ПРИМЕНЕНИЕ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

ПРИМЕНЕНИЕ
УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
Примеры задач:
№1 Сферическую оболочку воздушного шара делают
из материала, квадратный метр которого имеет массу
1 кг. Шар наполняют гелием. Атмосферное давление
105 Па равно давлению гелия в шаре. Определите
минимальную массу оболочки, при которой шар
оторвётся от земли. Температура гелия и окружающего
воздуха одинакова и равна 0 °С.
.
Примеры задач:
T0  300
№2 В камере, заполненной азотом, при температуре
К находится открытый цилиндрический сосуд (см. рис. 1).
Высота сосуда L  50см. Сосуд плотно закрывают
T1  К
240
цилиндрической пробкой и охлаждают до температуры
. В результате расстояние от дна сосуда до низа пробки
становится равным h см (см. рис. 2). Затем сосуд нагревают до
первоначальной температуры T0. Расстояние от дна сосуда до
низа пробки при этой температуре становится равным
см (см. рис. 3). Чему равно
H  46 h ? Величину силы трения между
пробкой и стенками сосуда считать одинаковой при движении
пробки вниз и вверх. Массой пробки пренебречь. Давление
азота в камере во время эксперимента поддерживается
постоянным.
Примеры задач:
.
пробка
L
T0
h
T1
H
T0
.
Примеры задач:
№3 В горизонтально расположенной трубке постоянного
сечения, запаянной с одного конца, помещен столбик ртути
длиной 15 см, который отделяет воздух в трубке от
атмосферы. Трубку расположили вертикально запаянным
концом вниз и нагрели на 60 К. При этом объем,
занимаемый воздухом, не изменился. Давление атмосферы
в лаборатории – 750 мм рт.ст. Какова температура воздуха в
лаборатории?
.
Примеры задач:
№4
Воздушный шар с газонепроницаемой
оболочкой массой 400 кг заполнен гелием. На
высоте, где температура воздуха 17С и давление
105 Па, шар может удерживать груз массой 225 кг.
Какова масса гелия в оболочке шара? Считать, что
оболочка шара не оказывает сопротивления
изменению объема шара.
.
1. Учет гидростатического давления
Пустую открытую стеклянную бутылку опускают в
воду на глубину h.
1. Если погружать бутылку дном вниз,
воздух из нее выйдет пузырьками, и
бутылка наполнится водой.
Объясните, почему?
Указание: Плотность воздуха меньше
плотности воды.
.
1. Учет гидростатического давления
2. Почему при этом бутылка сразу утонет?
Указание: Плотность стекла больше
плотности воды.
.
1. Учет гидростатического давления
3. Если погружать бутылку дном вверх,
воздух из нее выйти не сможет.
Объясните, почему?
4. Почему при погружении бутылки дном
вверх объем воздуха в ней будет
уменьшаться с увеличением глубины?
Указание: давление воздуха в бутылке
равно давлению воды, а оно с
увеличением глубины возрастает.
.
1. Учет гидростатического давления
Обозначим плотность воды ,в
внутренний объем бутылки V0, объем
содержащегося в ней воздуха Vвозд,
атмосферное давление Pа. Будем считать,
что температура воздуха в бутылке
остается постоянной.
Найдём соотношение между объёмом
воздуха V0 в бутылке перед погружением и
объёмом воздуха Vвозд в бутылке на
глубине h .
.
1. Учет гидростатического давления
5. Объясните, почему при погружении
бутылки на глубину h справедливо
уравнение?
Vвозд ( pа  в gh)  V0 pа
Указание: Воспользуйтесь законом Бойля–
Мариотта.
.
1. Учет гидростатического давления
Vвозд ( pа  в gh)  V0 pа
6. Во сколько раз уменьшится объем воздуха
в бутылке при погружении ее на глубину 10
м?
.
1. Учет гидростатического давления
Vвозд ( pа  в gh)  V0 pа
вод gh
V0

1  2
Vвозд
Pа
.
1. Учет гидростатического давления
7. Как изменяется при увеличении глубины
действующая на бутылку с воздухом сила
Архимеда?
.
1. Учет гидростатического давления
7. Как изменяется при увеличении глубины
действующая на бутылку с воздухом сила
Архимеда?
Уменьшается, так как уменьшается объем
воздуха.
( При нахождении силы Архимеда объем
погруженного в воду тела надо считать равным
суммарному объему стекла и воздуха в
бутылке.)
.
1. Учет гидростатического давления
При некоторой глубине погружения сила
Архимеда станет равной силе тяжести.
При
погружении на еще большую глубину сила
Архимеда будет уже меньше силы тяжести, и
бутылка с воздухом станет тонуть.
.
1. Учет гидростатического давления
Можно ли пренебречь силой тяжести,
действующей на воздух, по сравнению с силой
тяжести, действующей на бутылку?
9. Во сколько раз масса воздуха,
содержащегося в бутылке, меньше массы
бутылки, если в ней помещается 0,5 л?
Примите массу бутылки равной 0,5 кг;
плотность воздуха при 20 оС приближенно
равна 1,2 кг/м3.
.
1. Учет гидростатического давления
Примерно в 830 раз.
Массой воздуха в бутылке с хорошей
точностью можно пренебречь по сравнению с
массой бутылки.
.
1. УЧЕТ ГИДРОСТАТИЧЕСКОГО ДАВЛЕНИЯ
10. Когда погруженная полностью в воду
бутылка с воздухом находится в равновесии,
справедливо следующее уравнение:
сVс g  в g (Vвозд  Vс )
Объясните, почему?
.
11. В воду опускают дном вверх открытую бутылку,
содержащую воздух при атмосферном давлении.
Вместимость бутылки 0,5 л, объем стекла 0,2 л, плотность
стекла в 2,5 раза больше плотности воды, атмосферное
давление 100 кПа.
а) Чему будет равен объем воздуха в бутылке, когда
бутылка будет находиться в воде в равновесии?
б) На какой глубине будет при этом бутылка?
,
.
а)
сVc g  в g  Vc  Vвозд 
Vвозд
 c

 Vc   1
 в

3
Vвозд  0, 3  10 м
3
,
.
б)


pа Vо  p а в gh Vвозд

pа  Vo
h
 1  6, 67 м


в g  Vвозд

.
В рассмотренной ситуации массой воздуха можно было
пренебречь, потому что при давлении, близком к
атмосферному, плотность воздуха намного меньше
плотности воды и твердых тел.
Но если речь идет о поднятии грузов с большой глубины с
помощью сжатого воздуха, то надо учитывать, что масса
сжатого воздуха может оказаться существенной.
.
12. Исследователи океанских глубин обнаружили на глубине
1 км затонувший сундук с сокровищами. Масса сундука 2,5 т,
объем — 1 м3.
Сундук привязали тросом к прочному пустому
водонепроницаемому мешку и стали закачивать в мешок
воздух до тех пор, пока он начал всплывать вместе с
сундуком.
Для упрощения расчетов примем плотность морской воды
равной плотности пресной воды. Будем считать воду
несжимаемой, а объем оболочки мешка пренебрежимо
малым. Температуру воды на большой глубине можно
считать близкой к 0 оС.
.
а) Надо ли учитывать атмосферное давление для
определения давления воздуха в мешке?
б) Обозначим плотность воды, mс и mв массу сундука и
массу воздуха в мешке, Vс и Vв объем сундука и объем
воздуха в начале всплытия, Mв — молярную массу воздуха,
T — абсолютную температуру воды. Запишите систему двух
уравнений с двумя неизвестными (mв и Vв), считая, что
атмосферным давлением можно пренебречь.
.
б)
m
с
 mвозд  g  в g  Vс  Vвозд 
pVвозд 
mвозд
M возд
RT
.
в) Чему равен объем воздуха в мешке, когда мешок с сундуком
начал всплывать?
m
с
 mвозд  g  в g  Vс  Vвозд 
pVвозд 
mвозд
M возд
Vвозд
RT
Vвозд
mс  в Vс

pM возд
в 
RT
 1, 724 м3
.
г) Чему равна масса воздуха в мешке, когда мешок с
сундуком начал всплывать?
mвозд 
mвозд
pVвозд M возд
RT
 220 к г
.
д) Можно ли не выпускать из мешка воздух до тех пор, пока
мешок с сундуком не всплывут на поверхность?
.
д) Можно ли не выпускать из мешка воздух до тех пор, пока
мешок с сундуком не всплывут на поверхность?
Воздух надо постепенно выпускать, потому что давление
воздуха в мешке в начале всплытия настолько велико (в сто
раз больше нормального атмосферного давления), что даже
самый прочный мешок лопнул бы при подъеме.
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
В стеклянной трубке, запаянной с одного конца, находится
воздух. Этот воздух отделен от атмосферного воздуха
столбиком ртути длиной lрт.
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
Рассмотрим, как зависит длина заполненной воздухом части
трубки от положения трубки и температуры воздуха в ней.
Будем считать, что длина трубки достаточно велика для
того, чтобы ртуть не выливалась из трубки при любом ее
положении.
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
рт
Обозначим атмосферное давление Pа, плотность ртути
,а
длину заполненной воздухом части трубки, когда она
расположена горизонтально, обозначим l0.
Примем сначала, что температура воздуха в трубке постоянна.
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
13. Запишите уравнение, которое связывает величины
и длину l заполненной воздухом части трубки, когда она
расположена:
а) вертикально открытым концом вверх;
б) вертикально открытым концом вниз.
,lрт
рт, l0
2.
.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
T  const
p1  pа  р gl р
pа Sl 0   pа  р gl р  Sl
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
p2  pа  р gl р
pа Sl 0   pа  р gl р  Sl
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
14. В начальный момент трубка расположена
открытым концом вниз. Когда ее перевернули
открытым концом вверх, длина заполненной
воздухом части трубки уменьшилась на 10 %. Чему
равна длина столбика ртути, если атмосферное
давление равно 760 мм рт. ст.?
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
14.
l 2  0, 9l1
p1  l p  pa
pa  l p  p2
p1l1  p2 l 2
l p  40 мм
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
Рассмотрим случай, когда температура воздуха в трубке
изменятся.
.
2.
Воздух в трубке с ртутным столбиком
15. В начальный момент трубка с воздухом и столбиком
ртути расположена горизонтально. Когда ее опустили в
кипяток открытым концом вверх, длина заполненной воздухом
части трубки увеличилась на 20 %. Чему равна начальная
температура воздуха в трубке, если длина столбика ртути
равна 5 см? Атмосферное давление равно 760 мм рт. ст.
(291,6 К)
.
3. ДВА ГАЗА В ЦИЛИНДРЕ С ПОРШНЕМ ИЛИ ПЕРЕГОРОДКОЙ
А) Цилиндр расположен горизонтально
.
3. ДВА ГАЗА В ЦИЛИНДРЕ С ПОРШНЕМ ИЛИ ПЕРЕГОРОДКОЙ
Б)
Цилиндр расположен вертикально
.
4. Подъемная сила воздушного шара