Логические выражения и таблицы истинности

Алгебра в широком смысле этого
слова – наука об общих операциях,
аналогичных сложению и умножению,
которые могут выполняться над
различными математическими
объектами (алгебра переменных и
функций, алгебра векторов и т.д).
Алгебра логики
Объектами алгебра логики являются
высказывания.
Алгебра логики отвлекается от
смысловой содержательности
высказываний. Ее интересует только
один факт – истинно или ложно данное
высказывание, что дает возможность
определять истинность или ложность
составных высказываний.
Истинному высказыванию ставится в
соответствие 1, а ложному 0.
•В естественном языке звучит как И.
•В алгебре логики обозначается как & или
.
•В языках программирования
обозначается AND.
Конъюнкция двух высказываний
будет истина, тогда и только
тогда, когда оба высказывания
истинны.
Таблица истинности:
А
0
1
0
1
B
0
0
1
1
A&B
Конъюнкция двух высказываний
будет истина, тогда и только
тогда, когда оба высказывания
истинны.
Таблица истинности:
А
0
1
0
1
B
0
0
1
1
A&B
0
Конъюнкция двух высказываний
будет истина, тогда и только
тогда, когда оба высказывания
истинны.
Таблица истинности:
А
0
1
0
1
B
0
0
1
1
A&B
0
0
Конъюнкция двух высказываний
будет истина, тогда и только
тогда, когда оба высказывания
истинны.
Таблица истинности:
А
0
1
0
1
B
0
0
1
1
A&B
0
0
0
Конъюнкция двух высказываний
будет истина, тогда и только
тогда, когда оба высказывания
истинны.
Таблица истинности:
А
0
1
0
1
B
0
0
1
1
A&B
0
0
0
1
•В естественном языке звучит как ИЛИ.
•В алгебре логики обозначается как .
•В языках программирования
обозначается OR.
Дизъюнкция двух высказываний
будет истина, если хотя бы
одно из высказываний истина.
Таблица истинности:
А
0
1
0
1
B
0
0
1
1
AB
Дизъюнкция двух высказываний
будет истина, если хотя бы
одно из высказываний истина.
Таблица истинности:
А
0
1
0
1
B
0
0
1
1
AB
0
Дизъюнкция двух высказываний
будет истина, если хотя бы
одно из высказываний истина.
Таблица истинности:
А
0
1
0
1
B
0
0
1
1
AB
0
1
Дизъюнкция двух высказываний
будет истина, если хотя бы
одно из высказываний истина.
Таблица истинности:
А
0
1
0
1
B
0
0
1
1
AB
0
1
1
Дизъюнкция двух высказываний
будет истина, если хотя бы
одно из высказываний истина.
Таблица истинности:
А
0
1
0
1
B
0
0
1
1
AB
0
1
1
1
•В естественном языке звучит как НЕ.
•В алгебре логики обозначается как А или
А).
•В языках программирования обозначается
NOT.
Пусть есть высказывание А.
Отрицание высказывания будет
истина, если высказывание А ложь,
и отрицание высказывания А ложь,
если высказывание А истина.
Таблица истинности:
А
0
1
A
Пусть есть высказывание А.
Отрицание высказывания будет
истина, если высказывание А ложь,
и отрицание высказывания А ложь,
если высказывание А истина.
Таблица истинности:
А
0
1
A
1
Пусть есть высказывание А.
Отрицание высказывания будет
истина, если высказывание А ложь,
и отрицание высказывания А ложь,
если высказывание А истина.
Таблица истинности:
А
0
1
A
1
0
Логические операции имеют
следующий приоритет
выполнения:
1) действия в скобках
2) инверсия
3) конъюнкция
4) дизъюнкция
Таблицы истинности
Решение логических выражений принято
оформлять в виде таблиц, в которых по
действиям показано, какие значения
принимает логическое выражение при
всех возможных наборах его
переменных
Для составления таблицы
истинности необходимо:
1.
2.
3.
4.
Выяснить количество строк (2n, где n –
количество переменных)
Выяснить количество столбцов
(количество переменных + количество
логических операций)
Построить таблицу, указывая названия
столбцов и возможные наборы
значений переменных
Заполнить таблицу истинности по
столбцам
Пример 1.
Построим таблицу истинности для функции
F = (А  В)  (¬A  ¬B)
1.
Переменных: две (А и В), т.е. N = 2 
количество строк: 2n=22=4.
С заголовком: 5
2.
Количество столбцов:
2 переменные + 5 операций (,,¬, и ¬).
Итого 7
3.
Порядок операций:
1
5
2
4
3
F = (А  В)  (¬A  ¬B)
Пример 1. Таблица
F = (А  В)  (¬A  ¬B)
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
АВ А В А  В
(АВ)  (А  В)
0
1
1
1
0
1
1
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
1
1
0
Пример 2.
Построим таблицу истинности для функции
F = X  Y  ¬Z
1.
Переменных:
три (X, Y и Z), т.е. n = 3  количество строк: 2n=23=8.
С заголовком: 9
2.
Количество столбцов:
3 переменные + 3 операции (,,¬).
Итого 6
3.
Порядок операций:
3
2
1
F = X  Y  ¬Z
Пример. Таблица
F = X  Y  ¬Z
X
Y
Z
Z
Y  ¬Z
X  Y  ¬Z
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
1
Составьте таблицу истинности
для функции А  ¬В
A
0
0
1
1
B
0
1
0
1
¬B
1
0
1
0
A  ¬B
1
0
1
1

Составьте таблицу истинности
для функции
Постройте таблицу истинности
для логического выражения:
D=А V B & C
Таблица истинности:
А B
C B&C
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
АVB&C
D
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
Самостоятельно:
А  ( B  B  C)
( А  В)  ( А  В)
Домашнее задание
D=А  B  C
D=А  (B  C)
D=(А  B)  C