«Новое математическое образование» Курс академика Башмакова М.И.

«Новое математическое
образование»
Курс академика Башмакова
М.И.
«Различия познавательных
стилей при обучении алгебре
и началам анализа в 10-11
классах».
Основные документы:
1. ФГОСы основного и среднего
общего образования
17.12.2010
2. Концепция развития математического
образования в РФ
24.12.2013
«Природа написана на языке математики».
Эти слова Галилео Галилея, сказанные им 400 лет назад
и подтверждавшиеся всем
последующим развитием науки,
могут и сейчас служить главным побуждающим
мотивом в изучении математики.
Продуктивная математика для всех
Учебно-методические комплексы
для 10-11 классов
Учебно-методический комплект
для 10-11 классов, выпущенный
издательством
«Академия»,
ориентирован
на
изучение
математики на базовом уровне.
Состоит из учебника, задачника
и книги для учителя для каждого
класса.
Учебник предназначен для
гуманитариев. В него вошли понятия и
сведения и даже целые разделы,
которые отсутствуют в стандартном
курсе
07.05.2016
Учебно-методические комплексы
для 10-11 классов
В 1989 году учебник М. И. Башмакова «Алгебра и начала
анализа 10-11» занял первое место на Всесоюзном
конкурсе учебников для средней общеобразовательной
школы
В Федеральном перечне учебников на 2012/13
учебный
год
представлено
3
учебнометодических комплекта для 10-11 классов.
07.05.2016
УМК Издательства «Издательский центр
«Академия»
07.05.2016
ЧТО? Зачем? ПОЧЕМУ? КАК?
Каждая тема программы, изложенная в учебнике, разбита на рубрики,
отвечающие на прямо поставленные вопросы:
•
•
•
•
что следует изучить (или повторить, вспомнить),
зачем это нужно,
как можно на практике воспользоваться изученным,
почему все происходит так или иначе.
Что
Зачем
Почему
Как
07.05.2016
Учебник
оказался единственным, не зависевшим
от перемен, так как в нем была идея не опираться
на (неизбежно скудные) знания из основной школы,
а как бы начинать все с чистого листа (разумеется,
выводя все на несколько иной уровень).
07.05.2016
Новым
Федеральным государственным
образовательным стандартом (ФГОС) в
качестве ведущих линий изучения предмета
выделены три направления –
вклад в индивидуальное развитие личности,
воспитательный потенциал
и практическое значение.
Эти направления являются
равноправными составляющими, в которых
раскрываются образовательные ценности
математики.
Основной принцип обучения
математике
по М.И. Башмакову
При изучении математики ребятам
должно быть интересно, поэтому
должны быть использованы те
технологии, которые подогреют
этот интерес.
07.05.2016
Чему не нужно
учить!
1) Решить неравенство
2) Найдите все натуральные значения n, удовлетворяющие уравнению
где [x] – целая часть x.
3) Найдите все значения a, которые удовлетворяют условию 2 < a < 5
и при которых уравнение
относительно x имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее условию 2  x  3.
4) Найти все значения параметра a, при которых система
имеет единственное решение.
5) Найти все значения параметра a, при которых для любых значений параметра b
имеет хотя бы одно решение неравенство
7) Найти все значения параметра a, при которых система уравнений
имеет хотя бы одно решение.
5) Найти все значения параметра , при каждом из которых уравнение
||||x2 – a| – 5| – 2| + 1| = 3 имеет ровно 3 корня.
6) Найти наименьшее значение величины
где a, b, c – положительные числа, удовлетворяющие условиям at + bu  c,
a2 + 2bcu  b2 + c2, + c2  2bcu.
М.И. Башмаков призывает не использовать
«вредные», не существующие в математике
вещи, именно:
– не использовать переменные основания логарифмов, а
еще лучше – использовать только стандартные основания 2,
10 и e;
– в выражениях с показательными функциями не
использовать переменные в основании и показателе;
– не «накручивать» модули;
– осторожно отнестись к использованию параметров,
используя их только при обсуждении изменения свойств
стандартных функций;
– убрать из алгебры рациональных выражений какие бы то
ни было разговоры об ОДЗ – они там не к месту и часто
ошибочны;
– не требовать записи решений тригонометрических
уравнений в общем виде, распространившаяся запись x = (–
1)n arcsin a + n
Разумеется, этот список не полон.
Чему старается следовать автор
1. Обыкновенные дроби использовать только с маленькими
знаменателями, не допускать записи действий с числами,
записанными по-разному
Сократить использование действий со смешанными
дробями
(сохранив,
разумеется,
важные
вопросы,
возникающие при смене единиц измерения или выделения
целой части).
2. Придать модулю исключительно геометрический смысл
и использовать его запись лишь для линейных выражений;
модуль – это не математический объект для изучения, а лишь
способ записи, удобный в некоторых случаях.
3. В качестве оснований показательных и логарифмических
выражений оставить только 2, 10 и e. При этом расширить
технику работы с выражениями типа 2kx, 10kx, ekx при
различных k.
Чему старается следовать автор
(продолжение)
4. Вернуть содержательную линию «Уравнения и неравенства», к ее
«классическому» пониманию.
Уравнение – это запись постановки некоторой реальной задачи.
Буквы в уравнении – это неизвестные (а не переменные!). Главное в
решении уравнения – поиск способа его решения.
Способы часто не зависят от смысла тех величин (чисел), которые
можно представлять вместо букв. Уравнения – в большей степени
алгебраический вопрос, чем раздел теории функций.
Неравенства, напротив, имеют дело с действительными числами. В
терминах неравенств часто записываются или исследуются свойства
изучаемых функций.
Следовало бы существенно сократить типы решаемых неравенств
(во всяком случае, выбросить тригонометрические и большинство
иррациональных неравенств), сдвинув акцент на геометрические
методы (использование графиков).
Иллюзии, с которыми нужно расставаться
1. Все, чем приходится заниматься на уроке
математики, будет непосредственно
использоваться в будущей жизни.
2. Математика – дедуктивная наука, линейно
разворачивающаяся как последовательность
определений, аксиом, теорем и их
доказательств
3. Нужны определения всех используемых в
каждый момент понятий
Познавательные стили
в обучении математике
В учебниках используется
разработанная классификация стилей
учебной работы:
Алгоритмический
Визуальный
Прикладной
Исследовательский
Дедуктивный
Комбинаторный
Игровой
24
Алгоритмический стиль — это наиболее распространенный в
современной
школе способ изучения математика, заключающийся в выполнении
учеником четко сформулированных, типовых заданий обычно по
известному образцу.
В действующих школьных учебниках число заданий, относящихся к
алгоритмическому, или репродуктивному стилю,
превышает 80 %. К этому стилю нужно отнести и такие задания, в
которых учащийся самостоятельно знакомится с неизвестным ему
ранее алгоритмом, выбирает алгоритм либо видоизменяет или
адаптирует уже известный способ действия.
Пример 1. Серия примеров на нахождение наименьшего периода у
тригонометрических функций. Все решаются стандартно.
Предполагается, что период равен T и проверяется, что g(t)=g(t+T).
g(t)=sin + cos 2t; sin = sin sin =0 .
Рассказ учителя
Диалог с моим учеником:
У. (бодро): вот мне надо решить такую задачу, я понял, что её решают через
дискриминант.
Я.: в чём задача-то?
У: да не знаю, вот эта, точно сначала через дискриминант, а дальше я не понял
(а).
Я: что ты хочешь найти?
У.: да я вам тетрадку покажу ,это точно решают через дискриминант.
Я.: Женечка, (Васенька, Леночка), когда решаешь задачу, сначала надо
определиться, что ТЫ САМ(А) ХОЧЕШЬ найти.
У.: да не помню я задания, но я точно знаю, что сначала надо найти дискриминант
...
Ну, и так далее...
Эти симпатичные умные и уже довольно большие дети готовы выучить всё, что
угодно, покорно искать любые страшные дискриминанты, но категорически
отказываются ответить, для чего они это всё делают. По моему глубокому
убеждению дискриминант в чистом виде никакой пользы не приносит, и такая
учёба просто вредна.
Часто ли у наших детей спрашивают, что они хотят изучить? Дети вообще знают (я
имею в виду массово), что можно хотеть что-нибудь изучить? И что, когда
решаешь задачу, то ты, вообще-то, хочешь что-то найти. И ищешь путь. И он
может быть не один. И разве не в этом (и почти что только в этом) задача школы 07.05.2016
чтобы они это захотели?
Пример 2. Докажите тождество
1 способ:
2 способ:
Пример 3. Матричные тесты.
Для каждой из заданных функций укажите ее график
График функции
Функция
y = (4 – x) (x + 2)
+
y = 1 – (x – 3)2
+
y = –(2 + x) (x + 1)
y = 9 – (x + 3)2
+
+
+
Найдите график одного из решений дифференциального уравнения.
y
y
y
y
y
0
0
y = 2x
x
0
x
x
x
0
+
y = 2y
y – x = 0
y + y = 0
y + y = 0
x
0
+
+
+
+
Пример 4. Область D на плоскости задана неравенствами .
Точка выбирается в D случайным образом. Определите
вероятность следующих событий.
5/16
| x | 1
y  2  x2
1/4
3/4
+
+
y4
y  2| x|
0
+
+
Название визуальный стиль является условным. В его основе лежит
деятельность по переводу информации с одного языка на другой,
овладение разными языками и прежде всего визуальным.
Пример 1.
Пример 2
Наименьшее -25,1
Наибольшее -28,4
Расстояние
Маршрут
1234
1243
1342
1423
1324
1432
2134
2143
2314
3214
2413
3124
2-4
8,1
+
+
+
+
+
1-4
7,9
1-3
6,1
3-4
5,6
2-3
5,3
1-2
5,3
4-п
4,9
1-п
4,2
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2-п
3,9
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3-п
2,4
+
+
+
+
bc
 (gfgf((xx))dx gf ( x)) dx
ac
Пример 3. Выразите следующие интегралы через площади S1, S2, S3 и
S4 фигур, указанных на рисунке
–S2 – S3 – S4
S2 + S4
–S1 – S3 – S4
S3
S2 – S1
+
+
+
+
+
– график
функции y = функции
f(x);
Пример 3. Сравните по графику
поведение
и ее производной.
– график производной y = f(x); (a; f) – область определения f и f.
Для каждой из функций, графики которых изображены в верхнем ряду, найдите график ее производной
Пример 4.
Дано:
Для каждой из функций, графики которых изображены в верхнем ряду,
найдите график ее производной
y
y
+
+
+
+
В использовании прикладного стиля отечественным преподаванием
математики заложены богатые традиции. Сюда надо отнести
организацию вычислений, решение текстовых задач
и в более широком смысле построение математических моделей
и их исследование.
Притяжение Земли
Тело удаляется от Земли по закону
V

k t 2
x
Его скорость и ускорение меняются по законам
И
где A, B, C, c – некоторые константы.
1. Докажите, что силы притяжения, действующая на тело,
обратно пропорциональна квадрату расстояния s.
2. Возьмите значения всех констант c = 1, A = 3, B = 2, C =
и постройте графики s, v и a при t  [0; 8].

2
3
Исследовательский стиль в последние годы стал
находиться в центре внимания учителей. Этому
способствовало распространение задач с параметрами.
Вместо серий отдельных мелких задач и упражнений
стали чаще предлагаться сюжетные задания, требующие
длительной работы в рамках одной математической
ситуации.
Роль исследовательского стиля на всех этапах обучения
математике может быть сделана ведущей, а сам стиль —
доступным среднему ученику.
07.05.2016
Долгота дня
Цель работы: исследование экспериментально заданной функции по ее
графику.
1. Составьте таблицу долготы дня в вашей местности, отметив ее в 24 точках
– по две точки на каждый месяц. (Если вы будете определять долготу дня по
печатному календарю, то учтите, что он дает данные для широты Москвы.)
2. Вычислите в каждой точке отклонение h долготы дня от 12 ч. (Вычисления
ведите в часах с точностью до 0,1 ч. Для нахождения h вычтите из долготы
дня число 12.)
3. Постройте график функции h(t), где t – время в году, по точкам.
4. Проведите исследование функции h по графику. Постарайтесь объяснить
смысл каждого пункта исследования.
5. Ответьте на вопросы:
а) Когда долгота дня возрастает быстрее всего?
б) Как изменится график функции h, если в качестве единицы измерения для
h выбрать одну минуту, а для t – один день?
в) Получим ли мы новую информацию, если для построения графика
использовать 365 точек?
Сюжеты и проекты
Особую роль играют развернутые задания —
сюжеты и проекты. В сюжетах предлагается серия
задач, развивающих одну идею. Сюжеты, как
правило, расширяет запас теоретических сведений.
Проекты играют другую роль — они тоже
предлагают определенный сюжет, но требуют
длительной самостоятельной работы. Итоги работы
над проектом могут быть оформлены в виде
реферата или доклада на кружке или конференции.
41
I. Кубическая функция. Графическое
исследование
На рисунке изображены графики различных
кубических функций.
1) y = x 3 – 3x 2 + 3x + 6;
2) y = –x 3 + 3x 2 – 3x;
3) y = x 3 – 3x 2 + 2;
4) y = x 3 – 3x 2 + 5.
Определите, какой из приведенных формул соответствует каждый график.
Пользуясь этими графиками, ответьте на приведенные ниже вопросы
о кубических функциях.
Монотонность
1. Может ли быть кубическая функция строго монотонной на всей числовой оси
(на R)?
2. Всякая ли кубическая функция является строго монотонной на R?
3. Предположим, что кубическая функция является строго монотонной на R.
Как различить – убывает она или возрастает?
4. Предположим, что кубическая функция не является строго монотонной на R.
На какое наименьшее число промежутков монотонности можно всегда разбить
числовую ось R?
Экстремумы
1. Сколько точек экстремума может иметь кубическая функция?
2. Предположим, что кубическая функция имеет две точки экстремума.
Какие пары возможны, а какие нет: (max; max), (max; min), (min; max),
(min; min)?
3. Предположим, что кубическая функция имеет две точки экстремума.
Как по коэффициентам различить – сначала идет максимум, а потом минимум,
или наоборот?
Число корней
1. Сколько корней может иметь кубическое уравнение?
2. Предположим, что кубическая функция y = f(x) монотонна на R.
Сколько корней имеет уравнение f(x) = a в зависимости от a?
3. Может ли быть так, что кубическая функция y = f(x) не является строго
монотонной на R, а уравнение f(x) = 0 имеет только один корень?
4. Предположим, что кубическая функция y = f(x) не является монотонной
на R. Сколько корней может иметь уравнение f(x) = a? Как различить
возможные случаи?
Пересечение с прямой
1. Сколько точек пересечения с прямой может иметь график кубической
функции?
2. Верно ли утверждение: если прямая имеет с графиком кубической
функции ровно две общих точки, то в одной из них прямая касается
графика?
3. Точка перегиба графика по определению обладает следующим
свойством: если в ней провести касательную к графику, то вблизи
этой точки график будет располагаться по разные стороны от
касательной (перегнется). Сколько точек перегиба имеет график
кубической функции?
4. Предположим, что к графику кубической функции проведена
касательная в точке, не являющейся точкой перегиба. Сколько других
общих точек может иметь касательная с графиком?
5. Сколько общих точек с графиком кубической функции имеет касательная,
проведенная в точке перегиба графика?
6. Сколько центров симметрии может иметь график кубической функции?
Решение неравенства
1. Пусть y = f(x) – кубическая функция. Какой вид может иметь множество
решений неравенства f(x) > 0:
1) числовая ось R;
2) полуось (т. е. промежуток вида (–; a) или (a; +));
3)
4)
5)
6)
пустое множество;
конечный промежуток (т. е. промежуток вида (a, b));
объединение бесконечного и конечного промежутка;
множество, не совпадающее ни с одним из указанных?
2. Какое из указанных выше множеств может выступать в качестве решения
неравенства f(x) < kx + b?
3. Какое из указанных выше множеств встретится обязательно в качестве
решения неравенства f(x) < kx + b при каких-либо значениях k и b?
II. Кубическая функция. Аналитическое исследование
Дана функция y = f(x), где f(x) = x3 + x2
III. Кубическая функция. Теоретическое исследование
Дана кубическая функция вида y = x3 + ax2 + bx + c.
Монотонность
1. При каком условии (т. е. при каких соотношениях между a, b и c) функция
y возрастает на всей числовой оси?
2. Будем менять один из коэффициентов a, b или c, зафиксировав два других.
Всегда ли можно за счет изменения этого коэффициента добиться того,
чтобы функция стала возрастающей на всей числовой оси?
Экстремумы
1. При каком условии функция y имеет две точки экстремума, причем
лежащие по разные стороны от начала координат?
2. Пусть коэффициент a = 0 (т. е. функция имеет вид y = x3 + bx + c).
Вычислите число D – произведение значений функции в точках экстремума.
Число корней
1. Пусть функция y = f(x) имеет экстремумы в точках x1 и x2. Докажите, что
условие D = f(x1)  f(x2) < 0 является необходимым и достаточным условием
для того, чтобы уравнение f(x) = 0 имело три разных вещественных корня.
И т.д.
Пример1.
07.05.2016
Пример 2.
07.05.2016
Сборник задач профильной направленности
Прикладные задачи по главам курса
07.05.2016
Дедуктивный (логический) стиль считается ведущим в изучении
математики. Овладение им традиционно связывается с геометрией.
Курс алгебры имеет неограниченные содержательные возможности
использования дедуктивного стиля.
Пример.
1. Найдите последнюю цифру числа 19981998.
2. Докажите, что разность 4343 – 1717 делится на 10 без остатка.
3. Докажите, что 3099 + 61100 делится на 31.
4. Докажите, что 43101 + 23101 делится на 66.
5. Докажите, что делится на 100.
Десятичная запись
1. Последняя цифра квадрата натурального числа равна 6. Докажите, что его
предпоследняя цифра нечетна.
2. Найдите какое-нибудь стозначное число, в десятичной записи которого
не было бы нулей и которое делилось бы на сумму своих цифр.
3. У числа 2n взяли сумму цифр, у результата снова взяли сумму цифр
и так далее, пока не получилось однозначное число. Найдите это число
в зависимости от n.
4. Пятизначное число делится на 41. Докажите, что любое пятизначное число,
полученное из него круговой перестановкой цифр, также делится на 41.
Важнейшим применением логики в школьной практике является
исследование уравнений и неравенств. В предлагаемых задачах
формулируются некоторые свойства уравнений и неравенств. Их надо
либо доказать, либо опровергнуть, приведя соответствующий пример.
1) Линейное уравнение либо имеет один корень, либо не имеет их вовсе.
2) Если квадратное уравнение не имеет вещественных корней, то его
дискриминант отрицателен.
3) Уравнение |x – a| = 1 при всяком а имеет хотя бы одно решение.
4) Уравнение |x – 1| = a при всяком а имеет хотя бы одно решение.
5) Если уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет вещественные корни, то таким
же свойством обладает и уравнение cx2 + bx + a = 0.
6) Всякий корень уравнения положителен.
7) Всякий корень уравнения отрицателен.
8) Уравнение ни при каком а не может иметь отрицательных корней.
9) Если x = 0 не является корнем уравнения f(x) = 0, то это уравнение
равносильно уравнению .
10) При возведении обеих частей уравнение в квадрат не может
произойти потери корней, но могут появиться лишние корни.
Под комбинаторным стилем автор понимает широкое
использование дискретных понятий и методов –
натуральные и целые числа, пошаговые, индуктивные
процессы и построения, последовательности, конечные
ряды числовых данных, элементы логики, наконец, сама
комбинаторика и элементы теории вероятностей.
Концепция автора использует многообразие
познавательных стилей в трех важных
направлениях:
стиль выполнения учебного задания,
стиль введения и развития математического
понятия
и стиль как средство индивидуализации
обучения.
Непрерывные дроби
1. Многоэтажные дроби вида
называются непрерывными дробями.
1) Вычислите… .
2) Вычислите… .
3) В последовательности дробей … и т. д. запишите четвертую и пятую
дроби.
2. 1) Запишите дроби an (n равно 2, 3, 4, 5) в виде отношения многочленов.
Образец:
2) Заметим, что соседние дроби связаны между собой. Например, .
Установите связь для пары дробей a3 и a2, ak и ak – 1.
Вы, наверное, обратили внимание, что каждая дробь an
есть отношение двух линейных многочленов. Коэффициенты
этих многочленов образуют замечательную последовательность. Это уже
знакомая нам последовательность чисел Фибоначчи, в которой каждое число
равно сумме двух предыдущих.
И т.д.
Игровой стиль – это дидактические материалы в форме игр,
соревнований, конкурсов; исследование стратегий
Китайская игра Янь
1. Постановка задачи
Двое играют в такую игру.
Выбирается одночлен с двумя буквами a и b и коэффициентом 1, например,
a10b8. Играющий своим ходом делит его на одночлен такого вида:
ak, bk, или (ab)k. Пропускать ход (то есть ни на что не делить) нельзя.
Выигрывает тот, кто получит одночлен 1.
Цель игры
– разработать правильную стратегию для каждого из играющих в зависимости
от начального положения;
– найти способ, как узнать для любого начального положения, кто должен
выиграть при правильной стратегии – первый или второй из играющих.
2. Обдумывание условия
3. Численный эксперимент
4. Анализ эксперимента
5. Доказательство утверждений (которые были получены в результате
анализа)
Работу можно выполнять вдвоем, но можно и одному играть за двоих.
«Технический» профиль
Основным стиль алгоритмический, предполагающий
творческую адаптацию известных алгоритмов или
самостоятельный выбор среди нескольких из них,
исследовательский, «проектный» стиль,
дедуктивный стиль на доступном уровне,
расширение всего спектра стилей деятельности.
.
07.05.2016
Гуманитарный профиль
•
•
Целевые особенности обучения математике по этому профилю:
задачи общекультурного, интеллектуального развития.
развитие визуального мышления, образно-ассоциативных
представлений,
усиление внимания к развитию логической и языковой культуры
визуальный и логико-дедуктивный.
•
•
•
Алгоритмический стиль явно отодвигается на задний план.
Существенное значение приобретает комбинаторный стиль,
исследовательский стиль (зависит от уровня учебной группы, в группы
•
•
гуманитарного профиля нередко попадают ученики, блестяще учившиеся в
основной школе и сохранившие индивидуальный интерес к математике
независимо от сделанного профессионального выбора).
07.05.2016
Что можно найти в учебнике кроме традиционного содержания
Модульность
Алгебра и геометрия –единый учебник
Рубрики:
Основные понятия
Примеры
Доказательства и комментарии
Учебные задания
В задачнике:
Тренажеры трех уровней сложности
Матричные тесты
Прикладные задачи
Сюжеты для исследования
Самостоятельные работы
Контрольные тесты
07.05.2016
Сайт:
bashmakov.su
Лекцию читала доцент СПбГЭТУ,
член авторского коллектива М.И.
Башмакова
С.Б. Энтина
Спасибо за внимание!