a
x
x 

a 1
 ,

 0, 0  a  1
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Показательная функция
Основные свойства степеней:
Пусть:
a  0, a  1, b  0, b  1.
Тогда справедливы формулы:
a
f ( x)
a
f ( x)
a g ( x)
a
g ( x)
a
f ( x)  g ( x)
 a f ( x)  g ( x)
a 
f ( x) g ( x)
 a f ( x) g ( x)
a f ( x)  b f ( x)  (a  b) f ( x)
a f ( x)
b f ( x)
a
 
b
f ( x)
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Логарифмическая функция
y  log a x, a  0, a  1
Определение:

Y
y = ln x

График:

X













Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция является:
1) ни чётной, ни нечётной, непериодической;
2) неограниченной;
3) непрерывной:
lim log a x  log a ( x0 )
x  x0
4) обратной к показательной функции;
5) возрастает при а > 1; убывает при 0 < а < 1.
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция имеет:
5) предел в нуле:
a0
 ,
lim log a x  
x 0
 , 0  a  1
6) предел на бесконечности:
a 1
 ,
lim log a x  log a ()  
x 
 , 0  a  1
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Логарифмическая функция
Основные свойства логарифмов:
Пусть:
a  0, a  1,
f ( x)  0,
g ( x)  0,   R
Тогда справедливы формулы:
log a  f ( x)  g ( x)   log a f ( x)  log a g ( x)
f ( x)
log a
 log a f ( x)  log a g ( x)
g ( x)
log a  f ( x)    log a f ( x)
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Логарифмическая функция
Основные свойства логарифмов:
Пусть:
a  0, a  1, b  0, b  1,
x0
Тогда справедлива формула перехода между логарифмами:
log b f ( x)
log a f ( x) 
log b a
В частности:
ln f ( x)
log a f ( x) 
ln a
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Лекция
ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Обратные тригонометрические функции: АРКСИНУС
Определение:
y  arcsin x, x  [1;1]
Область значений:
График:

y    ;
2 2

Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Обратные тригонометрические функции: АРККОСИНУС
Определение:
y  arccos x, x  [1;1]
Область значений:
График:
y  0;  
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Основные значения арксинуса и арккосинуса
x
arcsin x
arccos x
0
0
1
2
2
2


6
4
3
2
3
2




2
3
4
6
1
1


2
0

2

Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Обратные тригонометрические функции: АРКТАНГЕНС
Определение:
y  arctg x, x  R
Область значений:
График:

y    ;
2 2

Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Обратные тригонометрические функции: АРККОТАНГЕНС
Определение:
y  arcctg x, x  R
Область значений:
График:
y  0;  
Высшая математика
Автор: И.В.Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
math.mmts-it.org
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Свойства функции АРКСИНУС
Функция АРКСИНУС является:
1) периодической с периодом Т = 2 :
sin( x  2 n)  sin x, n  Z
2) нечётной:
arcsin(  x)   arcsin( x)
3) ограниченной:
4) непрерывной:
 1  sin x  1  | sin x |  1
lim arcsin x  arcsin( x0 )
x  x0
5) не имеет предела на бесконечности:
lim sin x  
x 
Высшая математика
Автор: И. В. Дайняк, к.т.н., доцент
кафедры высшей математики БГУИР
Свойства функции АРККОСИНУС
Функция АРККОСИНУС является:
1) периодической с периодом Т = 2 :
cos( x  2 n)  cos x, n  Z
2) чётной:
cos( x)  cos(x)
3) ограниченной:
 1  cos x  1  | cos x |  1
4) непрерывной:
lim cos x  cos(x0 )
x  x0
5) не имеет предела на бесконечности:
lim cos x  
x 