Математика, математика… Винокур Яна

Математика, математика…
Винокур Яна
Оглавление!
•
•
•
•
•
•
Простые и составные числа!
Занимательные задачи
логические задачи
Почемучка
Системы счисления
Задачи на дроби!
Система счисления!
В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи
числа имеет различные значения в зависимости от того места, где он
расположен. Такая система счисления основывается на том, что некоторое
число n единиц (основание системы счисления) объединяется в одну единицу
второго разряда, n единиц второго разряда объединяются в одну единицу
третьего разряда и т. д. Основанием системы счисления может быть любое
число, большее единицы.
Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр,
приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация
индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой
цивилизации.
К числу таких систем относится современная десятичная система счисления
(с основанием n = 10), возникновение которой связано со счётом на пальцах. В
средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь
заимствовавших ее у мусульман
Определение
b-ричная система счисления определяется
натуральным числом b > 1, называемым
основанием системы счисления. Для
представления числа x в b-ричной системе
счисления его представляют в виде линейной
комбинации степеней числа b:
, где ak — целые, .
Пример!
Например, число "сто три" представляется в десятичной системе
счисления в виде:
Используя позиционный принцип, мы имеем возможность изобразить
любое действительное число с помощью всего лишь десяти цифр в их
различных комбинациях.
Также распространены системы счисления с основаниями:
2 — двоичная (в дискретной математике, информатике,
программировании)
8 — восьмеричная (в программировании)
12 — двенадцатеричная (широко использовалась в древности, в
некоторых частных областях используется и сейчас)
16 — шестнадцатеричная (наиболее распространена в
программировании, а также в шрифтах)
60 — шестидесятеричная (измерение углов и, в частности, долготы и
широты)
1511
Запись!
Для записи чисел системы счисления с основанием до 36 включительно в качестве
цифр используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и затем буквы
латинского алфавита (a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z).
При этом, a = 10, b = 11 и т. д., иногда x = 10.
При одновременной работе с несколькими системами счисления для их различения
основание системы обычно указывается в виде нижнего индекса, который
записывается в десятичной системе:
12310 — это число 123 в десятичной системе счисления;
11110112 — то же число, но в двоичной системе.
В некоторых специальных областях применяются особые правила указания основания.
Свойство!
• Позиционная система счисления обладает рядом важных свойств:
– Основание системы счисления в ней самой всегда записывается как 10;
например, в двоичной системе счисления 10 означает число 2.
– Для записи числа x в b-ричной системе счисления требуется [logb(x)] + 1
цифр, где — целая часть числа.
– Сравнение чисел. Сравним числа 321 и 312. Для этого слева направо
сравниваем цифры, стоящие на одних и тех же позициях: 3 = 3 —
результат сравнения чисел не определён; 2 > 1 — первое число больше
независимо от оставшихся цифр.
– Сложение чисел. Сложим 321 и 312. Для этого справа налево складываем
отдельные цифры:
1+2=3
2+1=3
3 + 3 = 6, итого 633.
Таким же образом можно сложить числа произвольной длины.
Практика!
– Переведите из десятичной в двоичную систему счисления
следующие числа:
а) 10; б) 1024; в) 5. Подробно запишите действия,
выполненные при переводе.
– Переведите из двоичной в десятичную систему счисления
следующие числа:
а) 10; б) 1001; в) 101. Подробно запишите действия,
выполненные при переводе.
– Перевести в десятичную систему счисления числа
– а) из двоичной системы счисления: 11011; 1100; 10011;
110101;
– б) из восьмеричной системы счисления; 7512; 5327;
– в) из шестнадцатеричной системы счисления : 8Е5; АВС.
Задача на дроби!
• На трех полках стоят книги.
На нижней полке в два раза меньше книг,
чем на остальных двух,
на средней - втрое меньше, чем на
остальных, на верхней - 30 книг.
• Сколько всего книг на трех полках?
Ответ№1
Число книг на третьей полке
составляет треть от общего
числа книг.
Соответственно число книг на
средней полке составляет
четверть от общего числа
книг.
Число книг на верхней полке
составляет 1 - (1/3 + 1/4) =
5/12 от общего числа книг
или 30 книг.
Общее число книг на трех
полках равно 30 : 5/12 = 72.
Задача 2. Что я выпил в итоге - кофе с
молоком или молоко с кофе?
От полного стакана кофе я отпил
половину и долил столько же
молока.
Затем я отпил третью часть
получившегося кофе с
молоком и долил столько же
молока.
Затем я отпил шестую часть
получившегося кофе с
молоком, долил стакан
молоком доверху и выпил все
до конца.
Чего в итоге я выпил больше:
молока или черного кофе?
Ответ№2
Количество выпитого черного
кофе равно первоначальному
его количеству и составляет 1
стакан.
Молока долили сперва
полстакана, затем треть
стакана, и, наконец шестую
часть стакана, т.е. в общей
сложности 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1
стакан.
Следовательно, кофе и молоко
выпито поровну.
Задача№3
• Как от куска материи
2/3 метра отрезать 50
сантиметров,
• не имея
мерительного
мерительного
прибора?
Ответ№3
Если от куска материи
длиной 2/3 метра
отрезать полметра, то
длина оставшейся части
составит 1/6 метра.
Отделить от имеющегося
куска 1/6 метра можно,
сложив кусок вчетверо
2/3:4 = 1/6.
Задача 1. Ремонт водителям
не помеха
• На участке дороги идет
ремонт.Водителям
приходится объезжать этот
участок по запасному пути,
отмеченному на плане
пунктиром.
• На сколько километров
увеличивает путь этот
объезд?
• (A)3 км; (B) 5 км; (C) 6 км;
(D) 10 км; (E)Невозможно
определить
Ответ№1
• Как видно из плана
участка дороги,
запасный путь
отличается от
прямого на:
3(км) + 3(км)=6(км).
Ответ - (С).
Задача 2. Поразмыслим над
бумажным кубиком
• На каждой грани
бумажного кубика
написана цифра 1, 2
или 3,
• причем цифры на
противоположных
гранях - одинаковые.
Ответ№2
• По разверткам (A), (B), (C)
видно, что грани с цифрами 1
и 2 являются
противоположными, а это
недопустимо по условию
задачи.
• По развертке (D) видно, что
грани с цифрами 1 и 3 противополжны, то есть этот
вариант тоже не подходит.
Вариант (E) - подходит, так
как все противоположные
грани помечены одинаковыми
цифрами.
Верен ответ - (Е).
Задача 3. Где домик Пятачка?
• Домик Кролика
нарисован 4 раза, а
домик Пятачка
только один раз.
• Где домик Пятачка?
Ответ№3
•
Подберем Кролику 4 домика из тех пяти домиков,
которые изображены на рисунке.
Предположим, что кролик живет в домике (Е).
Тогда домик (D) - тот же домик, но повернут так,
что видна левая стенка.
• А домик (С), - это домик (Е), если смотреть на
него со стороны входа.
Домик (В) - не домик Кролика, так как правая его
стена имеет одно окно, а правая стена от входа
домика Кролика ( смотрим на домик (D) ) имеет
два окошка.
• А вот домик (А) - домик Кролика: это домик (D),
если смотреть на него со стороны входа.
• Итак, у Кролика четыре домика: (А), (С),(D) и (Е),
а (В) - домик Пятачка.
Правильный ответ - (В).
Задача 4.
Размышляем над кубиком
• От кубика, склееного
из бумаги, отрезали
уголок.
• Этот кубик разрезали
по некоторым
ребрам, развернули и
получили одну из
фигурок A - E.
• Какую?
Ответ№4
• Посмотрим на рисунок
кубика.Неповрежденны
ми остались три
невидимые на рисунке
грани кубика.
• Эти грани образуют
фигуру, развертка
которой - справа.
Только фигура (Е)
содержит такую
развертку. Правильный
ответ - (Е).
Задача 5. Фигурка из двух
одинаковых деталей
• Какую из фигурок A
- E нельзя составить
из двух одинаковых
деталей,
изображенных
справа?
• Детали нельзя
переворачивать
тыльной стороной
вверх.
Логические задачи!
Винокур Яна
Что такое логика?
• Логика – это наука о
способах
рассуждения, о
методах и законах
правильного
мышления.
Женская логика лучше ,чем
мужская?
•
В наш век точное познание завоевывает все новые области. Одна из
таких областей - женская логика. строгое изложение находится еще в
стадии заpождения. Обычная мужская логика пpошла этy стадию более
двyх тысяч лет назад, но женская логика еще ждет своего Аристотеля.
Потомкам пpинадлежит большая и почетная задача создать
систематический кypс женской логики, выполнить ее аксиоматизацию,
создать вычислительные машины, действующие по женские логическим
схемам. Нам же пока придется ограничиться настоящими заметками.
Их задача - по меpе возможности восполнить недосмотp пpиpоды,
лишившей мyжчин вpожденной способности пользоваться женской
логикой, столь необходимой во многих жизненных ситуациях. Можно
пpедвидеть yпpек в том, что наше изложение само основывается на
женской логике. Этот yпpек следyет пpизнать совершенно неyместным:
тpебование излагать аpистотелевскyю логикy пpи помощи женской
звyчало бы не лyчше.
Чем же отличается женская
логика от мужской!?
Может быть не главное, но первое бросающееся в глаза,
отличие женской логики от мужской состоит в том,
что она всегда применяется к спору. мужская логика
может применяться к спору и к отвлеченным
pассyждениям. Женская логика более
специализиpована: пpименяясь в более узкой
области мышления, она дает результаты, которые
значительно пpевосходят все, о чем мог мечтать
Аpистотель. Мyжская логика рассматривает споры,
возникшие в pезyльтате того, что два человека,
отпpавляясь от общих предпосылок, пpиходят к
pазличным выводам. В силy того, что пpавила
вывода однозначны, один из них пpав, а дpyгой
сделал логическyю ошибкy, и кто пpав, а кто - нет,
можно выяснить, невзиpая на лица.
КОЛИЧЕСТВЕHHЫЕ
ОЦЕHКИ
• И в мyжской логике сpавнительно немногие сyждения
абсолютно истинны или ложны независимо от
количественных оценок. Когда мyжчина, обyченный логике,
говоpит, что ботинок чеpен, этот мyжчина, как пpавило, не
имеет в видy, что ботинок поглощает все падающие на него
лyчи. Hо, пpоизнося такое высказывание, мyжчина считает
своим долгом опpеделить, что он называет чеpным цветом.
Такие исследования, не относящиеся по сyществy к логике,
обычно бывают тонкими и тpyдоемкими. Они сильно
тоpмозят пpоцесс pассyждения. Женская логика более гибка и
не знает подобных затpyднений. Пpизнать или не пpизнать
данный цвет чеpным - это всецело опpеделяется поставленной
целью.
Задача №1
Четверо ребят обсуждали ответ к задаче.
• Коля сказал: "Это число 9".
Роман: "Это простое число".
• Катя: "Это четное число".
•
•
•
А Наташа сказала, что это число -15.
Назовите это число, если и девочки,
и мальчики ошиблись ровно по
одному разу.
Варианты ответа:
( A )1; (B) 2; (C) 3; ( D ) 9; ( E ) 15;
Ответ№1
•
•
Предположим, что Коля прав. Тогда
обе девочки неправы, так как 9 не
равно 15 и 9 - нечетное число, а это
противоречит условию задачи.
Остается, что прав Роман и тогда не
права Наташа, так как 15 не простое
число.
Остается предположить, что искомое
число простое и четно (так как Катя
права), а это только 2. Проверка
подтверждает, что условие
соблюдено.
Итак верно (В).
Задача№2
У Йозефа 100 мышей,
некоторые из них белые,
некоторые - серые.
Известно, что хотя бы одна
мышь серая, а из двух
мышей хотя бы одна белая.
Сколько серых мышей у
Йозефа?
• (A) 1; (B) 49; (C) 50; (D)
99; (E) невозможно
определить
Ответ№2
Вариант 1. Устроим перебор пар мышей так,
чтобы одна мышь серая (упомянутая в
условии), а другая - какая придется.
Из условия следует, что все мыши, которых
мы присоединяем к серой - белого цвета.
Ответ: (А) (одна мышь серая).
Вариант 2. Предположим, что имеются две,
или более серых мышей.
В этом случае существует, по меньшей мере,
пара мышей серого цвета, что
противоречит условию.
Следовательно, предположение наше
ошибочно и в хозяйстве Йосефа имеется
лишь одна серая мышь, факт
существования которой оговорен
условием.
Задача№3
На скамейке сидит Мария, ее мама,
бабушка и кукла.
Бабушка сидит рядом с внучкой, но не
рядом с куклой. Кукла не сидит
рядом с мамой.
Кто сидит рядом с мамой Марии ?
A) Мария;
(B) бабушка;
(C) Мария и бабушка;
(D) Мария и кукла;
(E) бабушка и кукла
.
Ответ№3
С бабушкой, по условию, сидит
внучка.То есть остается
пристроить куклу и маму.
Поскольку кукла не может
сидеть рядом с мамой, то
кукла и мама сидят по разные
стороны от бабушки с
внучкой.
Остается, что бабушка сидит
рядом с мамой. Легко
проверить, что эти
расположения удовлетворяют
условию. Верный ответ - (В).
Задача 4. Что вырастет у рассеянной хозяйки?
У рассеянной хозяйки есть три
ящика для рассады с
надписью "Огурцы","Цветы"
и "Ромашки".
Она посадила семена ромашек,
огурцов и колокольчиков в
эти ящики так, что все
надписи оказались
неверными.
Что вырастет в ящике с
надписью "Ромашки"?
(A) огурцы; (B) колокольчики;
(C) ромашки; (D) нельзя
определить; (E), (А) арбузы
Ответ№4
В силу своей рассеянности, хозяйка не
могла посадить в ящик с названием
"Цветы" ни ромашки, ни
колокольчики. Следовательно, она
посадила в этом ящике огурцы.
Теперь осталось ей посадить ромашки и
колокольчики. Для них осталось два
ящика с надписями: "Ромашки" и
"Огурцы". Но рассеянная хозяйка не
посадила ромашки в ящик с
названием "Ромашки", как они того
они заслуживали, а посадила их в
ящик под названием "Огурцы". А
колокольчики она посадила в ящик с
надписью "Ромашки".
Так что в ящике с названием "Ромашки"
у нее вырастут колокольчики.
Верный ответ - (B).
Задача 5. Кто ближе к сыру: кошка или мышка?
Когда идет дождь, кошка сидит в комнате
или в подвале.
Когда кошка в комнате, мышка сидит в
норке, а сыр лежит в холодильке.
Если сыр на столе, а кошка - в подвале, то
мышка в комнате.
Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе.
Тогда обязательно:
Если сыр на столе, а кошка - в подвале, то
мышка в комнате.
Сейчас идет дождь, а сыр лежит на столе.
Тогда обязательно:
(A) кошка в комнате; (B) мышка в норке;
(C) кошка в комнате или мышка в норке;
(D) кошка в подвале, а мышка в комнате.
Ответ№5
Сначала поищем, где сидит кошка в
этот дождливый день.
По условию задачи, она может
быть в двух местах: в комнате
или в подвале.
Но в комнате кошка не может быть,
так как сыр не лежит в
холодильнике (он лежит на
столе). Следовательно, кошка
находится в подвале.
Итак, нам известно, что сыр лежит
на столе, а кошка - в подвале. По
условию, в этом случае мышка в комнате. Верный ответ - (D).
Задача № 6. Сколько существует натуральных чисел?
Сколько существует
натуральных чисел, меньших
100, которые:
а) делятся одновременно на 2 и
на 3?
б) делятся на 2, но не делятся на
3?
в) делятся на 3, но не делятся на
2?
г) делятся на 3, или на 2 ( по
крайней мере на одно из этих
двух чисел)?
д) не делятся ни на 2, ни на 3?
Ответ№6
•
•
•
•
•
а) Среди первых 99-ти натуральных чисел делятся на 2 и
на 3, т.е. делятся на 6 [99 : 6] = 16чисел.
б) Чисел, делящихся на 2 (четных), среди первых 99-ти
[99 : 2] = 49 .
Среди этих чисел есть 16, которые делятся и на 3.
Поэтому чисел, которые делятся на 2, но не делятся на 3,
в рассматриваемом интервале всего 49 - 16 = 33.
в) Чисел, делящихся на 3, в рассматриваемом интервале
99 : 3 = 33.
16 из них делятся также и на 2.
Поэтому, чисел, которые делятся на 3, но не делятся на 2,
всего 33 - 16 = 17.
г) Количество чисел, которые делятся и на 2 или на 3,
определим, добавив к 49 четным числам 17 чисел,
которые делятся на 3, но не делятся на 2 : 49 + 17 = 66.
д) Всего в рассматриваемом интервале 99 чисел, из них 66
делятся либо на 2, либо на 3. Остается 99 - 66 = 33 числа,
которые не делятся ни на 2, ни на 3.
Задача № 7. Какая монета
тяжелее ?
Из 60-ти одинаковых
по виду монет одна
отличается от других
по массе.
Двумя взвешиваниями
на рычажных весах
без гирь определить,
легче она или
тяжелее ?
Ответ№7
Разделим подлежащие проверке монеты на 3 равные
группы, одну из которых используем в качестве
контрольной.
При первом взвешивании кладем на чаши весов по 20
монет.
В случае равновесия, заключаем, что некондиционная
монета - в третьей группе.
Убрав монеты с одной из чаш и поместив туда монеты
третьей группы, определим, как соотносятся
массы настоящей и фальшивой монет.
Если при первом взвешивании перевесит одна из чаш,
то,
заменив монеты на этой чаше монетами третьей
группы (здесь все монеты настоящие),
мы определим, легче ли некондиционная монета
настоящей
(если чаша с монетами, оставшимися на весах после
первого взвешивания, вновь поднимется),
либо тяжелее (если весы уравновесятся).
Задача № 8. Лидер оппозиции и
логика
парламенте некоторой страны
две палаты, имеющие равное
число депутатов.
В голосовании по важному
вопросу приняли участие все
депутаты, причем
воздержавшихся не было.
Когда председатель сообщил, что
решение принято с
преимуществом в 23 голоса,
лидер оппозиции заявил, что
результаты голосования
сфальсифицированы.
Как это он понял ?
Ответ№8
Общее число депутатов в парламенте четное (в обеих палатах равное число
депутатов).
Следовательно, четно суммарное число
депутатов, голосовавших за принятие
решения и против.
Но при четной сумме двух величин четна
и их разность.
Поэтому, преимущество в 23 голоса (т.е.
разность между числом депутатов,
голосующих за принятие решения, и
числом депутатов, голосующих
против)
есть не что иное, как фальсификация
(либо, что менее вероятно, ошибка
при подсчете голосов).
Задача №9моего дедушки
Доказать, что полу
сумма двух
последовательных
простых чисел,
начиная с 3,
число составное.
Ответ№9
Все простые числа, начиная с 3, нечетные.
Поэтому сумма двух простых чисел,
больших 2, число четное, и полу сумма этих чисел
(или их среднее арифметическое) целое число.
Среднее арифметическое двух чисел
больше меньшего из чисел и
меньше большего и располагается на
числовой оси между этими числами.
Поскольку взяты последовательные
простые числа, то между ними всегда
находится число составное
Задача 10. Какие карточки
одинаковые?
Среди этих пяти карточек
есть три одинаковых.
Какие?
( A )1,2 и 3; (B) 2,3 и 5; (C) 1, 3 и 4; ( D ) 2, 4 и 5; ( E )3, 4 и 5 ;
Ответ№10
Из первой карточки получается
только карточка №2 (поворотом
на 180 градусов), а все остальные
не получаются никаким
поворотом.
А вот оставшиеся 3 карточки одинаковы (3,4,5).
Действительно, четвертая
карточка получается из третьей
поворотом влево на 90 градусов,
а пятая - из третьей поворотом
вправо на 90 градусов.
Итого ответ - (Е).
Задача 11. Самый большой
номер в русском алфавите
• Какая из букв слова
КЕНГУРУ имеет
самый большой
номер в русском
алфавите?
Ответ№11
• Буква К имеет номер 12 .
Буква Е имеет номер 6.
Буква Г имеет номер 4.
Буква У имеет номер 21.
Буква Р имеет номер 18.
Правильный ответ - (D).
Задача 12. Волшебные очки
У Гарри Поттера есть
волшебные очки, в
которых он видит все
зеленое - белым, а все
белое - зеленым.
Гарри посмотрел через эти
очки на прямоугольник,
изображенный справа.
Что он увидел?
Ответ№12
Выберем у правого
прямоугольника верхний
левый квадрат. Он белый.
Следовательно он виден в
очках зеленым.
Имеем двух кандидатов: (C) и
(D). Случай (C) отпадает , так
как у него только 3 зеленых
квадрата. Остается случай
(D). Верен ответ (D).
Задача 13. Магические знаки
Чтобы открыть секретную дверь
в пещеру гномов,
нужно заполнить четырьмя
магическими знаками
таблицу 4Х4 .
В каждой строчке и каждом
столбце должен встречаться
каждый из знаков.
Маленький гномик начал
заполнять эту таблицу.
Какой знак он должен
поставить в клеточку,
отмеченную знаком вопроса
Ответ№13
Сначала найдем то, что лежит в
левой клетке от вопросика.
Видно, во второй колонке
есть все знаки, кроме
мешочка.
Следовательно, недостающий
знак - мешочек.
Теперь стало видно, что в
первой строчке вместо знака
вопроса должен находиться
знак, помеченный буквой (D).
Задача 14. Какую цифру
заменяет квадратик?
В примере на сложение:
► + ► + ○○ = Δ Δ Δ
различные фигурки
заменяют различные
цифры.
Какую цифру заменяет
квадратик?
(A) 9; (B) 8; (C) 7; ( D ) 6; (E) 5;
Ответ№14
Максимальное значение суммы
трех наших слагаемых равно
9 + 9 + 99 = 117. Значит, Δ Δ Δ
= 111.
Минимальное значение числа ○○
равно 111 - 9 - 9 = 93, а само
число равно 99.
На долю одного квадратика
приходится (111 - 99) : 2 = 6.
Ответ - (D).
Задача 15. Сумма и
произведение одних и тех же
чисел - одинаковые
• Представить число
203 в виде суммы
нескольких чисел
так,
• чтобы их
произведение также
было бы равно 203.
Ответ№15
•
•
•
•
•
Поскольку сумма двух, или нескольких чисел
(отличных от 1), всегда меньше их произведения (
исключая случай 2 + 2 = 2 · 2), очевидно, что
некоторое число множителей в разложении должно
быть равно 1.
Используя такой прием, можно довести сумму
сомножителей до нужной величины, не меняя при
этом их произведения.
Итак, задача сводится к разложению на множители
числа 203. Поскольку ни один из
"табельных"признаков делимости (на 2, 3, 5, 11)
данному числу не свойственен, поищем множители,
следуя правилу. Оно гласит: среди делителей
составного числа обязательно есть числа, меньшие,
чем корень квадратный из этого числа.
Корень квадратный из числа 203 близок к 15, поэтому
ищем делители среди простых чисел, меньших 15.
Таких чисел два - 7 и 13 (остальные были исключены
после проверки).
203 : 7 = 29, поэтому 203 = 29 · 7 · 1 · 1 ·... · 1 (всего
167 единиц).
29 + 7 + 167 = 203.
Задача 16. Чему равна сумма
двух чисел?
Чему равна сумма двух
чисел, если она на 3
больше одного из
этих чисел и на 4
больше другого?
• A)2; (B) 4; (C) 5; (D)
7; (E)14
Ответ№16
• Из условия
непосредственно
следует что второе
число это 3, а первое
- 4.
Тогда сумма равна 3
+ 4 = 7.
• Правильный ответ (D).
Задача 17. Найти последние
цифры
• Найти три последние
цифры
произведения:
• 1· 2 · 3 · 4 · ... · 17 ·
18
Ответ№17
• В приведенном
выражении число 5
трижды встречается
как сомножитель: в
числах 5, 10, 15.
• Поэтому
произведение первых
18-ти натуральных
чисел оканчивается
тремя нулями
Задача 18. Уменьшаемое,
вычитаемое и разность
• Сумма вычитаемого,
уменьшаемого и
разности равна 2004.
• Тогда уменьшаемое
равно:
• (A)1002; (B) 501; (C)
384; ( D ) 204; (E)
167
Ответ№18
Легко видно, что данная сумма равна
удвоенному уменьшаемому, так как
сумма разности и вычитаемого равна
уменьшаемому.
Следовательно, уменьшаемое равно
2004/2=1002.
Верен ответ (А).
Задача 19. Легион
Наши предки называли
число, равное миллиону
миллионов , словом
"легион".
Если разделить миллион
легионов на легион
миллионов, то
получится :
(A) легион; (B) миллион;
(C) миллион миллионов;
(D) легион легионов; (E)
1
Ответ№19
• Перепишем заново:
делимое: миллион
легионов - это миллион
миллионов миллионов,
делитель: легион
миллионов - это
миллион миллионов
миллионов,
следовательно частное
равно 1.
Верен ответ (Е).
Задача 20. Какие числа были
задуманы ?
Задуманы два числа. После
увеличения вдвое одного
из чисел, их сумма
составила 31.
Вслед за тем увеличили
втрое второе число, в
результате чего сумма
двух новых чисел
составила 45.
Какие числа были
задуманы ?
Ответ№20
После увеличения втрое
второго числа сумма
чисел возросла на
величину удвоенного
второго числа.
Второе число равно (45 31) : 2 = 7.
Это число, будучи сложено
с удвоенным первым,
дает в сумме 31.
Первое число равно
(31 - 7) : 2 = 12.
Задача №21. Головоломная
задача на числа
Костин дедушка очень
любит давать Косте
задачи на числа. Вот
одна из его задач .
Произведение двух
последовательных
натуральных чисел
равно 210.
Найди эти числа.
Ответ№21
Способ 1.
Разложим число 210 на простые множители:
210 = 2 · 3 · 5 · 7.
Группируем 4 полученных однозначных сомножителя попарно исходя из условия
минимальной разности двух искомых чисел:
Способ 2.
Если представить число в виде произведения двух сомножителей,
один из них непременно окажется меньше корня квадратного из этого числа, другой – больше
корня квадратного.*
Следовательно, один из искомых сомножителей – 14, другой – 15.
* Если предположить, что оба искомых числа меньше корня квадратного из данного числа,
то произведение их также окажется меньше этого числа. Соответственно произведение двух
чисел, больших корня квадратного из некоторого числа, превышает это число.
Способ 3.
Данное число кратно 5. Поскольку
10 · 11 < 210 < 20 · 19
заключаем, что одно из искомых чисел – 15. Второе число – 14, оно содержит делитель 7, принадлежащий
данному числу (16 не подходит, 210 делится на 2, но не делится на 4).
Задача 22. Еще задача моего
дедушки
Даны два числа.
Если первое число
умножить на 2, то
полученное число будет
на 1 больше второго.
Если умножить на 2 второе
число, то полученное
число будет на 55
больше первого.
Найди эти числа.
Ответ№22
Если увеличить второе число на
1, оно окажется вдвое больше
первого.
В результате удвоения
увеличенное на 1 второе
число окажется вчетверо
больше первого, а полученная
разность 55 + 2= 57 будет
равна утроенному первому
числу.
Первое число равно 57 : 3= 19,
второе: 19 · 2 - 1 = 37.
Вопрос№23
Для поездки с учениками
за город школа заказала
несколько одинаковых
автобусов.
115 человек поехали на
озеро, 138 - в лес. Все
места в автобусах были
заняты, и всем хватило
места.
Сколько было заказано
автобусов и сколько мест
в каждом автобусе
Задача 24. Вышел из срока
Чтобы сдать в срок книгу в
библиотеку ученик
должен был читать
ежедневно по 40
страниц.
Однако он читал каждый
день на 15 страниц
меньше и вернул книгу
на 6 дней позже срока.
За сколько дней ученик
должен был прочитать
книгу?
Ответ№24
Способ 1.
Для прочтения книги в сниженном темпе
потребовалось дополнительно 6 дней
сверх установленного срока.
За эти 6 дней ученик прочитал 25 · 6 =
150 страниц, накопившихся в
результате того, что в течение
запланированного времени
"задолженность" возрастала
ежедневно на 15 страниц.
В соответствии с первоначальным
планом срок прочтения книги
составлял 150 : 15 = 10 дней.
Способ 2.
Обозначим: x - намеченный срок
прочтения книги.
40x = 25(х + 6); х = 10 (дней).
Задача 25. Сколько у Маши
монет каждого типа?
У Маши в копилке сорок
монет, некоторые
однокопеечные,
остальные пятикопеечные,
на общую сумму один
рубль.
Сколько у нее монеток
каждого типа?
Ответ№25
Способ 1.
Предположим, что все монеты у Маши однокопеечные.
Тогда в копилке - 40 копеек, что на 60 копеек меньше,
чем нужно.
Теперь заметим, что каждый раз, когда мы заменяем
одну однокопеечную монету на пятикопеечную,
содержимое копилки увеличивается на 4 копейки.
Значит, чтобы увеличить его на 60 копеек, надо такую
замену произвести 60 : 4 = 15 раз.
Следовательно, в копилке 15 пятикопеечных монет и
(40 - 15) = 25 однокопеечных.
Способ 2
Обозначим: x - количество пятикопеечных монет.
Тогда можно написать: 40 - х + 5х = 100 копеек.
Монет пятикопеечных: х = (100 - 40) : 4 = 15 штук.
Монет однокопеечных : 40 - 15 = 25 штук.
Условие задачи и ее решение - из статьи А. Тоома:
Между детством и математикой
Задача 26. Товарный поезд
Товарный поезд шел от А
до В со скоростью 60
км/ч,
а возвращался порожняком
из В в А со скоростью 80
км/ч.
Весь путь занял 14 ч (не
считая времени
разгрузки).
Найти расстояние от А до
В.
Ответ№26
Способ 1.
Время, затраченное поездом на прохождение маршрута АВ, обратно пропорционально скорости движения. Следовательно,
промежутки времени, затраченного на движение от А к В и на последующее возвращение из В в А, относятся как 80:60=4:3.
Разделив общую продолжительность поездки (14 часов) в указанном отношении, найдем время движения поезда от А к В:При
скорости 60 км/ч поезд прошел за это время путь от А до В 60 · 80 = 480 км.
Способ 2.
Примем расстояние от А до В за единицу. При скорости 60 км/ч поезд преодолел это расстояние за время
при скорости 80 км/ч – за время
Общая продолжительность движения составляет
Средняя скорость на маршруте равна
Двигаясь с этой скоростью, поезд пройдет путь от А до В за 7 часов, преодолев расстояние
Способ 3.
Предположим, что задача решается в целых числах (т.е. искомое расстояние АВ и продолжительность движения в каждом из
направлений – целые числа).
В этом случае расстояние АВ должно быть кратно каждой из двух скоростей.
Кроме того, расстояние АВ больше, чем 60 · 7 = 420 км
(на движение с грузом поезд потратил более половины общего времени)
и меньше, чем 80 · 7= 560 км
(возвращение порожняком заняло менее половины времени, затраченного на всю поездку).
Единственное число, отвечающее приведенным условиям – 480. Искомое расстояние – 480 км/ч.
Справедливость сделанного предположения проверим, определив длительность поездки: 480:60+480:80=14 ч.
Найденное решение – единственное: изменение расстояния АВ приведет к изменению продолжительности движения*.
*Если в основу решения задачи положено некоторое предположение, проверка единственности решения необходима.
Задача 27.
Продолжительность рейса
Расстояние между двумя
речными причалами - 50 км.
Теплоход на весь рейс туда и
обратно затрачивает 5 часов.
При этом на каждые 20 км
против течения уходит
столько же времени, сколько
на 30 км по течению.
Найти время движения
теплохода по течению.
Ответ№27
Способ 1.
Пути, пройденные телом за равные промежутки времени, прямо пропорциональны скоростям
движения.
Следовательно, отношение скоростей движения теплохода против течения и по течению равно 2 : 3.
Время, затраченное на прохождение некоторого пути, обратно пропорционально скорости движения.
Отношение продолжительностей движения теплохода против течения и по течению между двумя
причалами равно 3 : 2.
Время движения теплохода по течению равно:
[ 5 : (3 + 2)] · 2 = 2 часа.
Способ 2.
Если бы теплоход все 5 часов плыл по течению, он проделал бы путь, равный
50 + 50 : (20 : 30) = 125 км
(вместо пройденного против течения участка 50 км теплоход прошел бы за то же время по течению
расстояние, в полтора раза большее).
При этом теплоход показал бы скорость
125 км : 5 час. = 25 км/ч.
На прохождение с этой скоростью участка 50 км потребовалось 2 часа.
Задача 28. Рыбак и
математика
Имея полный бак топлива,
рыбак может проплыть
на моторной лодке 20 км
против течения,
или 30 км по течению реки.
На какое наибольшее
расстояние он может
отплыть по реке при
условии,
что топлива должно
хватить и на обратный
путь?
Ответ№28
Способ 1.
Отношение расстояний, которые может преодолеть моторная лодка при движении против течения и по
течению при некотором фиксированном расходе топлива, 20 : 30 = 2 : 3
Соответственно отношение расходов топлива при прохождении некоторого расстояния против течения и по
течению 3 : 2.
Следовательно, лодка может израсходовать при движении против течения 3/5 полного бака горючего,
преодолев при этом дистанцию
20 · 3/5 = 12 км.
Оставшееся горючее (2/5 бака) будет израсходовано при возвращении в исходную точку:
30 · 2/5 = 12 км.
Способ 2. Минимальное расстояние, которое может преодолеть моторная лодка в каждом из двух
направлений, затратив при этом целое число баков с горючим, - 60 км, наименьшее общее кратное
чисел 20 и 30.
На движение против течения уйдет 3 бака горючего, по течению - 2 бака.
Итого на 5 баках горючего будет пройдено 120 км.
Одного бака достаточно, чтобы пройти путь, в 5 раз меньший, т.е. 24 км (по 12 км в каждую сторону).
Способ 3. Пройдя 1 км против течения, лодка израсходует 1/30 бака горючего.
На тот же путь по течению уйдет 1/20 бака.
Пройдя 1 км против течения и вернувшись в исходный пункт, лодка израсходует
1/30+1/20=5/60=1/12
бака горючего.
Следовательно, полный бак горючего обеспечит прохождение дистанции 1:1/12=12 км.
Задача 29. Проверим
продавца
Покупатель взял в магазине
пакет молока стоимостью
3,45 шекеля, коробку творога
стоимостью 3,6 шекеля,
6 пирожных и 3 килограмма
сахара.
Когда кассир выбил чек на 29,6
шекеля, покупатель
потребовал проверить расчет
и исправить ошибку.
Как определил покупатель, что
счет неверен ?
Ответ№29
Стоимость товаров каждого вида
выражается числом, кратным
3-м
(для товаров первых двух видов
кратна трем цена, для
остальных - количество
купленных товаров).
Если каждое слагаемое делится
на 3, то и сумма должна
делиться на 3.
Число 29,6 на 3 не делится;
следовательно, расчет
неверен.
Задача 30. Сколько стоит
книга?
За книгу заплатили 100
руб. и осталось
заплатить еще столько,
сколько осталось бы
заплатить, если бы за
нее заплатили бы
столько, сколько
осталось заплатить.
Сколько стоит книга ?
Ответ№30
• Если внимательно
прочитать условие,
то можно понять,
• что заплаченные 100
рублей - это "первая
половина" стоимости
книги.
• Значит книга стоит
200рублей.
Простые и Составные числа!
Напомним, что натуральное число, большее единицы, называется простым,
если оно делится только на единицу и само на себя.
Натуральное число, имеющее делители, отличные от единицы и самого
числа, называется составным.
Ясно, что каждое натуральное число, большее единицы, является
простым или составным.
Теорема. Любое натуральное число, большее 1, является либо простым,
либо имеет простой делитель.
Доказательство. Если натуральное число n не является простым числом,
то у него имеется наименьший делитель, больший 1. Этот делитель и
будет простым, так как если бы он был составным, то n имело бы еще
меньший делитель.
Следующая теорема была доказана Евклидом в его "Началах", книга IX.
Теорема. Множество простых чисел бесконечно.
Доказательство. Предположим противное. Пусть множество простых
чисел конечно и состоит из чисел p1, …, pn.
Пример!
• Рассмотрим число p =
p1…pn + 1. Оно не
делится ни на одно
простое число p1, …, pn
(дает в остатке 1) и,
следовательно, само
должно являться
простым. С другой
стороны, оно больше
всех простых чисел p1,
…, pn. Противоречие.
• Среди первых ста
натуральных чисел
простыми являются:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89, 97.
Среди первых?
Среди первых ста натуральных чисел простыми являются: 2, 3, 5, 7,
11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83,
89, 97.
Одним из наиболее простых способов составления таблицы
простых чисел основан на использовании решета Эратосфена. Он
был предложен около 2000 лет назад астрономом и математиком
из Александрии Эратосфеном и состоит в том, что в ряду
натуральных чисел последовательно вычеркиваются числа
кратные двум, трем и т.д. Оставшиеся числа, большие единицы, и
будут простыми.
Давайте подумаем!
По-видимому, не существует формулы для
нахождения всех простых чисел, однако
некоторые из них можно получить как
значения довольно простых выражений. Так,
например, квадратный трехчлен Эйлера x2 + x
+ 41 позволяет получить 40 последовательных
простых чисел, начиная с 41. Перебрав все
значения этого квадратного трехчлена, не
превышающие 10 000 000, математики
обнаружили, что доля простых чисел среди
них составляет 0,475…
В ряде чисел n!
•
Несмотря на то, что множество простых чисел бесконечно и, значит, простые числа
встречаются сколь угодно далеко, существуют сколь угодно большие участки натурального
ряда, не содержащие простых чисел.
Действительно, для n > 1в ряду чисел n! + 2, n! + 3, …, n! + n длины n – 1 нет ни одного
простого числа, так как n! + 2 делится на 2, n! + 3 делится на 3, … n! + n делится на n.
Причем во всех случаях делитель меньше делимого.
Важнейшими результатами в области распределения простых чисел являются результаты
Л. Эйлера, П.Л. Чебышева и Ж. Адамара.
Теорема Эйлера утверждает, что отношение числа простых чисел, не превосходящих n, к
самому числу n стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности.
Теоремы Чебышева и Адамара уточняют теорему Эйлера. В частности, теорема Адамара
(1894 г.) утверждает, что число простых чисел, не превосходящих n, стремится к
бесконечности так же, как и отношение .
В течение веков велись поиски формул для нахождения простых чисел. Многие стремились
к открытию новых простых чисел. Одним из них был французский математик М. Мерсенн
(1588-1648), который искал простые числа вида 2p– 1, и в честь которого эти числа
называются простыми числами Мерсенна.
Что происходило в течении
веков!
В течение веков велись поиски формул для нахождения простых чисел. Многие стремились к открытию
новых простых чисел. Одним из них был французский математик М. Мерсенн (1588-1648), который
искал простые числа вида 2p– 1, и в честь которого эти числа называются простыми числами Мерсенна.
Заметим, что числа вида an – 1, где a – натуральное число, большее 2, не является простым. Это следует
из формулы
an – 1 = (a – 1)(an-1 + an-2 + … + 1),
которая доказывается перемножением выражений, стоящих в скобках.
Аналогично, если n – составное число, то 2n – 1 также будет составным. Действительно, пусть n = mk.
Тогда 2mk– 1 = (2m)k – 1и, следовательно, является составным.
Таким образом, единственными простыми числами вида an – 1 могут быть только числа 2p – 1.
Прямые вычисления показывают, что не все числа вида 2p – 1 оказываются простыми. Например,
М1 = 22 – 1 = 3 (простое);
М3 = 23 – 1 = 7 (простое);
М5 = 25 – 1 = 31 (простое);
М7 = 27 – 1 = 127 (простое);
М11 = 211 – 1 = 2047 = 2389 (составное).
М13= 213 – 1 (простое);
М17 = 217 – 1 (простое);
М19 = 219 – 1 (простое);
Л.Эйлер установил...
В 1750 году Л. Эйлер установил, что число М31 = 2 147
483 647 является простым. Более ста лет оно
оставалось самым большим известным простым
числом.
В 1876 г. французский математики Лукас нашел
простое число Мерсенна с 39 цифрами
М127 = 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105
727.
43-е простое число Мерсенна М30402457 было получено
с использованием компьютера 15.12.2005.
Что надо чтобы оценить
количество цифр!
Для того, чтобы оценить количество цифр в этом числе
воспользуемся логарифмами, и заметим, что 2p – 1 и 2p имеют
одинаковое число цифр. Действительно, если бы они имели
разное число цифр, то 2p должно было бы оканчиваться цифрой 0,
чего не происходит ни при какой степени двойки. С помощью
таблиц, калькулятора или компьютера находим, что lg 2 равняется
0,30102999… . Умножая на него число 30402457, получим, что
целая часть lg 230402457 равняется 9152052. Это число и есть
искомое число цифр в данном простом числе Мерсенна.
Последнее, 44-е число Мерсенна M32582657 было получено 04.09.2006.
В нем 9808358 цифр.
Числа Мерсенна!
Числа Мерсенна непосредственно связаны с совершенными числами
– такими, которые равны сумме всех своих делителей (включая 1,
но исключая само число). Совершенные числа были известны еще
в Древней Греции. Они пользовались большим уважением,
считались эталоном гармонии и красоты. Им приписывались
мистические свойства.
Наименьшим совершенным числом является число 6 = 1 + 2 + 3.
За ним следует число 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, далее число 496 = 1 +
2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.
Связь между совершенными числами и числами Мерсенна
установил Евклид.
Теорема,доказательство...
•
•
•
•
Теорема. Если Mp = 2p– 1 – простое число Мерсенна, то число 2p-1(2p– 1)
является совершенным.
Доказательство. Выпишем делители числа 2p-1Mp, меньшие самого
числа: 1, 2, 22, … 2p-1, Mp, 2Mp, 22Mp, … 2p-2Mp. Посчитаем их сумму.
Имеем
1 + 2 + 22 + … + 2p-1 = 2p – 1 = Mp;
Mp + 2Mp + 22Mp + … + 2p-2Mp = (1 + 2 + 22 + … + 2p-2)Mp = (2p-1 – 1)Mp.
Следовательно, 1 + 2 + 22 + … + 2p-1 + Mp + 2Mp + 22Mp + …+ 2p-2Mp = Mp
+ (2p-1 – 1)Mp = 2p-1(2p – 1).
Л. Эйлер доказал, что числами вида 2p-1(2p– 1), где 2p– 1 – простое число
Мерсенна, исчерпываются все четные совершенные числа. В настоящее
время известно 43 четных совершенных числа. Неизвестно, бесконечно
много таких чисел или нет. Вопрос о существовании нечетных
совершенных чисел также остается открытым.
Еще типы чисел!
Рассмотрим еще один тип чисел, введенных французским математиком П.
Ферма (1601 – 1665). Это числа вида . Показатель 2n здесь взят не
случайно. Докажем, что числа вида 2m+1 могут быть простыми только в
случае, когда m = 2n. Для этого воспользуемся формулой
a2k+1 + b2k+1 = (a + b)(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k),
которая доказывается непосредственным перемножением скобок. Из нее
следует, что числа вида a2k+1+1 при натуральных k и a > 1 являются
составными. Если m имеет нечетный делитель, т.е. m = l(2k + 1), то 2m+1
= 2l(2k+1)+1 = (2l)2k+1+1 – составное число.
Ферма предполагал, что все числа вида являются простыми. Действительно,
первые пять чисел Ферма F0 == 3; F1 = = 5; F2 = = 17; F3 = = 257; F4 = =
65537 являются простыми. Однако Л. Эйлер доказал, что следующее
число Ферма является составным F5 = 4 294 967 297 = 6416 700 417.
Что еще не известно науки?
• До сих пор неизвестно, существуют ли другие простые
числа Ферма. Неизвестно также бесконечно или нет
множество составных чисел Ферма.
• Числа Ферма связаны с задачей построения
правильных многоугольников с помощью циркуля и
линейки.
Еще древние греки занимались построением
правильных многоугольников. Они умели строить 2nугольники, 32n-угольники, 52n-угольники, 152nугольники.
Окончательное решение
вопроса!
Окончательное решение вопроса о том, какие правильные
многоугольники можно построить с помощью циркуля
и линейки, было получено лишь в 1796 г. немецким
математиком К.Ф. Гауссом (1777 – 1855). Он доказал,
что правильный n-угольник может быть построен с
помощью циркуля и линейки тогда и только тогда,
когда n =2np1… pk, где числа p1, …, pk – различные
простые числа Ферма. В частности, из этой теоремы
следует, что правильные 7-угольник, 9-угольник, 11угольник, 13-угольник не могут быть построены
циркулем и линейкой.
Практика!
•
•
•
•
Задачи.
1. Доказать, что числа вида 8n + 1 – составные.
2. Доказать, что число 9991 – составное.
3. Доказать, что числа вида n4 + 4 – составные
при n > 1.
• 4. Найти все простые числа p, для которых p +
10 и p + 14 – простые.
Задача 1. Заполните
свободные клетки!
Заполните свободные клетки
"шестиугольника"
целыми числами от 1 до 19,
чтобы во всех вертикальных и
диагональных рядах сумма чисел,
стоящих в одном ряду, была бы одна и та
же.
Логическая задача!
• Соберите страуса из
семи фигурок.
Яна:
Ответ!
Зрение обманчиво!
У вас есть 8 с виду одинаковых
монет, одна из которых, тем не
менее, фальшивая. Фальшивая
монета чуть тяжелее, но во всем
остальном идентична
настоящим. У вас также есть, в
лучших традициях жанра, весы с
чашечками, как у богини
правосудия. За какое
минимальное число взвешиваний
можно гарантированно
определить фальшивку? Ответ
обоснуйте.
Что такое ребус?!
• Ребусы - это игра, в
которой зашифрованы
слова, фразы или
целые высказывания
при помощи рисунков
в сочетании с буквами
и знаками. Название
образовано от
латинского rebus (вещь, предмет).
Что такое алгебра?
• Алгебра – это отрасль математики.
Алгебра изучает общие операции
(сложение и т.д.), которые могут
быть выполнены не только в
отношении чисел, но и с другими
математическими объектами:
векторами, функциями,
многочленами и прочими. И,
конечно, алгебра – это школьный
предмет, который вводится в
обучение сразу после арифметики.
Что такое математика?
• Математика – это наука,
которая изучает величины,
количественные отношения
и пространственные формы.
Различают прикладную
математику и высшую
математику. Высшая
математика – вузовская
дисциплина.