Энергия упругой волны

Энергия упругой волны
Вектор Умова
Уравнение сферической волны
Упругая деформация.
 Выделим в среде, в которой
распространяется упругая продольная
волна, малый объем с основанием S и
высотой x .
Упругая деформация.
 При распространении волны выделенный
объем будет деформироваться.
Относительную деформацию выделенного
объема можно оценить с помощью
формулы


x
Упругая деформация.
 
  lim

x x
Наличие деформации свидетельствует о
существовании нормального напряжения,
  E ,где
которое определяется
При
F

S
x  0
,
k 
E
S
- модуль Юнга.
Фазовая и колебательная скорости
 Фазовая скорость упругой продольной волны
определяется упругими свойствами среды и
ее плотностью
E ,
ф 

 а колебательная скорость точек среды равна:


t
Энергия упругой волны
 Выделенный объем будем считать настолько
малым, что


t
и


x
в любой точке одинаковы.
Оценим энергию, которой обладает
выделенный объем
V  S  x
.
Энергия упругой волны
 Кинетическая энергия запишется в виде
m  2   2
Ek 
( )  ( ) V
2 t
2 t
 Потенциальная энергия выделенного объема
по аналогии с энергией упруго
деформированного стержня равна
E
E  2
  2
U
V  ( ) V 
( ) V
2
2 x
2 x
2
2
Энергия упругой волны
 Полная энергия выделенного объема
равна:
  2
  2
Ek  U  ( ) V 
( ) V
2 t
2 x
2
   2
2  2 
W  ( )   ( )  V
2  t
x 
Плотность энергии упругой
волны
 Плотность энергии упругой волны равна:
W    2
2  2 
w
 ( )   ( ) 
V 2  t
x 
 Рассчитаем плотность энергии для волны
( x, t )  a cos(t  kx)

 a sin(t  kx);
t

 ak sin(t  kx).
x
Плотность энергии
 Подставив значения производных,
получим
w

 a 2 2 sin 2 (t  kx)  k 2 2 a 2 sin 2 (t  kx)  
2
 a 2 2 sin 2 (t  kx).
 Учли, что
k
2 2 

 .
 T 
Плотность энергии
 Среднее по времени значение плотности
энергии упругой гармонической волны
1 2 2
w  a  .
2
 Учли, что
1
sin (t  kx)  .
2
2
Поток энергии и плотность
потока
Введем новые понятия.
 Количество энергии, переносимое волной через
поверхность в единицу времени, называется потоком
dW
энергии через эту поверхность

dt
.
 Количество энергии, переносимое через единичную
площадку, перпендикулярную к направлению
распространения волны в единицу времени,
называется плотностью потока
dW
j
dtdS
.
Поток энергии и плотность
потока
 За время
dt через сечение dS
пройдет энергия, заключенная в объеме
dtdS,
dW  wdtdS .

j
dS
dt
Плотность потока энергии
 Следовательно, плотность потока энергии
равна
dW
j
 w.
dtdS

 В векторной форме

j

j  w.
Вектор
называется вектором Умова.
 Среднее значение вектора Умова
называется интенсивностью волны
1 2 2
j  w   a  .
2
Амплитуда сферической волны
 Зная плотность потока в любой точке поверхности
можно вычислить поток энергии через эту
 
поверхность
   j dS .
S
 Найдем средний поток энергии через сферическую
поверхность, что имеет место в случае сферической
волны
   j dS  j 4r 2  22a 2r 2 .
S
Амплитуда сферической волны
 Если сферическая волна распространяется в
изотропной не поглощающей среде, то
средний поток энергии через любую
поверхность должен иметь одинаковое
значение
2 a r  const,
2 2 2
a r  const.
2 2
 Следовательно, амплитуда сферической
волны равна
a0
ar  .
r
Уравнение сферической волны
 Фаза сферической волны
r
  (t  ).

 Уравнение сферической волны
a0
r
(r , t )  cos (t  ).
r
